Resistência1 8torção

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Resistência dos Materiais II
Torção
Prof. Max Filipe
Maio/2017
Introdução
Estudaremos as tensões e 
deformações produzidas em 
peças de seção transversal 
circular, sujeitas à ação de 
conjugados que tendem a 
torcer essas peças;
Tais conjugados são chamados 
“momento de torção”, 
“momentos torcionais” ou 
“torque”;
Exemplos de Torção
- As peças submetidas à torção são encontradas em muitas
aplicações da prática de engenharia;
- O caso mais comum de aplicação é o de eixos de 
Transmissão, utilizados para transmitir potência de um
ponto a outro, como no caso de uma turbina a vapor,
ligada a um gerador de eletricidade;
Estudo de Barras
- Inicialmente analisaremos as tensões e deformações que aparecem
em eixos circulares;
- Demonstraremos uma importante propriedade dos eixos circulares:
Quando um eixo circular é submetido a torção, todas as seções
Transversais permanecem planas e sem distorção;
Notação de Momento Torsor
Modelagem (estrutura e solicitações)
Torção em eixos circulares
Torção em eixos circulares
Quando um eixo circular é
submetido a torção, todas as
seções Transversais
permanecem planas e sem
distorção;
Tensões no Regime Elástico
“A equação acima nos mostra que 
enquanto a tensão de escoamento não for
atingida, a tensão de cisalhamento na 
barra circular varia linearmente com a
distância ρ do eixo da barra”
máxτ
c
ρ
τ ⋅=
o c ρ
τ τMÁX
Diagrama da distribuição de tensões na 
seção transversal de um eixo
circular maciço;
Elemento Infinitesimal
Equação geral da torção
dA
dF
τ =
máxτ
c
ρ
τ ⋅=
τ.dA=dF→
( ).dA..dF τρρ =→= dTdT
( ) 










=→= ∫ .dA...dA. máxcTT τ
ρρτρ
-Para toda seção:
Equação geral da torção
∫= .dA.
2
máxc
T τρ
∫ 










= .dA.. máxc
T τρρ
.dA..dA. 2
2
∫∫ =→= ρ
τ
τρ
c
T
c
T máxmáx
Tensões no Regime Elástico
A integral no segundo membro da expressão representa o
momento de inércia polar J da seção transversal em relação
ao seu centro O, assim temos:
c
JτT máx ⋅= ou calculando para τMÁX, J
cT
τmáx
⋅
=
Substituindo esse valor para uma distância genérica ρ do eixo
da barra circular, temos:
J
ρT
τ
⋅
=
.dA. 2∫= ρ
τ
c
T máx
Momento Polar de Inércia
Momento de inércia polar de um círculo de raio c:
2
cπJ
4⋅
=
Momento de inércia polar de uma seção circular vazada de
Raio interno c1 e raio externo c2:
( )4142 cc
2
πJ −⋅=
Torção de Eixos Cilíndricos Vazados
Tensões no Regime Elástico
A figura abaixo, mostra a distribuição das tensões de cisalhamento em
um eixo circular vazado, de raio interno c1 e raio externo c2;
Da expressão deduzida anteriormente, podemos escrever:
máx
2
1
mín τ
c
c
τ ⋅=
c2 ρ
τ
τMÁX
o
τMÍN
c1
Por equilíbrio, temos que a soma dos momentos das forças elementares
que atuam na seção do eixo circular deve ser igual à intensidade do
momento T aplicado ao eixo, temos:
∫ =⋅⋅ T)d(τρ A
Tensões no Regime Elástico
Substituindo o valor de τ, escrevemos:
∫∫ ⋅⋅=⋅⋅= A2A dρc
τdτρT máx
A integral no segundo membro da expressão representa o
momento de inércia polar J da seção transversal em relação
ao seu centro O, assim temos:
c
JτT máx ⋅= ou calculando para τMÁX, J
cT
τmáx
⋅
=
Substituindo esse valor para uma distância genérica ρ do eixo
da barra circular, temos:
J
ρT
τ
⋅
=
Exercício 1
O cilindro de alumínio da figura abaixo encontra-se sujeito a um torque
T = 4,5 kN.m. Determinar a máxima tensão de cisalhamento que irá ocorrer. 
Considerar D = 75 mm e  = 1,2 m. 
Resolução:
Exercício 2
Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento e
diâmetros interno e externo, respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm .(a)
Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra circular se a tensão de
cisalhamento não deve exceder 120 MPa? (b) Qual é o valor mínimo corres
pondente da tensão de cisalhamento na barra circular?
Exercício 3
A distribuição de tensão em um eixo maciço foi representada em gráfico ao
longo de três linhas radiais arbitrárias, como mostra a Figura. Determine o
torque interno resultante na seção.
Exercício 4
O eixo mostrado na Figura está apoiado em dois mancais e sujeito a três
torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B
localizados na seção a-a do eixo.
Torção de eixos cilíndricos 
escalonados
	Resistência dos Materiais II
	Introdução
	Exemplos de Torção
	Estudo de Barras
	Notação de Momento Torsor
	Modelagem (estrutura e solicitações)
	Torção em eixos circulares
	Torção em eixos circulares
	Tensões no Regime Elástico
	Elemento Infinitesimal
	Equação geral da torção
	Equação geral da torção
	Tensões no Regime Elástico
	Momento Polar de Inércia
	Torção de Eixos Cilíndricos Vazados
	Tensões no Regime Elástico
	Tensões no Regime Elástico
	Exercício 1
	Resolução:
	Exercício 2
	Exercício 3
	Exercício 4
	Torção de eixos cilíndricos escalonados