MAT1161 152 ExercícioParaEntregar05 gaba

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MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios para Entregar 05 Gabarito Resumido
1.
(a) lim
n→∞
n∑
k=1
1
n
√
k
n
=
∫ 1
0
√
x dx =
∫ 1
0
x1/2dx =
11/2+1
1/2 + 1
− 0
1/2+1
1/2 + 1
=
1
3/2
=
2
3
(b) lim
n→∞
1
n
n−1∑
k=0
(
k
n
)3
=
∫ 1
0
x3 =
13+1
3 + 1
− 0
3+1
3 + 1
=
1
4
2.
(a) Se x < 0, enta˜o g(x) =
∫ x
0 0 dt = 0 .
Se 0 ≤ x ≤ 1, enta˜o g(x) = ∫ x0 t dt = x22 − 022 = x22 .
Se 1 < x ≤ 2, enta˜o g(x) = ∫ 10 t dt+ ∫ x1 2− t dt = 122 +(2x− x22 )−(2 · 1− 122 ) =
2x− x22 − 1 .
Se x > 2, enta˜o g(x) =
∫ 2
0 f(t) dt+
∫ x
2 f(t) dt = g(2) + 0 = 4− 42 − 1 = 1 .
Da´ı
g(x) =

0 , se x < 0
x2
2 , se 0 ≤ x ≤ 1
2x− x22 − 1 , se 1 < x ≤ 2
1 , se x > 2
(b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1 1 2 3
g
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1 1 2 3
f
(c) f na˜o e´ deriva´vel em x = 0, em x = 1 e em x = 2. Pois as retas secantes a`
esquerda de x = 0 tem inclinac¸a˜o zero e a` direita, 1. As retas secantes a` esquerda
de x = 1 tem inclinac¸a˜o 1 e a` direita, −1. E as retas secantes a` esquerda de x = 2
tem inclinac¸a˜o −1 e a` direita, zero.
g e´ deriva´vel:
Sejam g1(x) = 0, g2(x) =
x2
2 , g3(x) = 2x− x
2
2 −1 e g4(x) = 1. Temos g1(0) = g2(0)
e g′1(0) = g′2(0), logo g e´ deriva´vel em x = 0. Temos g2(1) = g3(1) e g′2(1) = g′3(1),
logo g e´ deriva´vel em x = 1. Temos g3(2) = g4(2) e g
′
3(2) = g
′
4(2), logo g e´
deriva´vel em x = 2.