Questão resolvida - Exercício 01_ Seja f(x)1_(5x20x15)3 (a) Determine o domínio D de f (b) Decida se f é contínua, Cálculo I - UFRJ

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Exercício 01: Seja . f x = + 3( )
1
5x² + 20x + 15
 
(a) Determine o domínio D de f. 
(b) Decida se f é contínua, justificando em caso positivo ou exibindo os pontos de 
descontinuidade de seu domínio em caso negativo.
(c) Avalie os limites laterais de f nos pontos fora do seu domínio, determinando as 
possíveis retas assíntotas verticais do gráfico de f. 
 
Resolução:
 
(a)
 
Para definir o domínio, devemos analisar a expressão, veja que uma das expressões contém 
uma equação do segundo grau no denominador, o dominador dessa expresão não pode ser 
zero, dessa forma, devemos resolver a equação e encontrar, se houver, as coordenadas x 
em que zeram a equação:
 
5x² + 20x + 15 = 0 ÷ 5 x² + 4x + 3 = 0( ) ⏫⏪⏪⏪⏪⏪ 
x + 4x + 3 = 02
 
x = x' = = = = = - 1
- 4 ±
2 ⋅ 1
( ) 4 - 4 ⋅ 1 ⋅ 3( )2
→
-4 +
2
16 - 12 -4 +
2
4 -4 + 2
2
-2
2
 
 x" = = = = = - 3
-4 -
2
16 - 12 -4 -
2
4 -4 - 2
2
-6
2
 
Com isso, o domínio da função é;
 
D = x ∈ R / x ≠ -1 e x ≠ -3{ }
 
(b)
 
Para a função ser contínua em um ponto com é preciso satisfazer 3 condições;x = a
 
 1 f a tem que existir) ( )
 
 
simplificando
(Resposta - a)
 
 2 f x tem que existir) lim
x→a
( )
 
 3 e devemos ter f x = f a) lim
x→a
( ) ( )
Como o domínio de não admite os valores , então, a função não é f x( ) x = -1 e x = -3
contínua para esses valores de x.
 
(c)
 
Os pontos para coordenada , primeiro, vamos fazer, primeiro, o limite de x x = -1 e x = -3
nas proximidades de , para isso, vamos fazer x tender a -1 pela direita e pela x = -1
esquerda, substituindo valores próximos de -1 pela esquerda e pela direita;
 
Direita
x = -1, 1 + 3 = + 3 = + 3 = -1, 053 + 3 ≅ 1, 95→
1
5 -1, 1 ² + 20 -1, 1 + 15( ) ( )
1
5 ⋅1, 21-22 + 15
1
-0, 95
 
x = -1, 01 + 3 = + 3 = + 3 = -10 + 3 = -7→
1
5 -1, 01 ² + 20 -1, 01 + 15( ) ( )
1
5 ⋅1, 02-20, 2 + 15
1
-0, 1
 
x = -1, 001 + 3 = + 3 = + 3 = -100 + 3 = -97→
1
5 -1, 001 ² + 20 -1, 001 + 15( ) ( )
1
5 ⋅1, 002-20, 02 + 15
1
-0, 01
 
Perceba que, ao aproximar x de -1 pela direita, a função tende a menos inifinito! 
 
Esquerda
 
x = -0, 9 + 3 = + 3 = + 3 = 0, 95 + 3 ≅ 3, 95→
1
5 -0, 9 ² + 20 -0, 9 + 15( ) ( )
1
5 ⋅0, 81-16, 2 + 15
1
1, 05
 
x = -0, 99 + 3 = + 3 = + 3 = 10 + 3 ≅ 13→
1
5 -0, 99 ² + 20 -0, 99 + 15( ) ( )
1
5 ⋅0, 98-19, 8 + 15
1
0, 10
 
x = -0, 999 + 3 = + 3 = + 3 = 50 + 3 = 53→
1
5 -0, 999 ² + 20 -0, 999 + 15( ) ( )
1
5 ⋅1-19, 98 + 15
1
0, 02
 
Perceba que, ao aproximar x de -1 pela esquerda, a função tende a mais inifinito.
 
Como os limites pela esquerda e pela direita tendem a , é uma assíntota ±∞ x = -1 
vertical 
 
Agora, vamos verificar o limite de quando se aproxima de -3 pela esquerda e pela f x( )
 
 
direita;
 
Direita
x = -3, 1 + 3 = + 3 = + 3 = 0, 95 + 3 ≅ 3, 95→
1
5 -3, 1 ² + 20 -3, 1 + 15( ) ( )
1
5 ⋅9, 61-62 + 15
1
1, 05
 
x = -3, 01 + 3 = + 3 = + 3 = 10 + 3 ≅ 13→
1
5 -3, 01 ² + 20 -3, 01 + 15( ) ( )
1
5 ⋅9, 06-60, 2 + 15
1
0, 1
 
x = -3, 001 + 3 = + 3 = + 3 = 100 + 3 ≅ 103→
1
5 3, 001 ² + 20 -3, 001 + 15( ) ( )
1
5 ⋅9, 006-60, 02 + 15
1
0, 01
 
Perceba que, ao aproximar x de -3 pela direita, a função tende a mais inifinito! 
 
Esquerda
 
x = -2, 9 + 3 = + 3 = + 3 = -1, 053 + 3 ≅ 1, 95→
1
5 -2, 9 ² + 20 -2, 9 + 15( ) ( )
1
5 ⋅8, 41-58 + 15
1
-0, 95
 
x = -2, 99 + 3 = + 3 = + 3 = -10 + 3 ≅ -7→
1
5 -2, 99 ² + 20 -2, 99 + 15( ) ( )
1
5 ⋅8, 94-59, 8 + 15
1
-0, 1
 
x = -2, 999 + 3 = + 3 = + 3 = -100 + 3 = -97→
1
5 -2, 999 ² + 20 -2, 999 + 15( ) ( )
1
5 ⋅8, 994-59, 98 + 15
1
-0, 01
 
Perceba que, ao aproximar x de -1 pela esquerda, a função tende a menos inifinito.
 
Como os limites pela esquerda e pela direita tendem a , é uma assíntota ±∞ x = -3 
vertical