Testando a lei dos grandes numeros

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“Testando” a lei dos grandes números: simulando cálculo de 
probabilidades através do Stata 
 
 
53) A lança uma moeda n+1 vezes e B lança a mesma moeda n vezes. Qual é 
a probabilidade de A obter mais caras que B? 
 
Solução: 
 
Seja XA o número de caras obtido por A em n+1 lançamentos da moeda e seja 
seja XB o número de caras obtido por B em n lançamentos da mesma moeda. 
 
Pergunta-se: P(XA > XB). 
 
1 1
1 1 1 ( 1)! 1
( )
2 2 ( 1 )! ! 2
A AX n X n
A
A A A
n n
P X
X n X X
 
1 1 ! 1
( )
2 2 ( )! ! 2
B BX n X n
B
B B B
n n
P X
X n X X
 
 
Temos uma matriz constituída por (n+1) linhas correspondentes aos 
lançamentos de A e n colunas correspondentes aos n lançamentos de B. 
 
 
1,1 1,2 1,
2,1 2,2 2,
,1 ,
1,1 1,
... ...
... ...
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
... ... ...
... ... ...
n
n
n n n
n n n
x x x
x x x
x x
x x
 
 
O valor do primeiro subscrito dos elementos desta matriz corresponde ao 
número de caras de A e o valor do segundo subscrito dos elementos desta 
matriz corresponde ao número de caras de B. As combinações em que A faz 
maior número de caras do que B correspondem a região da matriz que está 
abaixo da diagonal que vai de x1,1 a xn,n. 
 
 
11 1
2 1
( 1)! 1 ! 1
( 1 )! ! 2 ( )! ! 2
n nn i
i j
n n
n i i n j j
 
 
2 11 1
2 1
( 1)! ! 1
( 1 )! !( )! ! 2
nn i
i j
n n
n i i n j j
 
2 1 1 1
2 1
1 1
( 1)! !
2 ( 1 )! !( )! !
n n i
i j
n n
n i i n j j
 
 
1 1 1
...
( 1)!2!( 1)!1! ( 2)!3!( 1)!1! ( 2)!3!( 2)!2!n n n n n n
 
 
1 1 1
...
(0)!( 1)!( 1)!1! (0)!( 1)!( 2)!2! (0)!( 1)!0! !n n n n n n
 
 
Fiz uma simulação deste somatório para n = 2 até 30 através de uma rotina no 
Stata conforme abaixo e cheguei aos resultados listados depois do programa. 
Os resultados do cálculo da probabilidade convergem rapidamente para 0,5. 
Mas esta é uma solução por “simulação”. Se alguém conseguir uma solução 
analítica para o desenvolvimento do somatória acima, favor enviar. 
 
forvalues n = 2(1)30 { 
scalar soma = 0 
 
forvalues i=2(1)`n' { 
local k = `i' - 1 
forvalues j=1(1)`k' { 
scalar fator = (exp(lnfactorial(`n'+1-`i'))*exp(lnfactorial(`i'))*exp(lnfactorial(`n'-
`j'))*exp(lnfactorial(`j')))^(-1) 
scalar soma = soma + fator 
} 
} 
disp "n = ", `n', " probabilidade = ", soma*.5^(2*`n' + 
1)*exp(lnfactorial(`n'+1))*exp(lnfactorial(`n')) 
} 
 
n = 2 probabilidade = .1875 
n = 3 probabilidade = .328125 
n = 4 probabilidade = .41015625 
n = 5 probabilidade = .45410156 
n = 6 probabilidade = .47680664 
n = 7 probabilidade = .48834229 
n = 8 probabilidade = .49415588 
n = 9 probabilidade = .49707413 
n = 10 probabilidade = .49853611 
n = 11 probabilidade = .49926782 
n = 12 probabilidade = .49963385 
n = 13 probabilidade = .49981691 
n = 14 probabilidade = .49990845 
n = 15 probabilidade = .49995422 
n = 16 probabilidade = .49997711 
n = 17 probabilidade = .49998856 
n = 18 probabilidade = .49999428 
n = 19 probabilidade = .49999714 
n = 20 probabilidade = .49999857 
n = 21 probabilidade = .49999928 
n = 22 probabilidade = .49999964 
n = 23 probabilidade = .49999982 
n = 24 probabilidade = .49999991 
n = 25 probabilidade = .49999996 
n = 26 probabilidade = .49999998 
n = 27 probabilidade = .49999999 
n = 28 probabilidade = .49999999 
n = 29 probabilidade = .5 
n = 30 probabilidade = .5 
 
70) Motores de avião funcionam independentemente e cada motor tem uma 
probabilidade p de falhar durante o vôo. Um avião voa com segurança se a 
maioria de seus motores funciona. Para que valores de p um avião com 3 
motores é preferível a um avião com 5 motores? 
 
Solução: para um avião de três motores a probabilidade de voar é: 
 
2 3 2 3 3 3 2 3
3 3 3! 3!
3 (1 ) (1 ) (1 )
2 3 2!1! 3!0!
P p p p p p p p
 
2 3 2 33 (1 ) 3 2p p p p p
 
 
Para o avião de 5 motores: 
 
4 5 4 5 5 5 4 5 4 5
5 5
5 (1 ) (1 ) 5 (1 ) 5 4
4 5
P p p p p p p p p p
 
 
Então o avião de 3 motores é preferível ao avião de cinco motores quando é 
satisfeita a seguinte inequação: 
 
2 3 4 53 2 5 4p p p p
 
5 4 3 24 5 2 3 0p p p p
 
2 3 2(4 5 2 3) 0p p p p
 
 
Desenvolvi a seguinte rotina no Stata para estudar o sinal deste polinômio. 
Esta rotina resulta na construção do gráfico a seguir. Pelo gráfico verifica-se 
que o valor do polinômio é sempre positivo para 0 < p < 1. Portanto o trimotor 
é sempre preferível ao avião de 5 motores. 
 
clear 
set more off 
set matsize 2000 
matrix A = J(1000,2,0) 
local j = 0 
forvalues i = 0(.001)1 { 
local j = `j' + 1 
scalar t = 4*`i'^5 - 5*`i'^4 - 2*`i'^3 + 3*`i'^2 
matrix A[`j',1] = `i' 
matrix A[`j',2] = t 
disp t 
} 
svmat A, names(A) 
rename A2 y 
rename A1 p 
twoway (line y p), ytitle(f(p)) 
 
0
.1
.2
.3
f(p
)
0 .2 .4 .6 .8 1
p
 
 
58) Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado não tendencioso para 
que a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 0,9? 
 
Solução: 
 
Seja n o número de lançamentos do dado. A probabilidade de se obter no 
mínimo um 6 em n lançamentos é dado por: 
 
0 0
n 1 1
P(no minimo um 6) = 1 - P(nenhum 6) = 1 - 1
0 6 6
n
 
! 5 5
1 1 0.9
( 0)!0! 6 6
n n
n
n
 
5
0.1
6
n 
5
nlog log0.1
6
 
log0.1
n>
5
log
6
 
n> 12.63
 
 
Para n = 12 125
1- 0.888
6
 
 
Para n = 13 135
1- 0.906
6
 
 
7) Uma loteria tem N números e só um prêmio. Um jogador compra n bilhetes 
em uma extração. Outro compra só um bilhete em n extrações diferentes. ( 
ambos os jogadores apostam portanto a mesma importância). Qual deles tem 
maior probabilidade de ganhar o prêmio? 
 
Solução: O primeiro jogador tem probabilidade de ganhar o premio igual: 
 
1 2
1 ( 0) 1 ... 1
1 1
N N N n N n
P X
N N N n N
 
1 1
n n
N N
 
 
O segundo jogador tem probabilidade igual a: 
0 0
1 1 1
1 ( 0) 1 1 1 1
0
n n
n
P X
N N N
 
Para demonstrar que o segundo jogador tem maior probabilidade de ganhar o 
premio, temos que demonstrar que 1
1 1
n
n
N N
para qualquer n e N, n 
< N. 
1
1 1
n
n
N N
 
 
1
1
n
N n
N N
 
1
n
N n N
N N
 
Esta expressão é falsa, pois quando N é grande 1
1
n
N
N
 e 
1
N n
N
 
Portanto o primeiro jogador terá maior probabilidade de ganhar o premio. 
 
39) Uma moeda é jogada 6 vezes. Sabendo-se que no primeiro lançamento 
deu coroa,calcular a probabilidade condicional de que o número de caras nos 6 
lançamentos supere o número de coroas. 
 
Solução: Em cinco lançamentos restantes, como já temos uma coroa, o 
número de caras deve superar o numero de coroas + 1. Temos então de 
calcular P(X>= 3) onde X é o número de caras em 5 lançamentos. 
3 2 4 1 5 0
5 5 51 1 1 1 1 1
3 4 52 2 2 2 2 2
 
10 5 1 16
0,5
32 32 32 32
 
 
Simulei 100000 vezes 5 lançamentos de uma mesma moeda através do 
seguinte programa Stata e a proporção de resultados com 3 ou mais caras foi 
igual a 0,49648. 
 
* Simulando 5 lançamentos de uma moeda 
 
cap prog drop moeda 
prog def moeda 
local contador = 0 
forvalues i = 1(1)5 { 
 scalar z = runiform() 
 if z <= .5 { 
 scalar moeda = 0 
 } 
 else { 
 scalar moeda = 1 
 local contador = `contador' + 1 
 } 
 } 
if `contador' >= 3 { 
scalar x = 1 
} 
else { 
scalar x = 0 
} 
end 
simulate y=x , reps(100000) nodots: moeda 
summa y 
30) João e Pedro lançam, cada um, um dado não-tendencioso. Qual é a 
probabilidade do resultado de João ser maior ou igual ao resultado de Pedro? 
 
Solução: Supoe-se que os resultados de João e Pedro são independentes.A 
probabilidade dp resultado de João ser maior do que o resultado de Pedro 
corresponde a um subconjunto do espaço amostral, que se constitui de 36 
eventos subtraindo-se os eventos em que Pedro ganha e teremos (36-6)/2 = 15 
eventos em que João ganha, cada um com probabilidade 1/36 e portanto a 
probabilidade de João ganhar é igual a 15/36. 
 
27) Colocam-se ao acaso n botões em um tabuleiro n x n, não sendo permitido 
haver dois botões em uma mesma casa. Qual é a probabilidade de não haver 
dois botões nem na mesma linha nem na mesma coluna? 
 
Solução: Existem n2 possibilidades de se colocar o primeiro dos n botões no 
tabuleiro. Para cada uma destas n2 possibilidades temos (n2-1) possibilidades 
de colocarmos o segundo dos n botões e assim por diante – quando chegamos 
ao penúltimo botão só nos resta uma possibilidade restante de colocarmos o 
nosso n-esimo botão. Então o numero de eventos distintos em que não 
ocorrem dois botões na mesma casa é: 
 
2
2 2 2 2
2
!
( 1) ( 2) ...( 2) 1
( 1)!
n
n n n n n
n n
 
Este é o tamanho de nosso espaço amostral. O número de eventos favoráveis 
é igual a n!. Por exemplo, se n = 3 temos os seguintes eventos favoráveis: 
 
b x x
x b x
x x b
 ou b x x
x x b
x b x
 ou x b x
b x x
x x b
 ou x x b
b x x
x b x
 ou x b x
x x b
b x x
 ou x x b
x b x
b x x
 
 
 O número de resultados (eventos) distintos do espaço amostral é igual a nn . 
Portanto a probabilidade será igual a: 
 
2
2 2
2
! !( 1)!
! !
( 1)!
n n n n
n n
n n
 
 
Por exemplo, para n = 3 temos: 
2
2 2
2
! !( 1)! 3!(9 3 1)! 3!7! 3
! ! 9! 9! 4
( 1)!
n n n n
n n
n n
 
 
Vamos simular este experimento através da seguinte rotina Stata: 
 
 
* Simulando o preenchimento com botões em um tabuleiro 
* com n x n posições 
cap prog drop tabuleiro 
prog def tabuleiro 
local n = 5 
matrix X = J(`n',`n',0) 
local i = 1 
while `i' <= `n' { 
local k = int(1+(`n')*runiform()) 
local l = int(1+(`n')*runiform()) 
scalar x = X[`k',`l'] 
if x == 1 { 
} 
else { 
matrix X[`k',`l'] = 1 
local i = `i' + 1 
} 
} 
matrix list X 
 
matrix lin = J(1,`n'+1,0) 
matrix col = J(`n',1,0) 
matrix X = X,col 
matrix X = X\lin 
 
forvalues i = 1(1)`n' { 
 forvalues j = 1(1)`n' { 
 matrix X[`i',`n'+1] = X[`i',`n'+1] + X[`i',`j'] 
 matrix X[`n'+1,`j'] = X[`n'+1,`j'] + X[`i',`j'] 
 } 
 } 
scalar x = 0 
forvalues i = 1(1)`n' { 
 forvalues j = 1(1)`n' { 
 if X[`n'+1,`j'] > 1 { 
 scalar x = 1 
 continue, break 
 } 
 } 
 if X[`i',`n'+1] > 1 { 
 scalar x = 1 
 continue, break 
 } 
 } 
scalar x = 1 - x 
end 
 
simulate y=x , reps(10000) nodots: tabuleiro 
summa y 
qui local n = 5 
disp exp(lnfactorial(`n'))*exp(lnfactorial(`n'^2-`n'+1))/exp(lnfactorial(`n'^2))