Métodos Estatísticos 1 - AP2 - 2013_1 - Gabarito

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2013 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,5 pontos) Os itens vendidos na Lojak foram produzidos pelas fábricas e nas 
seguintes proporções: e . Segundo informações das próprias fábricas, 
os respectivos percentuais de itens defeituosos por lote são: e . Se um item 
for vendido com defeito, o cliente tem o direito de devolver o item e receber seu dinheiro de 
volta. 
a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de um cliente receber o dinheiro de volta por um produto 
vendido nesta loja? 
b) (1,5pt) Supondo que houve a devolução do produto à loja, qual a fábrica mais provável de tê-
lo produzido? 
 
Solução: 
Seja D o evento “o item é defeituoso”. Então, 
Também são dados do enunciado: 
 
a) Deseja-se a probabilidade de um produto ser defeituoso. Para isso, usa-se o Teorema da 
Probabilidade Total. 
 
 
 
b) Vamos testar esta probabilidade para as três fábricas: 
 i) 
 
ii) 
 
iii) 
 
Como a probabilidade é a maior das três, então a fábrica é a mais provável de ter 
produzido o item defeituoso. 
 
2. (2,0 pontos) Seja com em uma v.a . 
a) (1,0 pt) Determine o valor de para que seja uma função de probabilidade; 
b) (1,0 pt) Encontre . 
 
Solução: 
Para que seja uma função de probabilidade é necessário que . Como 
, então 
 
 
 
 
b) com o valor de definido, podemos montar a distribuição de probabilidade. Onde 
: 
 
X=x 0 1 2 3 
P(x) 0 1/6 2/6 3/6 
Assim a esperança de X será: 
 
 
3. (3,0 pontos) Se 30 dos 40 alunos de uma turma de Pós-graduação dizem estar satisfeitos com o 
professor de Estatística 
(I) Qual a probabilidade de em uma amostra de 5 alunos: 
a) (0,5 pt)Todos estarem insatisfeitos? 
b) (0,5 pt)Pelo menos um estar satisfeito? 
c) (0,5pt)Mais da metade não estarem satisfeitos? 
d) (0,5 pt)No máximo dois estarem satisfeitos? 
e) (0,5 pt)Exatamente 4 estarem satisfeitos? 
(II) (0,5 pt) Determine a variância do número de alunos satisfeitos. 
 
Solução: 
30 dos 40 alunos equivale a uma probabilidade de ¾ de sucesso. Conseqüentemente, a probabilidade 
de não satisfeitos é de ¼. 
 
Nota-se que o problema é de Distribuição Binomial de Probabilidade com e Então se X é 
a variável aleatória “número de alunos satisfeitos”, então: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) Mais da metade de 5 é mais que 2,5. Conseqüentemente, maior ou igual a 3. 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
II) 
 
 
 
4. (1,5 ponto) Em um experimento binomial obteve-se: e . Qual o número de provas 
realizadas e qual a probabilidade de sucesso de cada uma? 
 
Solução: 
Temos que e . Deseja-se encontrar n e p. 
 
Ao substituir por 12 na fórmula da variância, obtemos: 
 
 
Logo: 
 
 
Com este valor de p encontrado, substituindo na fórmula da esperança, temos: 
 
 
Logo: 
 
 
5. (1,0 ponto) O Gerente da CredFácil coletou dados de 100 de seus clientes. Dos 60 homens, 40 
possuem cartão de crédito (C). Das 40 mulheres, 30 tem cartão de crédito(C). Dez dos homens 
com cartão de crédito possuem balanço negativo (B), enquanto 15 das 40 mulheres possuem 
balanço negativo (B). Assumindo que pessoas sem cartão de crédito não tenham balanço 
negativo, o gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado 
aleatoriamente seja: 
a) (0,5 pt) Uma mulher com cartão de crédito; 
b) (0,5 pt) Um homem com balanço negativo. 
 
Solução: 
Vamos construir uma tabela com os dados no enunciado. 
 
 Homens (H) Mulheres (M) Total 
Com Cartão 40 30 70 
Sem Cartão 20 10 30 
Total 60 40 100 
 
a) 30 mulheres tem cartão de crédito, como são 100 clientes, então: 
 
 
b) São 10 homens com balaço negativo. Como são 100 clientes, então: aprobabilidade de ser um 
homem com balanço negativo será: