Série de Taylor, Série de Maclaurin

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Séries de Taylor e de Maclaurin
Definições – Série de Taylor, Série de Maclaurin
Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em 
x = a é 
A série de Maclaurin gerada por f é 
a série de Taylor gerada por f em x = 0.
	Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n
Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio
	Resto de um Polinômio de Taylor
Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por
O valor absoluto 
 é chamado de erro associado à aproximação.
	Teorema de Taylor
Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que
onde
	Teorema da Estimativa do Resto
Se existirem constantes positivas M e r tais que 
 para todo t entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade
Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x).
	Combinando Séries de Taylor
Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante.
Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para 
sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x.
Séries de Fourier
 (1)
Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L).
	Coeficientes na Expansão em Série de Fourier
1) 
2) 
3) 
4)
5) 
	Cálculo de a0
Integramos ambos os lados da equação (1) de – L a L e consideramos que as operações para integração e somatória podem ser trocadas entre si para obter
 (2)
Para todo inteiro positivo n, as duas últimas integrais do lado direito da equação (2) são zero (fórmulas 1 e 2 na Tabela dos Coeficientes). Portanto,
Então, obtemos a0:
	Cálculo de am
Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por 
, m > 0, e integramos o resultado de – L a L:
 (4)
A primeira integral do lado direito da equação (4) é zero (fórmula 1 na Tabela dos coeficientes). As fórmulas 3 e 4 na Tabela reduzem ainda mais a equação para
Portanto,
	Cálculo de bm
Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por 
, m > 0, e integramos o resultado de – L a L:
Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos
Portanto,
 (6)
A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f.
	Definição – Séries de Fourier
A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é
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