Lista_matemática_UNESP_UNICAMP

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1. Um triangulo isósceles possui um ângulo 
da base igual a 45° graus. Sabendo que a 
base mede , calcule o perímetro do 
triângulo. 
Resp: 12(1+ ) 
 
2. Para quais valores inteiros de x um 
triangulo com lados 2x, 6 e x+3 formam um 
triangulo? 
Resp: 2,3,4,5,6,7,8 
 
3. Considere o retângulo ABCD da figura, de 
dimensões 
AB b
 e 
AD h,
 que foi dividido 
em três regiões de áreas iguais pelos 
segmentos 
EF
 e 
GH.
 
 
 
 
As retas 
EF, BD
 e 
GH
 são paralelas. Dessa 
forma, sendo 
AE x
 e 
AF y,
 a razão 
x
b
 é 
igual a 
a) 
2 2
.
3
 b) 
2
.
2
 c) 
3
.
2
 d) 
6
.
4
 e) 
6
.
3
 
Resp: E 
 
4. (Fuvest) A figura abaixo exibe três 
círculos no plano, tangentes dois a dois, 
com centros em A, B e C e raios de 
comprimentos a, b e c, respectivamente 
 
 a) Determine os valores de a, b e c, 
sabendo que a distância entre A e B é de 5 
cm, a distância entre A e C é de 6 cm e a 
distância entre B e C é de 9 cm. 
b) Para a = 2 cm e b = 3 cm, determine o 
valor de c > b de modo que o triângulo de 
vértices em A, B e C seja retângulo. 
Resp: a) a=1;b=4;c=5 b) c=10 
 
5. Quantas soluções a equação 
 
admite em ? Resp: 3 
 
6. Resp: D 
 
 
7. Resp: D. 
 
8. (Fuvest 2014) O triângulo 
AOB
 é isósceles, 
com 
OA OB,
 e 
ABCD
 é um quadrado. 
Sendo 
θ
 a medida do ângulo 
ˆAOB,
 pode-se 
garantir que a área do quadrado é maior do 
que a área do triângulo se 
 
Dados os valores aproximados: 
tg14 0,2493 , tg15 0,2679
tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317
   
   
 
a) 
14 28θ   
 
b) 
15 60θ   
 
c) 
20 90θ   
 
d) 
25 120θ   
 
e) 
30 150θ   
 
Resp: E 
 
9. Se ABC é um triângulo tal que AB = 3cm 
e BC = 4cm, podemos afirmar que a sua 
área, em cm
2
, é um número: 
a) no máximo igual a 9 
b) no máximo igual a 8 
c) no máximo igual a 7 
d) no máximo igual a 6 
Resp: D 
 
10. O palco de um teatro tem a forma de um 
trapézio isósceles cujas medidas de suas linhas 
de frente e de fundo são respectivamente 15 m 
e 9 m. Se a medida de cada uma de suas 
diagonais é 15 m, então a medida da área do 
palco, em m
2
, é 
a) 80. 
b) 90. 
c) 108. 
d) 1182. 
Resp: C 
 
11. Uma praça retangular é contornada por 
uma calçada de 2 m de largura e possui uma 
parte interna retangular de dimensões 15 m 
por 20 m, conforme a figura. 
 
 
 
Nessas condições, a área total da calçada é, em 
metros quadrados, igual a 
a) 148. b) 152. c) 156. d) 160. e) 164. 
 Resp: C 
 
12. Sejam ABC e DEF dois triângulos 
equiláteros. Sabendo que o perímetro de DEF é 
3 unidades maior do que o perímetro de ABC e 
sua área é o dobro da área de ABC, qual é a 
medida dos lados de ABC? 
 
Resp: 
 
13. Na figura a seguir, as circunferências 
1 2 3C , C , C
 e 
4C ,
 de centros 
1 2 3O , O , O
 e 
4O ,
 respectivamente, e mesmo raio r, são 
tangentes entre si e todas são tangentes à 
circunferência 
C
 de centro 
O
 e raio 
R.
 
 
 
 
Considerando o exposto, calcule em função de 
R,
 a área do losango cujos vértices são os 
centros 
1 2 3O , O , O
 e 
4O .
 
 
Resp: 
 
14. O dono de um sítio pretende colocar uma 
haste de sustentação para melhor firmar dois 
postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A 
figura representa a situação real na qual os 
postes são descritos pelos segmentos AC e BD e 
a haste é representada pelo EF, todos 
perpendiculares ao solo, que é indicado pelo 
segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC 
representam cabos de aço que serão 
instalados. 
 
 
 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste 
EF? 
a) 
1m
 b) 
2 m
 c) 
2,4 m
 d) 
3 m
 e) 
2 6 m
 
Resp: C 
 
15. Uma fábrica de fórmicas produz placas 
quadradas de lados de medida igual a y 
centímetros. Essas placas são vendidas em 
caixas com N unidades e, na caixa, é 
especificada a área máxima S que pode ser 
coberta pelas N placas. 
Devido a uma demanda do mercado por placas 
maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados 
de suas placas e conseguiu reuni-las em uma 
nova caixa, de tal forma que a área coberta S 
não fosse alterada. 
 
A quantidade X, de placas do novo modelo, em 
cada nova caixa será igual a: 
a) 
N
9
 b) 
N
6
 c) 
N
3
 d) 
3N
 e) 
9N
 
Resp: A 
 
16. ) Em um sistema de dutos, três canos 
iguais, de raio externo 30 cm, são soldados 
entre si e colocados dentro de um cano de raio 
maior, de medida R. Para posteriormente ter 
fácil manutenção, é necessário haver uma 
distância de 10cm entre os canos soldados e o 
cano de raio maior. Essa distância é garantida 
por um espaçador de metal, conforme a figura: 
 
 
 
Utilize 1,7 como aproximação para 
3.
 
 
O valor de R, em centímetros, é igual a 
a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. 
Resp: C 
 
17. Em canteiros de obras de construção civil é 
comum perceber trabalhadores realizando 
medidas de comprimento e de ângulos e 
fazendo demarcações por onde a obra deve 
começar ou se erguer. Em um desses canteiros 
foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi 
possível perceber que, das seis estacas 
colocadas, três eram vértices de um triângulo 
retângulo e as outras três eram os pontos 
médios dos lados desse triângulo, conforme 
pode ser visto na figura, em que as estacas 
foram indicadas por letras. 
 
 
 
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N 
deveria ser calçada com concreto. 
Nessas condições, a área a ser calcada 
corresponde 
a) a mesma área do triângulo AMC. 
b) a mesma área do triângulo BNC. 
c) a metade da área formada pelo triângulo 
ABC. 
d) ao dobro da área do triângulo MNC. 
e) ao triplo da área do triângulo MNC. 
Resp: E 
 
 
18. Uma metalúrgica recebeu uma encomenda 
para fabricar, em grande quantidade, uma peça 
com o formato de um prisma reto com base 
triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 
cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve 
ser vazada de tal maneira que a perfuração na 
forma de um cilindro circular reto seja tangente 
as suas faces laterais, conforme mostra a 
figura. 
 
 
 
O raio da perfuração da peça é igual a 
a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. 
Resp: B 
 
19. A rampa de um hospital tem na sua parte 
mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um 
paciente ao caminhar sobre a rampa percebe 
que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma 
altura de 0,8 metro. 
A distância em metros que o paciente ainda 
deve caminhar para atingir o ponto mais alto da 
rampa é 
a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. 
d) 5,6 metros. e) 7,04 metros. 
Resp: D 
 
20. Demonstre a fórmula de sen(3x), cos (3x) e 
tg(3x). 
 
20. Utilize as fórmulas de adição e 
subtração de arcos e calcule: 
 
a) 
º75sen
 b) 
º120sen
 
c) 
º105cos
 d) sen(165°) 
 
21. (Albert Einstein-2017) 
 
Resp: d 
 
22. O raio da circunferência de centro O 
mede 5 cm e o do centro O’ mede 3 cm . 
Qual a medida de O’P? 
 
 
 
 
A
 
B 
 
 
 O O’ 
 
R: 12 cm 
 
 
23. A razão de semelhança de dois 
triângulos equiláteros é 2/5. O lado do 
menor mede 8 m. Calcule a medida do 
lado do outro triângulo. 
R: 20 m24. Nesta figura, a reta t é tangente às três 
circunferências, que também se 
tangenciam mutuamente. As duas 
circunferências maiores tem raio R ; a 
circunferência menor raio r . Mostre que , 
4
R
r 
 
 
 
 
 
 A  B  
 
 
 C  
 
25. O perímetro de um triângulo retângulo 
isósceles é 2p . Nesse triângulo, calcule a 
altura relativa à hipotenusa. 
 R: p .(
1)2 
 
 
26. Sejam 

 um arco do 1º quadrante e 

 um arco do 2º quadrante, tais que 
8,0cos 
 e 
6,0sen 
. Determine o 
valor de 
  sen
. 
Resp: Zero. 
27. Sendo 
2
5
cos  asena
, calcule o 
valor de 
asen2
. Resp: 
 
 
 
 
 
28. (FUVEST) No triângulo ABC, os catetos 
AB e AC medem 
32 
 e 1, 
respectivamente. Seja D um ponto de AB 
tal que AD = AC. Calcule 
)(tg 
onde 

 e 

 são as medidas 
CDA ˆ
 e 
CBA ˆ
, 
respectivamente. (resp: ) 
29. (UNESP) Se o ângulo (2x) pertence ao 
primeiro quadrante e 
22 xtg
, calcule o 
valor de 
tgx
. 
Resp: 
2
15 
tgx
 
 
 
 
 
 
30. (FGV) Na figura, 
BCA ˆ
é um ângulo 
reto,  CBDDBA ˆˆ , xAD  , 
1DC
 e 
3BC
. Com as informações 
dadas, determine o valor de x. 
Resp: 
 
 
 
 
31. Se tg(x) = 
4
3
 e 
2
3
x


, o valor 
de cos(x) – sen(x) é igual a: 
 
a) 
5
7
 b) 5
7

c) 
5
2

d) 
5
1
e) 
5
1

 
Resp: D 
 
 32. (FUVEST) Calcule o valor de 
  º20.º10cotº10 sengtg 
. 
Resp: 2 
 
33. Resp: SIM.
 
34. Considere um triângulo ABC tal que a 
altura BH seja interna ao triângulo e os 
ângulos BÂH e . sejam congruentes. 
a) Determine a medida do ângulo . 
b) Calcule a medida de AC, sabendo que AB 
= 4cm e a razão entre as áreas dos 
triângulos ABH e BCH é igual a 2. 
Resp: a) 90° b) AC = 
 
35. Julgue os itens seguintes, relativos a 
propriedades de triângulos e equiláteros. 
(1) É possível traçar um triângulo com 
lados medindo 15 cm, 7 cm e 5 cm. 
 (2) Um triângulo fica inteiramente 
determinado, conhecendo-se os seus três 
ângulos. 
(3) Um triângulo fica inteiramente 
determinado, conhecendo-se os seus três 
lados. 
 (4) Um quadrilátero fica inteiramente 
determinado, conhecendo-se os quatro 
lados. 
Resp: F F V F 
 
36. Resp: A
 
 
 37. A área máxima que pode ter um 
triângulo isósceles cujos lados iguais 
medem 10cm é: 
a) 50 b) 70 c) 35 d) 57 e) 25 
Resp: A 
 
38. Prove que a altura de um triangulo 
equilátero é dada por 
 
 
 . 
 
39. Resp: E
 
 
 
40. Na figura AB= BD= CD. Então: 
 
 
 a) y=3 x b) y =2x c) x +y  180º 
d) x = y e) 3x= 2y 
Resp: A 
 
41. No retângulo a seguir, o valor, em 
graus, de  +  é 
 
a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220 
Resp: D 
 
42. Prove que toda reta que passa pelo 
ponto médio de um segmento é 
equidistante dos extremos do segmento. 
 
43. 
 
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na 
figura, o comprimento do lado BC mede 
 
 
, o ângulo interno de vértice C mede α , 
e o ângulo interno de vértice B mede α/2 . 
Sabe-se, também, que 
 
 
Nessas condições, calcule 
a) o valor de sen α ; 
b) o comprimento do lado AC . 
resp: a) 
 
 
 b)