Aplic.Derivadaslides (1)

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Aplicações da Derivada 
3 - Construção de Gráficos
Gráficos como o da função 
 não são fáceis de serem construídos pelo método convencional (atribuição de valores a x). Da mesma forma, funções polinomiais de grau maior que 3, funções exponenciais, racionais e outras apresentariam uma dificuldade ainda maior. Para funções desse tipo podemos utilizar a derivada como auxílio para realizar um bom esboço de seus gráficos.
3.1 - Extremos Relativos (máximo e mínimo)
Máximo relativo de uma função é um “pico”, ou seja um ponto do gráfico da função mais alto que qualquer outro que lhe seja vizinho.
Mínimo relativo é o “fundo do vale”, ou seja um ponto do gráfico da função mais baixo que qualquer outro que lhe seja vizinho.
Identifique no gráfico abaixo os extremos relativos.
					y	
		
								 f(x)
					
									x
3.2 - Crescimento e Decrescimento
Uma função é crescente quando à medida que x aumenta, f(x) também aumenta. 
Uma função é decrescente quando à medida que x aumenta temos que f(x) diminui. 
y	
		
								 f(x)
				
									x
3.3 - Sinal da derivada
Podemos reconhecer quando uma função é crescente ou decrescente através do sinal de sua primeira derivada. Quanto à concavidade, podemos determiná-la através do sinal da segunda derivada.
			
 
					
			
- Teste da primeira derivada:
> 0 em (a,b) 
 é crescente em (a,b).
	
 
< 0 em (a,b) 
 é decrescente em (a,b).
3.4 - Pontos Críticos
Chamamos de ponto crítico o ponto 
pertencente ao domínio da função f tal que 
= 0 ou 
 não existe. Dentre os pontos críticos podemos identificar os que são pontos de máximo e os que são pontos de mínimo. Alguns pontos críticos podem não ser nem de máximo, nem de mínimo, nesse caso são ditos pontos de inflexão, ou seja um ponto onde a concavidade muda (veja figura abaixo). Esses pontos também são conhecidos como pontos críticos de segunda ordem, pois eles anulam a segunda derivada da função.
 
 x0		 x0								
	
x0		 x0 x0 x0			 x x0
3.4.1.Teste da segunda derivada
Seja 
 ponto crítico, então
> 0 
é ponto de mínimo 
< 0 
é ponto de máximo 
�
- Realizando os dois testes, o da primeira derivada e o da segunda, simultaneamente, para x no intervalo (a,b), podemos concluir que:
	
	Crescimento de f
	
	Concavidade de f
	Formato de f
	-
	
	-
	para baixo
	
	-
	
	+
	para cima
	
	+
	
	-
	para baixo
	
	+
	
	+
	para cima
	
3.5 - Construção do Gráfico 
Os passos seguintes indicam como construir o gráfico de uma função:
Passo 1: Calcule a derivada da função e encontre os pontos críticos de primeira e segunda ordem
Passo 2: Marque esses pontos numa reta, observando as descontinuidades da função, e determine as regiões de crescimento e decrescimento (sinal de f ’(x)), assim como as concavidades (sinal de f’’(x)).
Passo 3:Marque os pontos críticos e suas imagens no plano cartesiano e use as informações anteriores para construir o gráfico da função.
Exercícios:
Seguindo os passos acima, construa o gráfico das seguintes funções, indicando seus pontos de máximo, mínimo e inflexão, caso existam:
f(x) = 2x3+ 3x2-12x-7	 b) y = x4+ 8x3+ 18x2- 8 c) g(x) = 
 d) y = 3 - (x+1)3
Observe que os extremos delimitam as regiões de crescimento e decrescimento
f decresce
�
f’ < 0
f decresce
�
f ’ < 0
f decresce
�
f ’ < 0
f cresce
�
f ’ > 0
f cresce
�
f ’ > 0
máximo
mínimo
máximo
mínimo
inflexão
_1397978332.unknown
_1397980865.unknown
_1397980881.unknown
_1397980922.unknown
_1397981254.unknown
_1397980887.unknown
_1397980870.unknown
_1397978563.unknown
_1397979207.unknown
_1397979276.unknown
_1397979210.unknown
_1397979192.unknown
_1397978544.unknown
_1397978558.unknown
_1397978344.unknown
_637019428.unknown
_1397977377.unknown
_1397978320.unknown
_637020068.unknown
_637020388.unknown
_637019748.unknown
_637018788.unknown
_637019108.unknown
_391611264.unknown