Integraçao - teoria

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CÁLCULO DIF E INT B – ENGENHARIA QUÍMICA – 2º SEM/ 2017 
 
 
1 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL B 
Professora Bia Leite 
 
DERIVADAS – UMA BREVE REVISÂO 
 
- Interpretação geométrica: a derivada de uma função num ponto do domínio de abscissa 
é o valor da inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Através da derivada podemos 
analisar o comportamento (crescimento, decrescimento, concavidade...) da função. A derivada 
nos fornece informações sobre como a variação da função. 
Definição: 
 
 
 
 
Na prática utilizamos a tabela de derivadas para obter a expressão da derivada de uma função 
qualquer. 
Alguns lembretes importantes: 
- Para obter a derivada de uma função composta: Regra da Cadeia 
Teorema: Se for diferenciável no ponto e for diferenciável no ponto então a composição 
f o g é diferenciável no ponto x. Além disso, se e então e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Derivada de uma função implícita: 
Muitas vezes a função (ou curva) é descrita por uma equação do tipo e não é possível 
explicitá-la na forma 
Para encontrar a derivada de uma função (curva) dada na forma implícita deve-se usamos a 
regra da cadeia, mesmo sem explicitar 
 
ALGUMAS APLICAÇÕES DA DERIVADA: 
1) Esboço de gráficos 
Roteiro: 
a) Determinar o domínio da função; 
b) Encontrar, se possível, as intersecções com os eixos; 
c) Analisar o crescimento/decrescimento , máximos e mínimos - f´(x), 
d) Analisar a concavidade e pontos de inflexão - f´´(x) 
e) Verificar a existência de assíntotas e o comportamento no infinito 
f) Sintetizar os resultados num quadro 
g) Esboçar o gráfico 
 
2) Problemas de otimização 
Muitas situações cotidianas podem ser razoavelmente descritas a partir de uma função f(x). 
Em muitos casos o objetivo é encontrar os valores ótimos destas funções, que podem ser 
os valores que a maximizam ou a minimizam, dependendo do caso. 
 
3) Cálculo de limites de formas indeterminadas (Regra de L´Hopital) 
A regra de L´Hopital é utilizada para resolver indeterminações do tipo 
 
 
 e . 
Sejam e funções deriváveis num intervalo aberto I , exceto, possivelmente em 
um ponto . Suponhamos que em I. 
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2 
 
i) Se 
 
 
 
 
 
 , então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
ii) Se 
 
 
 
 
 
 , então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
4) Taxas relacionadas 
Situações nas quais é importante encontrar a taxa segundo a qual uma grandeza varia em 
relação a outra, que possa ser medida mais facilmente. 
 
 
Exemplos: 
 
1) Determine y´ para as funções abaixo, utilizando derivação implícita quando necessária: 
a) 
 
 
 
b) √ 
c) √ 
 
2) Esboce o gráfico das funções abaixo: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
3) Resolva os problemas abaixo: 
a) Deseja-se construir uma lata cilíndrica, com tampa, com capacidade de 1 litro. 
Determine as dimensões para que a quantidade de material seja a menor possível. 
b) Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um 
lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 m2 de área, determinar as dimensões a 
e b , de forma que o comprimento da cerca seja mínimo. 
 
4) Encontre os limites abaixo: 
a) 
 
 
 c) 
 
 
 e) √ 
 
 
5) Resolva os problemas abaixo: 
 
a) Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a 
uma taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o 
diâmetro é 50 cm? 
 
b) Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 mi, a 500 mi/h e passa 
diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a 
distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 2 mi da estação. 
 
c) Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 15 pés. Um homem com 6 pés 
de altura anda afastando-se do poste com uma velocidade de 5 pés/s de acordo 
com uma trajetória reta. Com que velocidade se move o topo de sua sombra quando 
ele está a 40 pés do poste? 
 
 
 
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ANTIDERIVADAS 
Em algumas situações temos que, a partir de informações sobre a variação de certo fenômenos, 
encontrar a função que descreve o mesmo. 
Exemplos: 
-medir a taxa de variação segundo a qual a água escoa de um tanque para saber a quantidade 
total de água escoada durante certo período; 
- a partir do conhecimento da taxa segundo a qual uma população de bactérias cresce, deduzir o 
tamanho da população num tempo futuro 
Definição: Uma função F é denominada uma antiderivada de f sobre um intervalo I se 
 para todo x em I. 
Exemplos: 
 Determine uma antiderivada das funções abaixo: 
a) b) c) d) 
 
 
 e) 
 
Teorema: Se F for uma antiderivada de f em um intervalo I, então a antiderivada mais geral de f 
em I é onde, C é uma constante arbitrária. 
Atribuindo valores específicos para a constante C obtemos uma família de funções cujos gráficos 
são paralelos em relação ao eixo vertical. 
A notação ∫ é usada para denotar a antiderivada mais geral de e é chamada integral 
indefinida. Ou seja 
∫ com que 
O símbolo∫ é o sinal de integração, é a função integrando e o símbolo identifica a 
variável independente, da mesma forma como quando usamos a notação 
 
 
 para derivar uma 
função f em relação à variável x. O adjetivo indefinida enfatiza que o resultado da antiderivação é 
uma função “genérica”. 
Observe que, se derivarmos uma antiderivada de , voltamos a obter Assim: 
 
 
[∫ ] 
 
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4 
 
ALGUMAS INTEGRAIS IMEDIATAS: 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
∫ 
∫
 
 
 
Além disso, valem as propriedades: 
∫[ ] ∫ ∫ e ∫ ∫ 
 
Exemplos: 
1) Calcule as integrais indefinidas: 
a) ∫
 
 
 b) ∫
 
 
 c) ∫[ ] d) ∫( √ )( √ ) 
e) ∫ f)∫[ √ 
 ] g) ∫[ ] h) ∫ [
 
√ 
 ] 
 
2) Encontre a partir da informação dada: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
3) Um objeto move-se ao longo de uma reta coordenada com velocidade 
 unidades por segundo. Sua posição inicial (posição no instante t=0) é 2 
unidades à direita da origem. Encontre a posição do objeto 4 segundos depois. 
 
4) Quando uma partícula se move sobre um plano, sua coordenada muda à taxa de 
unidades por segundo e sua coordenada muda à taxa de unidades por segundo. Se a 
partícula está no ponto (4,2) quando t=2 segundos, onde estará partícula 4 segundos 
depois? 
 
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MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
Em algumas situações é possível encontrar a integral de uma função a partir das fórmulas básicas 
já vistas após uma mudança adequada de variável. 
Em relação ao processo de derivação, quando necessitamos derivar uma função composta 
 ( ) usamos a variável auxiliar e aplicamos a regra da cadeia. 
De forma análoga, temos: 
Sejam duas funções tais que . 
Suponhamos que seja outra função derivável tal que a imagem de esteja contida no domínio 
de . Considerando a função composta e derivando a função pela regra da cadeia, 
obtemos: 
[ ] 
Isto é, é uma antiderivada de 
Temos, portanto: 
∫ 
Para facilitar a notação, fazemos , e a expressão acima fica 
Ou seja, devemos escolher adequadamente tal que a integral obtida seja mais simples. 
Às vezes será necessário repetir o processo e/ou combiná-lo com outras técnicas de integração. 
Exemplos: 
Calcule as integrais indefinidas: 
 
a) ∫
 
 
 b) ∫ 
 c) ∫ d) ∫
 
 
 
e) ∫
 
√ 
 f) ∫ 
g) ∫ h) ∫
 
 
 
i) ∫
 
 
 j) ∫ 
k) ∫ 
 l) ∫
 
 
 
m) ∫ n) ∫
 
 
 
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INTEGRAÇÃO POR PARTES 
Vamos inicialmente destacar a derivada de um produto: 
[ ] 
ou, de forma equivalente: 
 [ ] 
Integrando os dois lados: 
∫ ∫[ ] ∫ 
Ou ainda 
∫ ∫ (1) 
As constantes de integração decorrentes do processo serão agrupadas numa única constante C, 
ao final. 
Para facilitar a notação, fazemos 
 ⇒ e ⇒ 
 
Substituindo em (a), obtemos a fórmula da integração pro partes: 
∫ ∫ 
Exemplos: 
Calcule as integrais indefinidas: 
 
a) ∫ b) ∫ 
c) ∫ d) ∫ 
e) ∫ f) ∫ 
g) ∫
 
√ 
 h) ∫ 
i) ∫ j) ∫ 
 
 
 
 
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7 
 
Integrais de algumas funções trigonométricas envolvendo expressões do tipo 
 , , com m e n inteiros e positivos 
 
Para resolver de forma mais simples estas integrais, podemos usar as identidades trigonométricas 
abaixo, visando reescrever o integrando para utilizar o método da substituição: 
i) 
ii) 
 
 
 
iii) 
 
 
 
iv) 
 
 
 
v) 
vi) 
vii) 
 
 
 
viii) 
 
 
 
 
Dicas: 
1) Se a integral for do tipo ∫ ou ∫ : 
Se n é ímpar: usar a identidade (i) 
Se n é par: usar as identidades (ii) e (iii) 
 
2) Se a integral for do tipo ∫ 
Se pelo menos um dos expoentes é ímpar: usar a identidade (i) 
Se ambos são pares, usamos (ii) e (iii) e eventualmente (iv) 
 
3) Se a integral for do tipo ∫ 
Para preparar o integrando, usamos as identidades (v), uma vez que 
 
 
4) Se a integral for do tipo ∫ 
Dependendo dos valores de m e n, preparamos o integrando para resolver a integral por 
substituição ou resolvemos por partes. 
 
 
Exemplos: 
 
a) ∫ b) ∫ 
 
c) ∫ d) ∫ 
 
g) ∫ f) ∫ 
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INTEGRAIS DEFINIDAS E APLICAÇÕES 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO (TFC) 
Se for uma função contínua em [a,b], então a integral definida de de a até b, denotada por 
∫ 
 
 
 é dada por: 
∫ 
 
 
 
onde é qualquer antiderivada de isto é 
Se ∫ 
 
 
 existe, então dizemos que é integrável em [a,b]. 
Valem ainda as seguintes propriedades: 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
∫ [ ] ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 para 
 
Exemplos: 
1) Calcule as integrais definidas: 
 
a) ∫ 
 
 
 b) ∫
 
√ 
 
 
 c) ∫ 
 
 
 d) ∫
 
√ 
 
 
 
e) ∫ 
 
 
 f) ∫ 
 
 
 g) ∫ 
 
 
 h) ∫ √ 
 
 
 
 2) Considere ∫
 
 
 
 
. Calcule , 
 
OBSERVAÇÃO: Observe que a integral ∫
 
 
 
 
 não pode ser obtida pelo TFC, pois a função não é 
contínua no intervalo considerado. Já para calcular ∫
 
 
 
 
 o TFC pode ser aplicado, pois a função é 
contínua no intervalo [1,2]. 
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APLICAÇÕES 
I) CÁLCULO DE ÁREA DE REGIÕES PLANAS 
 
Considere a área indicada na figura abaixo: 
 
 
que pode ser aproximada pela área dos retângulos, isto é: 
 ∑ 
 
 
 
Note que a aproximação torna-se melhor a medida que o número de retângulos aumenta, ou 
equivalentemente, a base de cada um deles diminui. 
 
Assim, podemos obter a área exata de uma função contínua e não negativa num intervalo [a,b] 
através da expressão: 
 
 
∑ 
 
 
 
Por outro lado, define-se a soma acima como a integral definida da função f no intervalo [a,b], isto é 
∫ 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
De forma geral, podemos considerar os seguintes casos para o cálculo de áreas de regiões planas: 
 
1) A região é limitada por uma função contínua e pelo eixo x, num intervalo [ ] : 
1a) Se em [a,b], então ∫ 
 
 
 
1b) Se em [a,b], então ∫ 
 
 
 
 
2) A região é limitada por duas funções em [ ] , tal que: 
i) Neste caso ∫ [ ] 
 
 
 
ii) em [ ] e em [ ] com . Neste caso, 
 ∫ [ ] 
 
 
 ∫ [ ] 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
1) Calcule a área da região determinada pelas integrais definidas e represente graficamente: 
 
a) ∫ 
 
 
 
 
b) ∫ 
 
 
 
 
 
2) Calcule a área da região plana limitada pelas funções abaixo: 
 
a) , eixo x, no intervalo [0,1] 
b), 
c) , , no intervalo [0,2] 
d) , , no intervalo [-2,-1] 
e) , , no intervalo [0,2] 
f) , 
 
 
 
 
II) VALOR MÉDIO DE UMA FUNÇÃO 
 
A integral definida pode ser usada para calcular o Valor M´dio de uma função, que é de grande 
interesse em várias situações práticas. 
 
Seja uma função contínua num intervalo [ ]. O valor médio de no intervalo [ ] é 
dado pela integral definida 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
Exemplos: 
1) Um fabricante estima que meses após lançar um novo produto no mercado, a receita da empresa 
com a venda de produto será de milhares de reais, onde 
 
√ 
. Qual será a receita 
média da empresa com a venda do produto nos primeiros 6 meses? 
 
2) A população de certa cidade anos após 1990 é dada por 
 
 
 milhões de habitantes. Qual 
foi a população média da cidade entre 1990 e 2000? 
 
3) Calcule o valor médio das funções abaixo. Represente graficamente a função e o valor médio obtido. 
Determine para que valores de coincide com o valor médio no intervalo dado: 
a) [ ] 
b) [ ] 
 
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 Algumas vezes precisamos integrar funções nas quais há pontos de descontinuidade (há assíntotas 
verticais) no intervalo ou o limite de integração é infinito e existem assíntotas horizontais. As integrais 
que envolvem regiões ilimitadas são denominadas integrais impróprias. Nestes casos o TFC não se 
aplica. Muitas vezes, apesar da região plana ser ilimitada, a área correspondente é finita, como 
veremos nos exemplos a seguir. 
Definição: Seja uma função contínua para: 
i) 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 se o limite existir 
 
ii) 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 se o limite existir 
 
iii) qualquer : 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 , se ambos existirem. 
 
 
iv) Situações nas quais o integrando assume comportamento infinito são tratados de 
forma similar, reescrevendo a integral como limite de uma integral definida. 
Isto é, se é contínua em [ ], exceto em [ ], no qual ela possui uma 
descontinuidade infinita ( a reta é uma assíntota vertical de , escrevemos: 
∫ 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
Quando o limite existe, dizemos que a integral converge. Caso contrário, a integral diverge. Nos 
casos (iii) e (iv), a integral converge se ambas convergirem. Se uma delas diverge, a integral é 
divergente. 
OBS: Atenção! O resultado é uma indeterminação. Analise com cautela. 
Exemplos: 
1) ∫ 
 
 
 
 
 
 2) ∫ 
 
 
 
 
 
 3) ∫ 
 
 
 
 
 
 4) ∫ 
 
 
 
 
 
 
5) ∫ 
 
 
 
 
 6) ∫ 
 
 
 
 
 7) ∫ 
 
√ 
 
 
 8) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
As substituições trigonométricas são úteis para resolver integrais cujo integrando envolve 
expressões do tipo √ , √ , √ , com 
 
1) √ 
 
Neste caso usaremos a substituição ⇒ 
Vamos supor 
 
 
 
 
 
. Desta forma 
 
 
 
 
 √ 
Exemplo: ∫
√ 
 
 
 
 
2) √ 
Neste caso usaremos a substituição ⇒ 
Vamos supor 
 
 
 
 
 
. Desta forma 
 
 
 
 
 
√ 
 
Exemplo: ∫
 
 √ 
 
 
 
3) √ 
Neste caso usaremos a substituição ⇒ 
Vamos supor 0 
 
 
 ou 
 
 
. Desta forma 
 
 
 
 
 
√ 
 
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Exemplo: ∫
 
 √ 
 
 
 
Outros exemplos: 
1) ∫
 
 √ 
 2) ∫
 
√ 
 3) ∫√ 4) ∫
√ 
 
 5) ∫
√ 
 
 
 
Algumas integrais que envolvem expressões da forma √ podem ser 
resolvidas com uma substituição conveniente. Às vezes é necessário completar o quadrado 
do trinômio para visualizar a substituição, de forma que a integral recaia numa 
integral tabelada ou já vista anteriormente. O mesmo recurso algébrico pode ser usado em 
integrais que envolvem o trinômio mas não na raiz. 
 
Exemplos 
 
1) ∫
 
√ 
 2) ∫
 
√ 
 3) ∫
 
 
 
 
 
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INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS 
Sabemos que uma função racional é definida como o quociente de duas funções polinomiais, 
ou seja, 
 
 
 onde são polinômios. 
As integrais de algumas funções racionais são imediatas ou podem ser resolvidas por 
substituição ou ainda completando quadrados, como já visto anteriormente. 
Vamos aqui apresentara outro procedimento que possibilita calcular a integral de qualquer 
função racional. A ideia é escrever a função racional como uma soma de frações mais simples, e 
para isso, usaremos um resultado da Álgebra que garante que um polinômio com coeficientes reais 
pode ser escrito como produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. Isto 
é, qualquer polinômio pode ser fatorado a partir de termos de 1º e 2º grau. 
 A decomposição da função racional 
 
 
 depende da fatoração do denominador. A 
seguir apresentaremos os 4 casos. 
 Vamos admitir também que o grau do polinômio é menor que o grau de . Caso isto 
não ocorra, devemos primeiro fazer a divisão de por 
 
CASO I: Os fatores de são lineares e distintos 
Neste caso, podemos escrever na forma sendo os 
distintos. 
A decomposição da função racional 
 
 
 em frações mais simples é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e deve-se determinar as constantes igualando as expressões do lado direito e esquerdo. 
Exemplos: 
Calcular as integrais: 
1) ∫
 
 
 
2) ∫
 
 
 
 
CASO II: Os fatores de são lineares e alguns deles se repetem. 
Se um fator linear de q(x) tem multiplicidade r, a esse fator corresponderá uma soma de 
frações parciais na forma a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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onde as constantes Bi devem ser determinadas. 
Exemplo: 
Calcular a integral: ∫
 
 
 
 
 
CASO III: Os fatores de são lineares e quadráticos irredutíveis, e os quadráticos não se 
repetem. 
Neste caso, a cada fator quadrático irredutível do polinômio q(x) corresponderá uma 
fração parcial da formaonde as constantes C e D devem ser determinadas. 
Exemplo: 
Calcular a integral: ∫
 
 
 
 
CASO IV: Os fatores de são lineares e quadráticos irredutíveis, e alguns dos fatores 
quadráticos se repetem. 
Neste caso, a cada fator quadrático irredutível do polinômio q(x) corresponderá uma 
fração parcial da forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde as constantes Ci e Di devem ser determinadas. 
Exemplo: 
Calcular a integral: ∫
 
 
 
 
 
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OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
III) VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO 
A rotação de uma região plana em torno de uma reta no plano dá origem a um sólido denominado 
sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é chamado eixo de revolução. 
Por exemplo: 
- Fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e y = 4 girar em torno do eixo dos x, o sólido de 
revolução obtido é um cone 
 
 
- Fazendo o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y, 
obtemos um cilindro. 
 
 
 
O volume do sólido resultante pode ser calculado a partir da definição abaixo: 
 
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Definição: Seja uma função contínua em [a,b]. Seja R a região limitada pelo gráfico de no 
intervalo [a,b]. Então o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x é dado por: 
 ∫ [ ] 
 
 
 
 
Outros casos: 
 Quando a região R é limitada por 2 funções e tal que em [a,b]. Neste 
caso, o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x é dado por: 
 ∫ [ ] [ ] 
 
 
 
 
 
 Quando a rotação da região R ocorre em torno do eixo y. 
 
 
Neste caso o volume é dado por: 
 ∫ [ ] 
 
 
 
 
 
 Quando a rotação ocorre em torno de uma reta . Neste caso o volume é dado por: 
 ∫ [ ] 
 
 
 
 
 
 Quando a rotação ocorre em torno de uma reta . Neste caso o volume é dado por: 
 ∫ [ ] 
 
 
 
 
Exemplos: 
Calcule o volume dos sólidos de revolução definidos abaixo: 
a) Área limitada pela função 
 
 
, eixo x, no intervalo [1,4]. Eixo de rotação: . 
b) Área limitada pelas funções 
 
 
 
 
 
 . Eixo de rotação: . 
c) Área limitada pela função eixo e . Eixo de rotação: 
d) Área limitada pela função √ e . Eixo de rotação: . 
e) Área limitada pela função eixo , em [0,2], com os seguintes eixos de rotação: 
i) . ii) iii) 
 
 
 
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 IV) COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA 
 Considere a função 
 
Queremos encontrar o comprimento do arco, que é a porção da curva, que vai de (a,f(a)) até 
(b,f(b)). 
Considerando os pontos sobre a curva, obtemos uma poligonal que aproxima o 
comprimento de arco da curva C. 
Graficamente: 
 
 
 
Supondo f contínua e derivável em [a,b] o comprimento de arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à 
B(b,f(b)) é dado por: ∫ √ [ ] 
 
 
 
Obs: Podem ocorrer situações em que a curva é dada por x = g(y) em vez de y = f(x). Neste caso, 
o comprimento do arco da curva de A(g(c),c) até B(g(d),d) é dado por: 
 ∫ √ [ ] 
 
 
 
 
Exemplos: 
Calcule o comprimento de arco das curvas abaixo nos intervalos indicados: 
a) 
 
 , de A(1,-3) até B(4,4) 
b) √ de P0(0,2) até P1(1,6) 
c) 
 
 
 
 
 
 , 
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V) INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
 
Sabemos que se for uma função contínua em [a,b], então a integral definida de de a até b, 
denotada por ∫ 
 
 
 é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo, ou seja: 
∫ 
 
 
 
onde é qualquer antiderivada de isto é 
Se ∫ 
 
 
 existe, então dizemos que é integrável em [a,b]. 
Este resultado só pode ser obtido quando conhecemos a antiderivada. 
Dependendo da função que se deseja integrar, este processo pode não se aplicar. Em alguns casos, 
a antiderivada sequer existe e em outros, a resolução da integral pode ser bastante trabalhosa, 
dependendo da função . 
A ideia básica da integração numérica é a substituição da função por um polinômio que a 
aproxime razoavelmente bem no intervalo [a,b]. Desta forma, a integral será resolvida a partir da 
integração de polinômios, o que é trivial. 
 
As fórmulas básicas da integração numérica, chamadas fórmulas de Newton Cotes considera que o 
polinômio que aproxima a função no intervalo [a,b] é o polinômio interpolador da função neste 
intervalo. 
Consideremos a partição do intervalo [a,b] em subintervalos, todos de mesmo comprimento h. Isto é 
 
 
 
. 
 
 
Regra dos trapézios 
 
Considere o segmento de reta que passa pelos pontos e . 
A integral definida de no intervalo [ ] pode ser aproximada por: 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ [
 
 
 
 
 
 ] 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
[ ] que é a área do trapézio de altura 
 
 
Graficamente: 
 
CÁLCULO DIF E INT B – ENGENHARIA QUÍMICA – 2º SEM/ 2017 
 
20 
 
A fim de diminuir o erro cometido na aproximação, podemos subdividir o intervalo de integração e 
aplicar a regra dos trapézios repetidas vezes. Assim teremos 
∫ 
 
 
 
 
 
[ [ ] ] 
Graficamente: 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule uma aproximação para ∫ 
 
 
 usando 10 subintervalos para a regra dos trapézios 
repetida. 
 
2) Encontre um valor aproximado para ∫ √ 
 
 
 considerando h=1. Calcule o valor exato 
pelo TFC e estime o erro cometido. 
 
3) Estime o valor de ∫ 
 
 
 
 
 considerando: 
 a) 3 subintervalos b) 5 subintervalos 
 
4) Calcule 
a) ∫
 
 
 
 
 
 com b) ∫ √ 
 
 
 com 
 
5) Use a Regra dos Trapézios para estimar o valor médio da função tabelada abaixo no intervalo 
[1,5]: 
x 1,0 1,5 2,0 2,5 3,9 3,5 4,0 4,5 5,0 
f(x) 2,4 2,9 3,3 3,6 3,8 4,0 4,1 3,9 3,5 
 
6) Use a Regra dos Trapézios com n=6 para aproximar o volume do sólido obtido ao girar a 
região plana limitada pela função tabelada, o eixo x , no intervalo [2,8] ao redor do eixo x. 
Represente graficamente. 
 
x 2 3 4 5 6 7 8 
f(x) 0 1,5 2 2,4 3 3,8 4