Prova - 1º Exame (2)

Prévia do material em texto

ALUNO(A): ID - UFPB:
CURSO: TURNO:
EXAME No 1 - GABARITO A
PARTE I - QUESTÕES MÚLTIPLA ESCOLHA (valor 7,0 pontos) Nota:
01 Se an =
2
2n� 5 e bn = n sen (3=n), assinale no menu o valor da expressão 2 sup an� inf an + lim bn:
(a) 11 (b) 14 (c) 13 (d) 9 ( e ) 10 (f) 12 (g) NDR
02 Se o valor da soma
1X
n=0
xn
2n+1
é 3, então o valor de x deve ser igual a:
(a) 13=7 (b) 11=6 (c) 9=5 ( d ) 5=3 (e) 3=2 (f) 7=4 (g) NDR
03 Assinale no menu a sequência divergente.
(a) cos (2n�) ( b ) sen (n�=2) (c) (�1)n =n (d) lnn
n
(e) exp (1=n) (f) n=2n+1 (g) NDR
04 Assinale no menu o valor da soma da série
1X
n=1
�
1
n
� 1
n+ 2
�
( a ) 3=2 (b) 5=6 (c) 13=2 (d) 7=12 (e) 13=42 (f) 1=3 (g) NDR
05 As somas parciais da série
1P
n=1
an são Sn =
2n2
3n2 + 4
. Assinale o valor de 8 � lim a2n +
1P
n=1
an:
( a ) 2=3 (b) 1=2 (c) 1=4 (d) 4=5 (e) 2 (f) 5 (g) NDR
06 Associe à serie o número 1ou 2, conforme ela seja convergente ou divergente
( 2 )
1P
n=1
(�1)n+1 ( 1 )
1P
n=1
(�1)np
n
( 2 )
1P
n=1
n
n+ 2
( 2 )
1P
n=1
log n
n
( 2 )
1P
n=1
n sen (1=n)
A soma dos algarismos da associação é igual a:
(a) 5 (b) 7 ( c ) 9 (d) 8 (e) 6 (f) 10 (g) NDR
07 Os primeiros termos de certa sequência (an) são 23 ; 1;
4
5 ; 2;
6
7 ; 3; : : :. Assinale o valor de a30+73 �a71.
( a ) 87 (b) 88 (c) 77 (d) 76 (e) 90 (f) 89 (g) NDR
GABARITO (preenchimento obrigatório)
01 02 03 04 05 06 07
a a a a a a a
b b b b b b b
c c c c c c c
d d d d d d d
e e e e e e e
f f f f f f f
g g g g g g g
PARTE II - ESCREVENDO PARA APRENDER (valor 3,0 pontos) Nota:
08 Usando um critério adequado, decida sobre a convergência ou não da série e, no caso de ela convergir,
classi…que a convergência em absoluta ou condicional.
a
1X
n=1
[2 + cos (n�)] b
1X
n=1
(�1)n+1
p
n3
n2 + n6
c
1X
n=1
(�1)n n!
2� 4� 6� � � � � (2n)
SOLUÇÃO
a O termo geral da série é an = 2 + cos (n�) = 2 + (�1)n, o qual é uma sequência divergente. Pelo
Critério do n-ésimo Termo, deduzimos que a série diverge.
b Considerando os termos da série em valor absoluto, chegamos à série
1X
n=1
p
n3
n2 + n6
e para usar o
Critério da Comparação Direta, observamos que
an =
p
n3
n2 + n6
�
p
n3
n6
=
1
n9=2
= bn:
Sendo a p-série
X 1
n9=2
convergente, deduzimos que
1X
n=1
p
n3
n2 + n6
também converge e, por conseguinte,
1X
n=1
(�1)n+1
p
n3
n2 + n6
converge absolutamente.
c Neste caso, usaremos o Critério da Razão. Se an representa o termo geral da série, então
L = lim
����an+1an
���� = lim (n+ 1)!2� 4� 6� � � � � (2n) (2n+ 2) � 2� 4� 6� � � � � (2n)n!
= lim
(n+ 1)!
(2n+ 2)n!
= lim
n+ 1
2n+ 2
= lim
1 + 1=n
2 + 2=n
= 1=2:
Como L < 1, concluímos, com base no Critério da Razão, que a série converge absolutamente.
2