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�PAGE � �PAGE �67� 06 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES - 4 MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL Da mesma forma que no critério de Gauss-Jacobi, no método de Gauss-Seidel o sistema linear Ax = b é escrito na forma equivalente x = Cx + g por separação da diagonal. O processo iterativo consiste em, sendo x(0) uma aproximação inicial, calcular x(1), x(2), ..., x(k).... , por: Portanto, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular usamos todos os valores , ..., que já foram calculados e os valores , ..., restantes. EXEMPLO: Resolva o sistema linear: com e ( = 5x10-2 O processo iterativo é: K = 0 ( ( K = 1 ( ( K = 2 ( ( Assim, a solução do sistema linear dado com erro menor que (, pelo método de Gauss-Seidel é CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Para o método de Gauss-Seidel podemos usar como critérios de convergência o critério das linhas, que é definido da mesma forma que no método de Gauss-Jacobi. Também podemos usar o Critério de Sassenfeld Sejam e Seja Se ( < 1, então o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente qualquer que seja x(0). Além disto, quanto menor for (, mais rápida será a convergência. EXEMPLO: Seja o sistema linear: Para este sistema linear com esta disposição de linhas e colunas, temos (1 = [ 0,5 + 0,1 + 0,1 ] / 1 = 0,7 (2 = [ (0,2)(0,7) + 0,2 + 0,1 ] / 1 = 0,44 (3 = [ (0,1)(0,7) + (0,2)(0,44) + 0,2 ] / 1 = 0,358 (4 = [ (0,1)(0,7) + (0,3)(0,44) + (0,2)(0,358) ] / 1 = 0,2736 Portanto, e então temos a garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente. EXEMPLO: Com esta disposição de linhas e colunas, temos (1 = [ 1 + 3 ] / 2 = 2 > 1 Trocando as equações 1 e 3, temos donde (1 = [ 0 + 3 ] / 1 = 3 > 1 A partir desta disposição, trocando a 1ª coluna pela 3ª, temos Desta forma (1 = 1 / 3 (2 = [ (1)(1/3) + 0 ] / 1 = 1/3 (3 = [ (3)(1/3) + (1)(1/3) ] / 2 = 2/3 Portanto, ; então vale o critério de Sassenfeld e temos garantia de convergência. Ao aplicarmos critérios de convergência no método de Gauss-Seidel verificamos que sempre que o critério das linhas for satisfeito, automaticamente o critério de Sassenfeld é satisfeito. No entanto, o critério de Sassenfeld pode ser satisfeito mesmo que o critério das linhas não o seja. Temos: (1 = 1/3 < 1 (2 = 1/1 = 1; então o critério das linhas não é satisfeito No entanto, (1 = 1/3 < 1 (2 = [ (1)(1/3) ] / 1 = 1/3 < 1 (3 = [ (3)(1/3) + (1)(1/3) ] / 2 = 2/3 < 1 Portanto, o critério de Sassenfeld é satisfeito. EXEMPLO: Resolva o sistema linear com o método de Gauss-Seidel com e ( = 0,0001 Resposta: SISTEMAS LINEARES COMPLEXOS Seja o sistema Ax = b (1) onde A, x e b são matrizes complexas. Fazendo A = M + iN b = c + id (2) x = s + it onde: M, N – são matrizes reais de dimensão nxn c, d, s, t – são matrizes reais de dimensão nx1 Substituindo (2) em (1) temos: (M + iN)(s + it) = c + id Ms – Nt + i(Ns + Mt) = c + id ou, ainda, Ms – Nt = c e Ns + Mt = d Este último sistema se reduz a (3) O sistema (1) foi reduzido, portanto, ao sistema real (3). Basta agora resolver (3) com um dos métodos de resolução de sistemas lineares vistos anteriormente. Exemplo: Resolver o sistema: Escrevendo o sistema na forma (3) temos: Resolvendo este sistema temos: s1 = 0; s2 = -1; t1 = 1; t2 = 1. Portanto Exercícios: Determinar o vetor solução dos sistemas lineares complexos: 1) Resposta: 2) Resposta: 3) Resposta: _1136787833.unknown _1136790204.unknown _1187176680.unknown _1187177338.unknown _1187178475.unknown _1187178659.unknown _1187180333.unknown _1187178713.unknown _1187178595.unknown _1187177917.unknown _1187176967.unknown _1187177272.unknown _1187176744.unknown _1149941904.unknown _1187176199.unknown _1187176489.unknown _1187175867.unknown _1149593025.unknown _1149593129.unknown _1136790414.unknown _1136788536.unknown _1136789505.unknown _1136789820.unknown _1136789990.unknown _1136789672.unknown _1136788846.unknown _1136789034.unknown _1136788621.unknown _1136788060.unknown _1136788210.unknown _1136788262.unknown _1136788138.unknown _1136787934.unknown _1136788023.unknown _1136787875.unknown _1136786766.unknown _1136787489.unknown _1136787766.unknown _1136787804.unknown _1136787736.unknown _1136787379.unknown _1136787449.unknown _1136787093.unknown _1136786640.unknown _1136786655.unknown _1136786706.unknown _1136786647.unknown _1136786563.unknown _1136786633.unknown _1136786493.unknown
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