06 - Resolução de Sistemas Lineares

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06
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES - 4
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL
Da mesma forma que no critério de Gauss-Jacobi, no método de Gauss-Seidel o sistema linear Ax = b é escrito na forma equivalente x = Cx + g por separação da diagonal.
O processo iterativo consiste em, sendo x(0) uma aproximação inicial, calcular x(1), x(2), ..., x(k).... , por:
Portanto, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular 
 usamos todos os valores 
, ..., 
 que já foram calculados e os valores 
, ..., 
 restantes.
EXEMPLO: Resolva o sistema linear:
 com 
 e ( = 5x10-2 
O processo iterativo é:
K = 0
 ( 
 ( 
K = 1
 ( 
 ( 
K = 2
 ( 
 ( 
Assim, a solução 
 do sistema linear dado com erro menor que (, pelo método de Gauss-Seidel é
CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Para o método de Gauss-Seidel podemos usar como critérios de convergência o critério das linhas, que é definido da mesma forma que no método de Gauss-Jacobi.
Também podemos usar o 
Critério de Sassenfeld
Sejam
e		
Seja 	
Se ( < 1, então o método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente qualquer que seja x(0).
Além disto, quanto menor for (, mais rápida será a convergência.
EXEMPLO: Seja o sistema linear:
Para este sistema linear com esta disposição de linhas e colunas, temos
(1 = [ 0,5 + 0,1 + 0,1 ] / 1 = 0,7
(2 = [ (0,2)(0,7) + 0,2 + 0,1 ] / 1 = 0,44
(3 = [ (0,1)(0,7) + (0,2)(0,44) + 0,2 ] / 1 = 0,358
(4 = [ (0,1)(0,7) + (0,3)(0,44) + (0,2)(0,358) ] / 1 = 0,2736
Portanto, 
 e então temos a garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente.
EXEMPLO:
Com esta disposição de linhas e colunas, temos
(1 = [ 1 + 3 ] / 2 = 2 > 1
Trocando as equações 1 e 3, temos
 donde (1 = [ 0 + 3 ] / 1 = 3 > 1
A partir desta disposição, trocando a 1ª coluna pela 3ª, temos
Desta forma
(1 = 1 / 3
(2 = [ (1)(1/3) + 0 ] / 1 = 1/3
(3 = [ (3)(1/3) + (1)(1/3) ] / 2 = 2/3
Portanto, 
; então vale o critério de Sassenfeld e temos garantia de convergência.
Ao aplicarmos critérios de convergência no método de Gauss-Seidel verificamos que sempre que o critério das linhas for satisfeito, automaticamente o critério de Sassenfeld é satisfeito.
No entanto, o critério de Sassenfeld pode ser satisfeito mesmo que o critério das linhas não o seja.
Temos:	(1 = 1/3 < 1
(2 = 1/1 = 1; então o critério das linhas não é satisfeito
No entanto,
(1 = 1/3 < 1
(2 = [ (1)(1/3) ] / 1 = 1/3 < 1
(3 = [ (3)(1/3) + (1)(1/3) ] / 2 = 2/3 < 1
Portanto, o critério de Sassenfeld é satisfeito.
EXEMPLO: Resolva o sistema linear com o método de Gauss-Seidel
	 com 
 e ( = 0,0001
Resposta: 
SISTEMAS LINEARES COMPLEXOS
Seja o sistema
Ax = b			(1)
onde A, x e b são matrizes complexas.
Fazendo
A = M + iN
b = c + id			(2)
x = s + it
onde:	M, N – são matrizes reais de dimensão nxn
c, d, s, t – são matrizes reais de dimensão nx1
Substituindo (2) em (1) temos:
(M + iN)(s + it) = c + id
Ms – Nt + i(Ns + Mt) = c + id
ou, ainda,
Ms – Nt = c e
Ns + Mt = d
Este último sistema se reduz a 
 (3)
				
O sistema (1) foi reduzido, portanto, ao sistema real (3). Basta agora resolver (3) com um dos métodos de resolução de sistemas lineares vistos anteriormente.
Exemplo: Resolver o sistema:
		
 							
	
Escrevendo o sistema na forma (3) temos:
Resolvendo este sistema temos: s1 = 0; s2 = -1; t1 = 1; t2 = 1.
Portanto
 
Exercícios: Determinar o vetor solução dos sistemas lineares complexos:
1) 
	Resposta:
2) 
		Resposta:
3) 
					Resposta:
_1136787833.unknown
_1136790204.unknown
_1187176680.unknown
_1187177338.unknown
_1187178475.unknown
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_1187180333.unknown
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