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AP2 - Me´todos Determin´ısticos I - 2017-2 ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE Orientac¸o˜es gerais I 1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com os enunciados das Questo˜es e, inicial- mente, uma Folha de Resposta para o registro das suas respostas, com sua identificac¸a˜o em uma etiqueta. 2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova e se na Folha de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula. Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel. 3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine a Folha de Resposta no local indicado para este fim. 4. Confira e assine cada nova Folha de Resposta solicitada. 5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho e qualquer outro aparelho que per- mita a conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade detectada sera´ reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas. 6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos. Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas I 1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas. 2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´- las de acordo com as questo˜es! 3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas. 4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas. 5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o. Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina: I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta. ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade. Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 28/10/2017 Nome: Matr´ıcula: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno. • Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 1, 2 e 3.) Dinorah procura um plano de telefonia que atenda melhor suas necessidades. Como utiliza muito a internet a partir de seu telefone celular, ela esta´ comparando os planos com internet ilimitada oferecidos pelas principais operadoras, levando em considerac¸a˜o apenas o prec¸o mensal e os minutos de chamadas. Dinorah apurou que: • A operadora Escuro, oferece um plano com minutos ilimitados, por um custo mensal fixo de R$ 200,00. • A operadora Morto, oferece um plano que tem um custo mensal formado por uma parte fixa de R$ 50,00, mais um custo adicional de R$1,00 por minuto de chamada. • A operadora Tchau oferece um plano que possui com 100 minutos de chamada inclu´ıdos, cujo custo mensal e´ formado por uma parte fixa R$ 80,00 e com um custo adicional de R$ 2,00 por minuto excedente a` franquia de 100 minutos. • A operadora Maia possui um plano com custo mensal dado por R$ 2,00 por minuto de chamada feita. Questa˜o 1 (1.5 pt) (Esta questa˜o deve ser respondida na folha anexa, com o sistema de eixos coordenados. Na˜o deixe de verificar se o responsa´vel pela aplicac¸a˜o da prova etiquetou corretamente essa folha junto, bem como as demais folhas de resposta. Inde- pendentemente da etiqueta, preencha a folha com seu nome, polo e matr´ıcula) Construa, no sistema de eixos coordenados ja´ impresso na folha anexa, os gra´ficos do custo mensal de cada plano, em func¸a˜o dos minutos de chamadas feitos em um meˆs. Observe que o eixo horizontal esta´ representando os minutos m e o eixo vertical o custo mensal. Identifique, no esboc¸o, o gra´fico de cada plano, utilizando os seguintes nomes para as func¸o˜es: E para a Escuro, M para a Morto, T para Tchau e A para Maia. Tenha especial atenc¸a˜o aos pontos de intersec¸a˜o entre os gra´ficos. Soluc¸a˜o: (Veja os gra´ficos na u´ltima folha deste gabarito) Me´todos Determin´ısticos I AP2 3 Questa˜o 2 (1.0 pt) Deˆ as expresso˜es, em func¸a˜o dos minutos m utilizados no meˆs, do custo men- sal de cada um dos planos. Soluc¸a˜o: O valor a ser pago no plano da Escuro em um meˆs, e´ dado por E(m) = 200, independen- temente do valor de m. O valor a ser pago no plano da Morto e´ de M(m) = 50+m, isto e´, um custo fixo de R$ 50,00 mais R$ 1,00 por minuto. O custo do plano da Tchau e´ de 80, se m 6 100, acrescidos de 2 · (m− 100), isto e´, R$ 2,00 para cada minuto apo´s 100 minutos, caso m > 100. Assim, T (m) = { 80, se m 6 100 80 + 2 · (m− 100), se m > 100. O custo do plano da Maia e´ de A(m) = 2 ·m, isto e´, R$ 2,00 por minuto. Questa˜o 3 (1.0 pt) Se Dinorah utiliza, em me´dia, cerca de 120 minutos de chamadas telefoˆnicas por meˆs, qual operadora oferece o plano com menor custo mensal? Soluc¸a˜o: Para 120 minutos, temos os custos E(120) = 200, M(120) = 50 + 120 = 170, T (120) = 80 + 2 · (120− 100) = 80 + 2 · 20 = 120, A(120) = 2 · 120 = 240. Com isso, a operadora Tchau oferece o plano mais em conta para Dinorah. Questa˜o 4 (1.5 pt) Jessikah, amiga de Dinorah, tambe´m esta´ interessada em planos de telefonia, mas cogita contratar um plano sem internet fixa. Como na˜o entende muito sobre mega/gigabytes e utiliza a internet apenas para coisas simples, Jessikah esta´ avaliando planos em que a internet e´ tarifada por minutos de navegac¸a˜o, e na˜o por volume de dados. A operadora Escuro oferece um plano sem custo fixo, com o prec¸o de R$ 2,00 por minuto de chamada e R$ 0,50 por minuto de navegac¸a˜o. Jessikah estima que, em um meˆs, o tempo que utiliza o celular para acesso a` internet seja o dobro do tempo que gasta com chamadas. Com isso, acredita que pagara´ R$ 90,00 mensais. Quantos minutos mensais Jessikah acredita que utilizara´ em chamadas? Soluc¸a˜o: Sejam m a quantidade de minutos de chamadas e i os minutos de navegac¸a˜o na internet. Como o tempo de uso da internet e´ o dobro do tempo de chamadas, temos i = 2m. Como cada minuto de chamada custa R$ 2,00 e cada minuto de internet custa R$ 0,5, o valor que Jessikah pagara´ sera´ 2m+ 0.5i, ou seja, 2m+ 12i = 90. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 4 Assim, temos o sistema { i = 2m 2m+ 12i = 90. Substituindo i = 2m na segunda equac¸a˜o, temos 2m+ 12 · 2m = 90, logo 2m+m = 90 ∴ 3m = 90 ∴ m = 30. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 5 a 8 a seguir.) A operadora Escuro esta´ revendo seus planos e estuda o valor mais adequado para a mensalidade de seu plano ilimitado. Segundo a ana´lise de consultoria contratada pela empresa, cobrando de cada usua´rio uma mensalidade de P reais, este plano sera´ contratado por 1000−4P milhares de usua´rios, isto e´, a demanda D(P ) sera´ dada por D(P ) = (1000− 4P ) · 1000. Questa˜o 5 (0.5 pt) Determine o valor ma´ximo da mensalidade do plano (valor acima do qual na˜o ha´ demanda). Soluc¸a˜o: Temos D(P ) = 0 se, e so´ se 1000− 4P = 0⇔ 1000 = 4P ⇔ P = 250. Questa˜o 6 (0.5 pt) Determine a func¸a˜o F que representa o faturamento mensal da operadora com este plano, em func¸a˜o do prec¸o mensal P . Por faturamento, entenda o valor bruto apurado com a venda do plano, antes de descontar quaisquer custos operacionais. Soluc¸a˜o: Para cadavalor de P , o plano tera´ D(P ) = (1000− 4P ) · 1000 clientes. Cada um destes clientes pagara´ P reais, temos o faturamento F (P ) = P · (1000− 4P ) · 1000. Questa˜o 7 (1.0 pt) Se cada cliente que contratar o plano ilimitado representar um custo operacio- nal mensal, para a Escuro, de R$50,00, deˆ a expressa˜o da func¸a˜o que representa o custo operacional total do plano C em func¸a˜o do prec¸o mensal P . Soluc¸a˜o: O custo operacional total sera´ dado por R$ 50,00 multiplicado pelo nu´mero D(P ) de clientes, logo C(P ) = 50 ·D(P ) = 50 · (1000− 4P ) · 1000 = 50.000 · (1000− 4P ) . Questa˜o 8 (1.5 pt) Deˆ a expressa˜o do lucro L da venda do plano (faturamento – custo operacional total), em func¸a˜o da mensalidade P e determine o valor de P que deve ser praticado para que o lucro mensal seja ma´ximo. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 5 Soluc¸a˜o: O lucro com a venda deste plano sera´ dado por L(P ) = F (P )− C(P ) = P · (1000− 4P ) · 1000− 50.000 · (1000− 4P ) = (1000P − 50.000) · (1000− 4P ) = 1.000.000P − 4.000P 2 − 50.000.000 + 200.000P = −4.000P 2 + 1.200.000P − 50.000.000 O valor ma´ximo desta func¸a˜o quadra´tica e´ dado quando P = − b2a = − 1.200.000 2 · (−4.000) = 300 2 = 150. Assim, o plano dara´ lucro ma´ximo quando o prec¸o P for de R$150,00. Questa˜o 9 (1.5 pt) Represente, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o con- junto soluc¸a˜o da equac¸a˜o |x− 4| < |x+ 2|. Como ferramenta para a resoluc¸a˜o da inequac¸a˜o, voceˆ pode utilizar a interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo. Soluc¸a˜o: O mo´dulo |x−4| representa a distaˆncia entre x e 4. Ja´ o mo´dulo |x+2|, a distaˆncia entre x e −2. com isso, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ dada pelos valores de x cuja distaˆncia ao 4 e´ menor que a distaˆncia ao −2. Esboc¸ando, temos Note que o ponto 4 + (−2) 2 = 1 esta´ exatamente na metade entre −2 e 4. Assim, a soluc¸a˜o e´ dada pelos pontos do intervalo (1,+∞). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Colar aqui a etiqueta 1 Nome: Polo: Matr´ıcula: Folha de resposta da questa˜o 1 Esta folha deve ser etiquetada como uma folha de resposta; pec¸a ao aplicador que o fac¸a. Independentemente da etiqueta, preencha com seu nome, polo e matr´ıcula.
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