MD1 - AP3 - 2010 1 - Gabarito (1)

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ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP3 - 2010.1
Questa˜o 1 (1 pontos). Em uma pesquisa feita com um grupo de consumidores, 25% dos
participantes eram do sexo feminino. Dos homens, apenas 20% declararam conhecer o
produto de que tratava a pesquisa. Sabendo que o nu´mero de homens que declararam
desconhecer o produto e´ igual a 84, qual a quantidade total de consumidores (homens e
mulheres) que participaram da pesquisa?
Soluc¸a˜o: Apenas 20% dos homens conhecia o produto, o que significa que 80% dos homens
desconhecia. Mas esses 80% correspondem exatamente aos 84 homens citados no enunciado.
Podemos enta˜o calcular o total de homens entrevistados: 84
80
× 100 = 105. Sabemos tambe´m
que 25% dos participantes eram do sexo feminino, o que siginfica que os homens correspon-
diam a 75% do total de entrevistados. Podemos agora calcular o total de entrevistados:
105
75
× 100 = 150. Logo foram 150 pessoas que participaram da pesquisa.
Questa˜o 2 (2 pontos). Resolva a equac¸a˜o a seguir.[
3
√−27
26
÷
(
5
2
)2]
x− 8
1/3
9−1/2
·
(
22
7
)−2
= 0
1
Soluc¸a˜o: [
3
√−27
26
÷
(
5
2
)2]
x− 8
1/3
9−1/2
·
(
22
7
)−2
= 0⇔[−3
26
× 2
2
52
]
x− 2
3−1
·
(
7
22
)2
= 0⇔[ −3
24 · 52
]
x− 2 · 3 · 7
2
24
= 0⇔[ −3
24 · 52
]
x =
3 · 72
23
⇔
x = −72 · 21 · 52 = −2450
Questa˜o 3 (1 ponto). Resolva o sistema de equac¸o˜es a seguir:

−4x+ 3y = −7
x− 9y
8
= 2
Soluc¸a˜o:
Multiplicando a segunda equac¸a˜o por 4 e somando com a primeira, obtemos:
3y − 9
2
y = 1
6− 9
2
y = 1
−3y = 2
y = −2/3
Substituindo na primeira equac¸a˜o, temos:
−4x+ 3−2
3
= −7
−4x− 2 = −7
−4x = −5
x =
5
4
2
Questa˜o 4 (2 pontos). Encontre o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es:
a) |2x− 5| < 2;
Soluc¸a˜o: Para que a desigualdade seja verdadeira devemos ter −2 < 2x − 5 < 2, isto
e´, deve ocorrer simultaneamente 2x > 3 e 2x < 7, logo o conjunto soluc¸a˜o e´ (3/2, 7/2).
b) | − 2x2 + 8x− 7| ≥ 1
Soluc¸a˜o: Para que tenhamos a desigualdade satisfeita ha´ duas opc¸o˜es: −2x2+8x−7 ≥ 1
ou−2x2 + 8x− 7 ≤ −1 −2x2 + 8x− 7 ≤ −1. Vamos verificar cada um desses casos.
Primeiro caso: Observe que −2x2+8x−7 ≥ 1⇔ −2x2+8x−8 ≥ 0⇔ −x2+4x−4 ≥ 0.
Vamos encontrar por Bhaskara as ra´ızes da equac¸a˜o −x2 + 4x− 4 = 0.
∆ = 42 − 4 · (−1) · (−4) = 16− 16 = 0
Logo, temos −x2+4x− 4 = 0 apenas quando x = −4−2 = 2. Podemos observar que para
todos os outros valores de x temos −x2 + 4x− 4 < 0, logo, apenas x = 2 que satisfaz
−2x2 + 8x− 7 ≥ 1.
Segundo caso: Observe que−2x2+8x−7 ≤ −1⇔ −2x2+8x−6 ≤ 0⇔ −x2+4x−3 ≤ 0.
Vamos encontrar por Bhaskara as ra´ızes da equac¸a˜o −x2 + 4x− 3 = 0.
∆ = 42 − 4 · (−1) · (−3) = 16− 12 = 4
x = −4±2−2 , isto e´, as ra´ızes sa˜o x = 3 e 1. Podemos observar (calculando, por exemplo,
o valor da expressa˜o para x = 2) que para x ∈ (1, 3) vale −x2 + 4x − 3 > 0, logo o
conjunto que resolve −2x2 + 8x− 7 ≤ −1 e´ (−∞, 1] ∪ [3,+∞).
Logo o conjunto soluc¸a˜o procurado e´: {2} ∪ (−∞, 1] ∪ [3,+∞).
Questa˜o 5 (4 pontos). Considere as func¸o˜es f(x) = x2 + 6x+ 8 e g(x) = −x− 3.
a) Calcule f(5) e g(10)
Soluc¸a˜o: f(5) = 52 + 6 · 5 + 8 = 25 + 30 + 8 = 63 e g(10) = −10− 3 = −13.
3
b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o g;
A func¸a˜o g e´ linear, isto e´, seu gra´fico e´ uma reta. Logo para trac¸a´-lo basta encontrar
dois pontos que pertenc¸am ao gra´fico. Para x = 0, temos g(0) = −3. Para x = −3
temos g(−3) = 0. Vamos usar os pontos (0,−3) e (−3, 0) para trac¸ar o gra´fico de g.
Veja gra´fico no pro´ximo item.
c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f ;
Para trac¸ar o gra´fico de f precisamos de treˆs pontos pertencentes a` para´bola. Vamos,
enta˜o, encontrar primeiro as ra´ızes por Bhaskara: ∆ = 62 − 4 · 1 · 8 = 36− 32 = 4
Logo, as ra´ızes sa˜o dadas por x = −6±
√
4
2
, isto e´, x = −4 e x = −2 sa˜o as ra´ızes.
Para obter um terceiro ponto, vamos encontrar o ve´rtice, que corresponde ao valor de
f para x = −3 (ponto me´dio entre x = −4 e x = −2):
f(−3) = (−3)2 + 6 · (−3) + 8 = 9− 18 + 8 = −1.
Portanto para trac¸armos a para´bola podemos usar os pontos (−4, 0), (−3,−1) e (−2, 0).
Veja o gra´fico a seguir.
d) Encontre o conjunto dos valores de x para os quais f(x) ≤ g(x).
4
Soluc¸a˜o:
Para que tenhamos f(x) ≤ g(x), devemos resolver x2+6x+8 ≤ −x−3, isto e´, x2+7x+11 ≤ 0.
Primeiro vamos obter por Bhaskara as ra´ızes de x2+7x+11 = 0: ∆ = 72−4·1·11 = 49−44 = 5
Logo, as ra´ızes sa˜o dadas por x = −7±
√
5
2
. Observando o gra´fico (ou considerando apenas
o valor de f e g em x = −3) podemos ver que entre as ra´ızes encontradas acima a func¸a˜o
f e´ menor do que a func¸a˜o g. Logo, temos f(x) ≤ g(x) quando x pertence ao conjunto[
−7−√5
2
, −7+
√
5
2
]
.
5