Tópico 11

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Tópico 11 – Estimação de Variáveis 
Instrumentais e Mínimos 
Quadrados em Dois Estágios 
Bibliografia:
STOCK, James H. e WATSON, Mark W. Econometria. 1ª. Edição. Prentice Hall, 2004.
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª 
ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 22015. (capítulo 15).
Teste de Restrição de Sobreidentificada
Se há apenas 1 instrumento para nossa variável endógena, o
modelo é considerado exatamente identificado.
Se temos múltiplos instrumentos, é possível testar a
sobreidentificação para ver se outros instrumentos são
correlacionados com o erro.
A ideia geral é que temos mais instrumentos do que precisamos
para estimar consistentemente os parâmetros.
Teste de Restrição de Sobreidentificada
Procedimentos:
Estime a equação estrutural por MQ2E e obtenha os resíduos
MQ2E, ො𝑢1.
Regrida ො𝑢1 sobre todas as variáveis exógenas. Obtenha o R-
quadrado, digamos 𝑅1
2 para formar o 𝑛𝑅2.
Sob a hipótese nula de que todos os instrumentos não são
correlacionados com o erro , 𝑢1, n𝑅1
2~χ𝑞
2 , em que q é número
de instrumentos extras (por exemplo: considere uma variável
explicativa endógena, 𝑦2, e três instrumentos propostos para
ela → 𝑞 = 3 − 1 = 2 restrições sobreidentificadoras).
Se 𝑛𝑅1
2 exceder o valor crítico tabelado de 5% na distribuição
χ𝑞
2 rejeitamos 𝐻0 e concluímos que pelo menos algumas das
VIs não são exógenas.
Teste de restrições sobreidentificadoras
Exemplo: Retorno da educação para mulheres que trabalham.
1º: estime a equação estrutural por MQ2E
 
Instruments: exper expersq motheduc fatheduc
Instrumented: educ
 
 _cons .0481003 .4003281 0.12 0.904 -.7387745 .8349751
 expersq -.000899 .0004017 -2.24 0.026 -.0016885 -.0001094
 exper .0441704 .0134325 3.29 0.001 .0177679 .0705729
 educ .0613966 .0314367 1.95 0.051 -.0003945 .1231878
 
 lwage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 223.327451 427 .523015108 Root MSE = .67471
 Adj R-squared = 0.1296
 Residual 193.020022 424 .4552359 R-squared = 0.1357
 Model 30.3074295 3 10.1024765 Prob > F = 0.0000
 F( 3, 424) = 8.14
 Source SS df MS Number of obs = 428
Instrumental variables (2SLS) regression
. ivreg lwage (educ = motheduc fatheduc) exper expersq 
Teste de restrições sobreidentificadoras
Exemplo: Exemplo 15.8: Retorno da educação para mulheres
que trabalham.
2º: Obtenha os resíduos 𝑢ℎ𝑎𝑡1
3º: regrida 𝑢ℎ𝑎𝑡1 sobre todas as variáveis exógenas. Obtenha o
R- Quadrado.
 
 _cons .0109641 .1412571 0.08 0.938 -.2666892 .2886173
 expersq 7.34e-07 .0003985 0.00 0.999 -.0007825 .000784
 exper -.0000183 .0133291 -0.00 0.999 -.0262179 .0261813
 fatheduc .0057823 .0111786 0.52 0.605 -.0161902 .0277547
 motheduc -.0066065 .0118864 -0.56 0.579 -.0299704 .0167573
 
 uhat1 Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 193.020022 427 .452037522 Root MSE = .67521
 Adj R-squared = -0.0086
 Residual 192.849519 423 .455909028 R-squared = 0.0009
 Model .170502977 4 .042625744 Prob > F = 0.9845
 F( 4, 423) = 0.09
 Source SS df MS Number of obs = 428
. reg uhat1 motheduc fatheduc exper expersq 
Teste de restrições sobreidentificadoras
4º: sob a hipótese nula de que todas as VIs são não correlacionada
com 𝑢.
 Se 𝑛𝑅2 exceder o valor crítico de 5% na distribuição χ𝑞
2: rejeitamos
a hipótese nula → pelo menos algumas das VIs não são exógenas.
 n = 428 observações
 R-quadrado = 0.0009
 nR2= 428. (0.0009) = 0.3852 em uma distribuição χ1
2 (p-valor =
0.535)
 Resultado: p-valor> 0.05: não rejeita a hipótese nula. Portanto, as
variáveis da educação dos pais passam no teste de sobreidentificação.
Rejeitar a hipótese nula significa que pelo menos uma das IVs não 
é exógena.
Teste de restrições sobreidentificadoras
Quando adicionamos a educação do marido a lista de VI,
obtemos duas restrições sobreidentificadoras
 
Instruments: exper expersq motheduc fatheduc huseduc
Instrumented: educ
 
 _cons -.1868574 .2853959 -0.65 0.513 -.7478243 .3741096
 expersq -.0008628 .0003962 -2.18 0.030 -.0016415 -.0000841
 exper .0430973 .0132649 3.25 0.001 .0170242 .0691704
 educ .0803918 .021774 3.69 0.000 .0375934 .1231901
 
 lwage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 223.327451 427 .523015108 Root MSE = .6693
 Adj R-squared = 0.1435
 Residual 189.934709 424 .447959218 R-squared = 0.1495
 Model 33.3927427 3 11.1309142 Prob > F = 0.0000
 F( 3, 424) = 11.52
 Source SS df MS Number of obs = 428
Instrumental variables (2SLS) regression
. ivreg lwage (educ = motheduc fatheduc huseduc) exper expersq 
Teste de restrições sobreidentificadoras
𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑐𝑡 𝑑𝑜𝑢𝑏𝑙𝑒 𝑢ℎ𝑎𝑡2, 𝑟𝑒𝑠
 
 _cons .0086063 .1772724 0.05 0.961 -.3398405 .3570531
 expersq -8.88e-06 .0003956 -0.02 0.982 -.0007865 .0007687
 exper .000056 .0132285 0.00 0.997 -.025946 .026058
 huseduc .0067811 .0114259 0.59 0.553 -.0156776 .0292398
 fatheduc .0006734 .0113798 0.06 0.953 -.0216948 .0230417
 motheduc -.0103852 .0118688 -0.87 0.382 -.0337145 .0129442
 
 uhat2 Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 189.934709 427 .444811964 Root MSE = .67001
 Adj R-squared = -0.0092
 Residual 189.439883 422 .448909675 R-squared = 0.0026
 Model .494825827 5 .098965165 Prob > F = 0.9537
 F( 5, 422) = 0.22
 Source SS df MS Numberof obs = 428
. reg uhat2 motheduc fatheduc huseduc exper expersq 
Teste de restrições sobreidentificadoras
 n = 428 observações
 R-quadrado = 0.0026
 𝑛𝑅2= 428. (0.0026) = 1.11 (p-valor = 0.574)
 Resultado: p-valor > 0.05: não rejeita a hipótese nula
 É ideal adicionar 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑚𝑎𝑟 a lista de VI:
 Reduz o erro-padrão da estimativa de MQ2E;
A estimativa de MQ2E de 𝑒𝑑𝑢𝑐 usando as três variáveis
instrumentais é 0.080, de modo que isso torna 𝑒𝑑𝑢𝑐 mais
significante do que quando 𝑒𝑑𝑢𝑐𝑚𝑎𝑟 não é usada como uma VI.
(0.061).
Tópico 11 – Modelos de 
equações simultâneas 
Bibliografia:
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª 
ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 22015. (capítulo 16).
Modelos de equações simultâneas
O método de variáveis instrumentais pode solucionar dois
problemas de endogeneidade: variáveis omitidas e erro de
medida.
Em ambos os casos, poderíamos estimar os parâmetros de
interesse por MQO se pudéssemos coletar dados melhores.
Outra forma importante de endogeneidade de variáveis
explicativas é a simultaneidade.
Simultaneidade: ocorre quando uma ou mais variáveis
explicativas são conjuntamente determinadas com a variável
dependente.
O principal método para estimar modelos de equações
simultâneas (MES) é o das variáveis instrumentais.
Modelos de equações simultâneas
𝑦1 = 𝛼1𝑦2 + 𝛽1𝑧1 + 𝑢1 (1)
𝑦2 = 𝛼2𝑦1 + 𝛽2𝑧2 + 𝑢2 (2)
Quando há simultaneadade, o MQO gera estimadores viesados
e inconsistentes.
Modelos de equações simultâneas
O ponto mais importante a lembrar no uso de modelos de equações
simultâneas é que cada equação no sistema deve ter uma
interpretação causal, ceteris paribus.
Comecemos com a equação que queremos estimar, a função de
Oferta de Trabalho:
ℎ𝑠 = 𝛼1𝑤 + 𝛽1𝑧1 + 𝑢1 (3)
onde:
ℎ𝑠 = total anual de horas cumpridas por trabalhadores na agricultura;
𝑤 = média do salário por hora oferecida a tais trabalhadores;
𝑧= alguma variável observada afetando a oferta de mão de obra (por
exemplo: média de salário na indústria);
𝑢1 = termo de erro aleatório.
Exemplo: oferta e demanda 
Esta é uma equação estrutural → derivada da teoria econômica
→ que possui uma interpretação causal onde 𝑤 afeta
diretamente ℎ𝑠 .
O coeficiente 𝛼1 indica como a oferta de mão de obra muda
quando o salário muda.
 Se ℎ𝑠 e 𝑤 estiverem na forma logarítmica, 𝛼1 será a
elasticidade da oferta de mão de obra. Em geral, espera-se que
𝛼1 seja positiva (embora a teoria econômica não impeça que
𝛼1 ≤ 0.
Exemplo: oferta e demanda 
Elasticidade da oferta de mão de obra são importantes na
determinação de como os trabalhadores alterarão o número de
horas que desejam trabalhar quando os impostos sobre os
salários se alteram.
Por exemplo, se 𝑧1 for o salário industrial, esperamos 𝛽1 ≤
0 →com outros fatores permanecendo iguais, se o salário
industrial aumenta, mais trabalhadores irão para a indústria do
que para a agricultura.
Exemplo: oferta e demanda 
Problema: não podemos simplesmente regredir as horas
observadas sobre os salários, pois as horas observadas são
determinadas pelo equilíbrio entre oferta e demanda.
Considerando equação estrutural, a função de Demanda por
Trabalho:
ℎ𝑑 = 𝛼2𝑤 + 𝛽2𝑧2 + 𝑢2 (4)
Em que ℎ𝑑 representa horas demandadas. Como na função de
oferta, escrevemos horas demandadas como uma função do
salário , 𝑤, mantendo 𝑧2 e 𝑢2 fixos.
A variável 𝑧2 (por exemplo: áreas agrícola) é um deslocador
observável da demanda e 𝑢2 é um deslocador não observável
da demanda.
Exemplo: oferta e demanda 
Então as horas são determinadas por um Modelo de Equações
Simultâneas (MES).
As equações descrevem relações totalmente diferentes. A oferta
de mão de obra é uma equação comportamental dos
trabalhadores, e a demanda por mão de obra é uma relação
comportamental dos fazendeiros.
ℎ e 𝑤 são endógenos pois ambos são determinados pelo equilíbrio de
oferta e demanda.
Elas se tornam interligadas em uma análise econométrica pois
salários e horas observados são determinados pela interseção da
oferta e demanda.
Em outras palavras, em cada município 𝑖, as horas observadas, ℎ𝑖, e
os salários observados, 𝑤𝑖 , são determinados pela condição de
equilíbrio: 𝒉𝒊𝒔 = 𝒉𝒊𝒅.
Exemplo: oferta e demanda 
Quando combinamos a condição de equilíbrio com as equações
de oferta e demanda.
ℎ𝑖 = 𝛼1𝑤𝑖 + 𝛽1𝑧𝑖1 + 𝑢𝑖1 (5)
ℎ𝑖 = 𝛼2𝑤𝑖 + 𝛽2𝑧𝑖2 + 𝑢𝑖2 (6)
Onde 𝑖= município→ ℎ𝑖 e 𝑤𝑖 são os valores de equilíbrio
observados de cada município 𝑖.
 Estas 2 equações constituem um modelo de equações
simultâneas (MES).
Exercícios – Variáveis Instrumentais
1) Considere um modelo de regressão simples para estimar o efeito da
propriedade de um computador pessoal (PC) na nota média de graduação de
formados de uma grande universidade pública:
𝑠𝑢𝑝𝐺𝑃𝐴 = 𝛽0 + 𝛽1𝑃𝐶 + 𝑢
Em que 𝑃𝐶 é uma variável binária que indica a propriedade de um 𝑃𝐶.
a) Por que a propriedade de um 𝑃𝐶 pode estar correlacionada com 𝑢?
b) Explique por que 𝑃𝐶 possivelmente está relacionado à renda anual dos pais.
Isso significa que a renda dos pais será uma boa VI de 𝑃𝐶? Por quê?
2) Suponha que você queria estimar o efeito da frequência às aulas sobre o
desempenho dos alunos. Um modelo básico é:
𝑟𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑 = 𝛽0 + 𝛽1𝑡𝑎𝑥𝑎𝑓𝑟𝑒𝑞 +2 𝑝𝑟𝑠𝐺𝑃𝐴 + 𝛽3𝐴𝐶𝑇 + 𝑢
Em que 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑 é o resultado padronizado do exame final, 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑓𝑟𝑒𝑞
corresponde a taxa de frequência escola, 𝑝𝑟𝑠𝐺𝑃𝐴 é a média geral das notas em
curso superior e 𝐴𝐶𝑇 é a nota do teste de avaliação de conhecimentos para
ingresso em curso superior nos Estados Unidos.
a) Defina 𝑑𝑖𝑠𝑡como a distância da residência do aluno até o local de estudos.
Você considera que 𝑑𝑖𝑠𝑡 é não correlacionada com 𝑢?
b) Supondo que 𝑑𝑖𝑠𝑡 e 𝑢 sejam não correlacionados, que outra hipótese 𝑑𝑖𝑠𝑡
terá que satisfazer para ser uma 𝑉𝐼 válida de 𝑡𝑎𝑥𝑎𝑓𝑟𝑒𝑞?