Tópico 12

Prévia do material em texto

Tópico 12 – Modelos de 
equações simultâneas 
Bibliografia:
WOOLDRIDGE, J.M. Introdução à Econometria: uma abordagem moderna. 4ª 
ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 22015. (capítulo 16).
Exemplo: oferta e demanda 
Quando combinamos a condição de equilíbrio com as equações
de oferta e demanda.
ℎ𝑖 = 𝛼1𝑤𝑖 + 𝛽1𝑧𝑖1 + 𝑢𝑖1 (1)
ℎ𝑖 = 𝛼2𝑤𝑖 + 𝛽2𝑧𝑖2 + 𝑢𝑖2 (2)
Onde 𝑖= município→ ℎ𝑖 e 𝑤𝑖 são os valores de equilíbrio
observados de cada município 𝑖.
 Estas 2 equações constituem um modelo de equações
simultâneas (MES).
Exemplo: oferta e demanda 
Características importantes desse modelo de equações
simultâneas (MES):
Dadas 𝑧𝑖1, 𝑧𝑖2, 𝑢𝑖1 e 𝑢𝑖2, ambas as equações determinam ℎ𝑖e
𝑤𝑖;
𝛼1 ≠ 𝛼2 → as inclinações das funções de oferta e demanda
diferem;
ℎ1 e 𝑤1: são variáveis endógenas do modelo;
𝑧𝑖1 e 𝑧𝑖2: são exógenas (determinadas fora do modelo)→
hipótese fundamental: ambas são não correlacionadas com
os erros da oferta e da demanda;
𝑢𝑖1 e 𝑢𝑖2: erros estruturais.
Exemplo: oferta e demanda 
Um segundo ponto importante é que, sem a inclusão de 𝑧1 e 𝑧2
no modelo, não existe forma de dizer qual das equações é a
função de oferta e qual é a função de demanda.
z (deslocador da oferta) é exógeno e pode alterar o
comportamento da oferta de horas de trabalho; isto nos permite
identificar a equação estrutural de demanda.
Sem alterações exógenas na demanda (como aquelas causadas
por z), a oferta não é identificada e não pode ser estimada.
Exemplo: oferta e demanda 
Se 𝑧1: salários industrial → o raciocínio econômico nos diz
que ele é um fator na oferta de mão de obra agrícola (indicação
do custo da oportunidade de trabalhar na agricultura).
Quando 𝑧2: área agrícola → a teoria da produção sugere que ele
apareça na função de demanda de mão de obra.
Portanto, sabemos que (1) representa a oferta de mão de obra e
(2) representa a demanda por mão de obra.
Se 𝑧1 e 𝑧2 forem os mesmo (por exemplo: nível médio de
educação dos adultos no município, que pode afetar tanto
oferta como a demanda), as equações parecerão idênticas, e não
há possibilidades de estimar qualquer uma delas → problemas
de identificação em modelos de equações simultâneas.
Modelos de equações simultâneas
Modelos de Equações Simultâneas é uma situação onde duas
ou mais variáveis são determinadas juntamente por um sistema
de equações.
Assim, essa simultaneidade pode acarretar violação das
hipóteses básicas do modelo clássico tornando o estimador
inconsistente, uma vez que as variáveis endógenas tornam-se
relacionadas com o termo de erro.
𝐸 𝑢 = 0 𝐶𝑜𝑣 𝑥𝑖 , 𝑢 = 0 𝑖 = 1,… , 𝑘 se 𝐶𝑜𝑣 𝑥𝑖 , 𝑢 ≠ 0
Não sendo possível mais estimar o modelo por MQO. 
Modelos de equações simultâneas
Exemplo: Modelo de Oferta de Trabalho da Mulher e Salário Ofertado:
ℎ = 𝛽1𝑤 + 𝛼1𝑧1 + 𝑢1 (3)
𝑤 = 𝛽2ℎ + 𝛼2𝑧2 + 𝑢2 (4)
Onde: 𝑤 é o salário (endógena); 𝑧1 contem variáveis que determinam a
oferta de trabalho (exógenas); 𝑢1 contem fatores não observados que afetam
a oferta de trabalho da mulher;
ℎé horas trabalhadas (endógena); 𝑧2 contém atributos observáveis que
afetam o nível de salário e 𝑢2 são os atributos não observados.
Como salário ofertado depende das horas de trabalho e horas de trabalho
também depende do salário, então, ambas são definidas conjuntamente em
equilíbrio.
O problema de endogeneidade ocorre porque ℎ pode estar correlacionado
com 𝑢2 e 𝑤 com 𝑢1, ou seja, ℎ é endógena na Eq. 4 e 𝑤 na Eq.3
Viés de simultaneidade em MQO
Quando há violação das hipóteses básicas do modelo clássico
linear, o estimador MQO é viesado e inconsistente. Nesse
caso, em simultaneidade as variáveis endógenas relacionadas
com o termo de erro (𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑢) ≠ 0).
Quando uma variável explicativa que é determinada
simultaneamente com a variável dependente geralmente é
correlacionada com o termo de erro, gerando um viés e
inconsistência do estimador MQO.
Viés de simultaneidade em MQO
Considerando o modelo estrutural de duas equações:
𝑦1 = 𝛼1𝑦2 + 𝛽1𝑧1 + 𝑢1 (5)
𝑦2 = 𝛼2𝑦1 + 𝛽2𝑧2 + 𝑢2 (6)
Para mostrar que 𝑦2 geralmente é correlacionada com 
𝑢, substituindo 𝑦1 em 𝑦2 temos:
𝑦2 = 𝛼2(𝛼1𝑦2 + 𝛽1𝑧1 + 𝑢1) + 𝛽2𝑧2 + 𝑢2 (7)
Reorganizando:
(1 − 𝛼2𝛼1)𝑦2= 𝛼2𝛽1𝑧1 + 𝛽2𝑧2 + 𝛼2𝑢1 + 𝑢2 (8)
Para solucionar para 𝑦2 temos:
𝛼2𝛼1 ≠ 1 (9)
Viés de simultaneidade em MQO
Desde de que a condição - 𝛼2𝛼1 ≠ 1- se mantenha, podemos
dividir (8) por (1 − 𝛼2𝛼1) e escrever 𝑦2como a equação na
forma reduzida para 𝑦2:
𝑦2 = 𝜋21𝑧1 + 𝜋22𝑧2 + 𝑣2 (10)
Parâmetros na forma reduzida (funções não lineares dos
parâmetros estruturais):
𝜋21 =
𝛼2𝛽1
(1−𝛼2𝛼1)
, 𝜋22 =
𝛽2
(1−𝛼2𝛼1)
, 𝑣2 =
(𝛼2𝑢1+𝑢2)
(1−𝛼2𝛼1)
Uma vez que 𝑣2 é uma função linear de 𝑢1 e 𝑢2 , 𝑦2 é
correlacionada com o erro, e 𝛼1 é viesado (viés de
simultaneidade).
Viés de simultaneidade em MQO
Como 𝑢1 e 𝑢2 são, individualmente, não correlacionados com 𝑧1 e
𝑧2, 𝑣2 também é não correlacionado com 𝑧1 e 𝑧2.
Também existe uma forma reduzida de 𝑦1 sob a hipótese (𝛼2𝛼1 ≠ 1
); a álgebra é semelhante à usada para obter (10). Ela tem as mesmas
propriedades da forma reduzida da equação 𝑦2.
Podemos usar a equação (𝑦2 = 𝜋21𝑧1 + 𝜋22𝑧2 + 𝑣2) para mostrar que ,
exceto sob hipóteses especiais, a estimação por MQO da equação
(𝑦1 = 𝛼1𝑦2 + 𝛽1𝑧1 + 𝑢1) produzirá estimadores de 𝛼1 e 𝛽1 viesados e
inconsistentes na equação (5).
Como pressupomos que 𝑧1 e 𝑢1 são não correlacionados, o problema
está em saber se 𝑦2 e 𝑢1 serão correlacionados se, e somente se, 𝑣2 e
𝑢1 forem correlacionados (pois 𝑧1 e 𝑧2 são considerados exógenos).
Viés de simultaneidade em MQO
Porém 𝑣2 é uma função linear de 𝑢1 e 𝑢2 → geralmente
correlacionado com 𝑢1.
Se considerarmos que 𝑢1 e 𝑢2 não correlacionados → 𝑣2 e 𝑢1 devem
ser correlacionado sempre que 𝛼2 ≠ 0.
Se 𝛼2 = 0 – significando que 𝑦1 não aparece na equação (𝑦2 =
𝛼2𝑦1 + 𝛽2𝑧2 + 𝑢2 ) - 𝑣2 e 𝑢1 serão correlacionados se 𝑢1 e 𝑢2 forem
correlacionados.
Se 𝛼2 = 0 e 𝑢1 e 𝑢2 forem não correlacionados, 𝑦2 e 𝑢1 também
serão não correlacionados →requisitos bastante fortes.
𝑦2 não será simultaneamente determinado com 𝑦1. Se adicionarmos
correlação zero entre 𝑢1 e 𝑢2 →eliminação de variáveis omitidas ou
erro de medida em 𝑢1 que sejam correlacionados com 𝑦2 →
Estimação por MQO.
Quando 𝑦2 for correlacionado com 𝑢1 em razão as
simultaneidade, dizemos que MQO sofre de viés de
simultaneidade.
O MQO é viesado e inconsistente quando aplicado a uma
equação estrutural em um sistema de equações simultâneas.
O método de MQ2E pode ser usado para solucionar o
problema de variáveis explicativas endógenas.
Identificação e estimação de uma equação 
estrutural
Quando estimamos um modelo por MQO, a condição crucial
de identificação é que cada variável explicativa seja não
correlacionada com o termo de erro.
De forma geral, essa condição não se mantém, para os SEMs.
A mecânica do MQ2E é semelhante à do Capítulo de variáveis
instrumentais. A diferença é que, como especificamos uma
equação estrutural para cada variável endógena, podemos
verificar se existem Vis suficientes para estimar qualquer
equação.
Se tivermos algumas variáveis instrumentais, poderemos ainda
identificar (ou estimar consistentemente) os parâmetros em
uma equação SEM, da mesma forma com variáveis omitidas ou
erro de medidas.
Identificação e estimação de uma equação 
estrutural
 Escreva o sistema na forma de equilíbrio (isto é, impondo 𝑞𝑠 =
𝑞𝑑 = 𝑞). O modelo:
Oferta: 𝑞 = 𝛼1𝑝 + 𝛽1𝑧1 + 𝑢1
Demanda: 𝑞 = 𝛼2𝑝 + 𝑢2
Onde:
𝑞 é o consumo per capita de leite em nível municipal;𝑝 é o preço médio por galão de leite do município; 
𝑧1 é o preço da alimentação do gado (exógeno).
Qual delas é uma equação identificada?
Equação de demanda é identificada  a variável 𝑧1 será VI do 
preço na equação de demanda.
Identificação e estimação de uma equação 
estrutural
Identificação da Equação de Demanda
P
q
Equação da demanda
Equações de oferta
Identificação e estimação de uma equação 
estrutural
O fato de a equação de demanda ser identificada é uma
consequência de termos uma variável observada 𝑧1 , que
desloca a equação de oferta sem afetar a equação de demanda.
Dada uma variação de 𝑧1 e nenhum erro, podemos desenhar a
curva de demanda.
A presença do deslocador não observado da demanda 𝑢2 faz
com que estimemos a equação de demanda com erros, mas os
estimadores serão consistentes, desde que 𝑧1 seja não
correlacionado com 𝑢2.
Condição de classificação para a identificação de 
uma equação estrutural
Condição de classificação: a primeira equação em um modelo
de equações simultâneas com duas equações será identificada
se, e somente se, a segunda equação contiver ao menos uma
variável exógena (com um coeficiente diferente de zero) que é
excluída da primeira equação → condição necessária e
suficiente identificação da equação.
Condição de ordem: é necessária para a condição de
classificação. A condição de ordem para a identificação da
primeira equação estabelece que pelo menos uma variável
exógena seja excluída dessa equação.
Estimação por MQ2E
Uma vez que tenhamos determinado que uma equação é
identificada, podemos estimá-la por Mínimos Quadrados em
dois estágios - MQ2E.
As VIs consistirão das variáveis exógenas que aparecem em
cada equação.
Oferta de Mão de Obra de Mulheres Casadas que Trabalham. Em lugar da
função de demanda, escrevemos a oferta de salários como uma função de horas
e das variáveis de produtividade habituais.
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
= 𝛼1 log 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜ℎ + 𝛽10 + 𝛽11𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝛽12𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 + 𝛽13𝑐𝑟𝑖𝑎𝑛𝑚𝑒𝑑6
+ 𝛽14𝑛𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑 + 𝑢1
log 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜ℎ = 𝛼2ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 + 𝛽20 + 𝛽21𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝛽22𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟 + 𝛽23𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟
2 + 𝑢2
𝑐𝑟𝑖𝑎𝑛𝑚𝑒𝑑6= número de filhos menores de 6 anos de idade.
𝑛𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑 = renda de outra pessoa da família que não da mulher.
Todas as variáveis, com exceção de ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 e log(𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜ℎ) são consideradas
exógenas.
A primeira equação é função da oferta. Ela satisfaz a condição de ordem: 2
variáveis exógenas 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟 e 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟2, são omitidas da equação de oferta de mão de
obra.
Exemplo
Objetivo: utilizar dados sobre mulheres casadas que trabalham
para estimar a equação da oferta de mão de obra por MQ2E
 
Instruments: educ age kidslt6 nwifeinc exper expersq
Instrumented: lwage
 
 _cons 2225.662 574.5641 3.87 0.000 1096.298 3355.026
 nwifeinc -10.16959 6.614743 -1.54 0.125 -23.17154 2.832359
 kidslt6 -198.1543 182.9291 -1.08 0.279 -557.72 161.4115
 age -7.806094 9.378013 -0.83 0.406 -26.23953 10.62734
 educ -183.7513 59.09981 -3.11 0.002 -299.918 -67.58463
 lwage 1639.556 470.5757 3.48 0.001 714.5914 2564.52
 
 hours Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 257311020 427 602601.92 Root MSE = 1354.2
 Adj R-squared = .
 Residual 773893110 422 1833869.93 R-squared = .
 Model -516582090 5 -103316418 Prob > F = 0.0046
 F( 5, 422) = 3.44
 Source SS df MS Number of obs = 428
Instrumental variables (2SLS) regression
. ivreg hours (lwage = exper expersq ) educ age kidslt6 nwifeinc 
Exemplo
A curva de oferta de mão de obra é:
Mostra que a curva de oferta de mão de obra tem inclinação
para cima.
O coeficiente estimado de log(𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜) tem a seguinte
interpretação: mantendo fixo os outros fatores → ∆ ෣ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ≈
16,4(%∆𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜ℎ).
Exemplo
Podemos calcular as elasticidades de oferta de mão de obra multiplicando
ambos os lados dessa equação por 100/ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠:
100 ×
∆ ෣ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
≈
1.640
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
(%∆𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜ℎ)
Ou
%∆ ෣ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ≈
1.640
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
(%∆𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜ℎ)
O que implica que a elasticidade da oferta de mão de obra (com relação a
salário) é: 1.640/ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 [a elasticidade não é constante nesse modelo
porque ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, e não log(ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠), é a variável dependente].
Na média de horas trabalhadas, 1,303, a elasticidade estimada é
1.640/1,303≈ 1,26 →um aumento maior que 1% nas horas trabalhadas,
dado um aumento de 1% no salário. Essa é uma grande elasticidade
estimada.
Exemplo
Estimação por 
MQO:
Coeficiente 
log 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 =
− 2,05
com (𝑒𝑝 = 54,88)
→não existe nenhum 
efeito do salário sobre 
horas trabalhadas. 
 _cons 1523.775 305.5755 4.99 0.000 923.1352 2124.414
 nwifeinc -5.918458 3.683341 -1.61 0.109 -13.15844 1.321522
 kidslt6 -328.8584 101.4573 -3.24 0.001 -528.2831 -129.4338
 age .562254 5.140012 0.11 0.913 -9.540961 10.66547
 educ -6.621869 18.11627 -0.37 0.715 -42.23123 28.98749
 lwage -2.0468 54.88014 -0.04 0.970 -109.9193 105.8257
 
 hours Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
 
 Total 257311020 427 602601.92 Root MSE = 766.63
 Adj R-squared = 0.0247
 Residual 248020491 422 587726.283 R-squared = 0.0361
 Model 9290528.53 5 1858105.71 Prob > F = 0.0082
 F( 5, 422) = 3.16
 Source SS df MS Number of obs = 428
. reg hours lwage educ age kidslt6 nwifeinc 
Para confirmar que log(𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜) é de fato endógeno, podemos aplicar
o teste de endogeneidade . Quando adicionamos os resíduos da forma
reduzida ො𝑣2 na equação e a estimamos por MQO, a estatística 𝑡 de ො𝑣2 é
-6,61 , que é muito significante e, portanto, log(𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜) parece ser
endógeno.
Sistemas com mais de duas equações
Os testes de endogeneidade, heteroscedasticidade, a correlação
de série e restrições sobre-identificação podem ser obtidas,
assim como no capítulo 15.
Modelos de equações simultâneas podem consistir de mais de 2
equações. O estudo da identificação geral desses modelos é
difícil e requer álgebra matricial.
Qualquer sistema com dois ou mais equações está especificado
corretamente e certo pressupostos adicionais serão válidas, os
métodos de estimação do sistema são geralmente mais eficiente
do que a estimação de cada equação por MQ2E.
O sistema mais comum método de estimação no contexto de
SEMs é 3SLS.
Sistemas com mais de duas equações
Identificação em Sistemas com Três ou mais Equações
𝑦1 = 𝛼12𝑦2 + 𝛼13𝑦3 + 𝛽11𝑍1 + 𝑢1(11)
𝑦2 = 𝛼21𝑦1 + 𝛽21𝑧1 + 𝛽22𝑍2 + 𝛽23𝑧3 + 𝑢2 (12)
𝑦3 = 𝛼32𝑦2 + 𝛽31𝑧1 + 𝛽32𝑍2 + 𝛽33𝑧3 + 𝛽34𝑧4 + 𝑢3 (13)
Em que os 𝑦𝑔 são as variáveis endógenas e 𝑧𝑗 são exógenas.
Exercícios
1. Quando usamos modelos de equação simultâneas? O que é o
viés de simultaneidade em MQO? Como identificar e estimar
a equação estrutural?
2. Desenvolva um modelo de equações simultâneas para a oferta
e demanda de dentistas no Brasil. Especifique as variáveis
endógenas e exógenas do modelo.