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Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique Xavier Oliveira Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 2015 Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Relembrando... Distribuições de Probabilidades Definição: X pode assumir qualquer valor em um determinado intervalo. Diz-se que X é uma VAC, se existir uma função f(x), denominada função densidade de probabilidade (fdp) de x que satisfaça às seguintes condições: b a dxxfbXaP dxxf xf )()()3( ;1)()2( ;0)()1( Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Relembrando... Função de Distribuição Cumulativa de uma VAC A FDC para uma VAC é: xduufxXPxF x para ,)()()( x Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Relembrando... FDC FDP Se para construir uma FDC a partir de uma FDP fazemos: Para construir a FDP a partir de uma FDC, devemos proceder da seguinte forma: xduufxXPxF x para ,)()()( )()()()( xF dx d xfduuf dx d xf x Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Média, Variância e Desvio-padrão de uma VAC Suponha que X seja uma VAC, com uma FDP f(x). A média ou valor esperado de X, denotado por ou E(X), são: A variância de X, denotada por Var(X) ou , é: O desvio-padrão de X é: dxxxfXE )()( ² 2222 )()()( dxxfxdxxfxXVar )(2 XVar Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 Voltemos ao exemplo: Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Calcule a média, a variância e o desvio-padrão. Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 1 – Solução Voltemos ao exemplo: Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Calcule a média, a variância e o desvio-padrão. 20 0 20 0 1005,0)()( dxxdxxxfXE 33,3305,010)()( 20 0 2 20 0 22 dxxdxxfxXVar 773,533,33)( XVar Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Média de uma VAC Se X é uma VAC, com uma FDP f(x). A média ou valor esperado de h(X) será: dxxfxhxhE )()()( Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 2 Voltemos novamente ao exemplo: Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Qual o valor esperado da corrente ao quadrado? Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Exemplo 2 – Solução Voltemos novamente ao exemplo: Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Qual o valor esperado da corrente ao quadrado? 20 0 2 20 0 2 33,13305,0)()()()()( )( dxxdxxfxhdxxfxhxhE xxh Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade L4.3. Exercício 1 Considere as FDP abaixo. Para cada uma delas, calcule a média e a variância de X: a) f(x) = 0,25 para 0 < x < 4 b) f(x) = 0,125x para 0 < x < 4 c) f(x) = 1,5x² para -1 < x < 1 d) f(x) = x/8 para 3 < x < 5 e) f(x) = 3(8x – x²)/256 para 0 < x < 8 Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade L4.3. Exercício 2 Suponha que a função densidade de probabilidade do comprimento de cabos de computador seja f(x) = 0,1, de 1200 a 1210 milímetros. a) Determine o valor esperado e o desvio-padrão do comprimento do cabo b) Se as especificações do comprimento forem 1195 < x < 1205 milímetros, que proporção de cabos estaria dentro das especificações? Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade L4.3. Exercício 3 A espessura, em micrômetros, de um revestimento condutivo tem uma função densidade de 600x–2 para 100 m < x < 120 m. a) Determine a esperança e a variância da espessura de revestimento b) Se o revestimento custar R$ 0,50 centavos por micrômetro de espessura em cada peça, qual será o custo médio do revestimento? Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade L4.3. Exercício 4 Considere novamente a situação (Integração por partes é requerida!) A FDP para o diâmetro, em milímetros, de um orifício é para x > 5 mm. Embora o diâmetro alvo seja 5 mm, vibrações e desgastes da ferramenta e outros inconvenientes produzem diâmetros maiores que 5 mm. Determine a média, a variância e o desvio-padrão do diâmetro dos orifícios. )5(1010)( xexf Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Gabarito 1. a) 2; 1,333; b) 2,66; 0,889; c) 0; 0,2; d) 4,0833; 0,326; e) 4; 3,2 2. a) 1205; 2,8867 3. a) 109,3929; 33,19; c) R$ 54,69 4. 5,5; 0,01 Aula 22 Média e Variância de uma VAC Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade Sugestão para a próxima aula... Estudar o item 4.4 da referência abaixo MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.
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