Capítulo 4 Transformada de Laplace Parte A

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Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
109 
 
CAPÍTULO IV – TRANSFORMADA DE LAPLACE 
PARTE A 
Sumário 
 Definição da transformada de Laplace 
 Transformadas básicas 
 Transformada das derivadas de 
 Aplicação da transformada às equações diferenciais lineares 
 
 
1- Definição da transformada de Laplace 
a) Operador matemático 
Um operador matemático é um símbolo que, uma vez escrito antes de 
uma função, indica que uma operação será realizada sobre ela. 
 
Exemplo 1: 
 O operador derivada total 
Símbolo: 
 
 
 
Este operador aplicado em fornece: 
 
 
 
 
 
O operador integral 
 
Símbolo: 
Este operador aplicado no diferencial fornece: 
 
 
 
 
 
 
Observamos nos dois exemplos, que o operador foi aplicado sobre uma 
função de e forneceu como resultado da operação realizada, outra 
função da mesma variável . 
 
Diferentemente do que observamos acima, veremos que o operador 
transformada de Laplace atua sobre uma função de uma variável 
transformando-a em outra função, de outra variável. 
b) Operador transformada de Laplace 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
110 
 
Seja uma função real de variável real, definida no intervalo . 
 
Símbolo do operador transformada de Laplace: £ 
 
£ lê-se: transformada de Laplace de 
 
Definição: 
 
£ 
 
 
 , ( complexo) 
 
O operador £: 
 Multiplica por 
 Integra o produto de a . 
 
Uma vez calculada a integral, os limites de integração serão substituídos 
na variável , de acordo com o teorema fundamental do cálculo. 
Sendo assim, o resultado da integral acima será uma nova função da 
variável . 
£ 
 
 
 (1) 
 
Observação: 
A variável pode ser restrita a valores reais em muitas aplicações, mas a abordagem 
mais geral trata como uma variável complexa . 
 
É usual a notação da função original por uma letra minúscula e sua 
transformada pela letra maiúscula correspondente. 
 
Desta forma, é a transformada de , é a transformada de 
 , é a transformada de , e assim por diante. 
 
c) Condições de existência da transformada de Laplace 
Dizemos uma função possui transformada de Laplace se a integral 
£ 
 
 
 convergir. 
Isso significa que deve ser tal que, o integrando tenda a 
zero suficientemente rápido, quando fizermos , para algum valor 
fixo de . 
Essa condição nos diz que, se obtivermos , quando calcularmos a 
integral 
 
 
 , então não existe. 
d) Quais funções possuem transformada de Laplace ? 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
111 
 
Entre as funções que atendem à condição acima, temos: 
 As funções contínuas usuais do cálculo: função constante, 
polinomial, exponencial, seno e cosseno hiperbólicos, seno e 
cosseno trigonométricos. 
 
 Funções contínuas por intervalos (ou seccionalmente contínuas): tais 
funções podem apresentar apenas descontinuidades ordinárias, isto 
é, podem ter apenas saltos finitos nos extremos de um intervalo no 
qual elas são contínuas. Confira o gráfico da figura 1. 
 
Fig.1 – O gráfico de é um exemplo de função contínua por 
intervalos. 
 
Funções como a que vemos na figura 1 são fundamentais nas 
aplicações da transformada de Laplace em sistemas de naturezas 
diversas. 
 
1.1 – Transformada inversa 
 
Se £ , então 
 
 (2) 
 
A função original é denominada transformada inversa de , ou 
inversa de e é o operador transformada de Laplace inversa. 
 
1.2 – Propriedade da linearidade 
 
Atenção! 
Vimos que a transformada de Laplace é definida como uma integral. 
Isso significa que procedimentos válidos para uma integral são 
válidos para a transformada de Laplace. 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
112 
 
 E, principalmente, operações proibidas para uma integral são 
proibidas para a transformada! 
 
Sejam e funções que possuem transformadas de Laplace e e 
duas constantes quaisquer. 
 
 
Logo: 
 
 
 
2 – Transformadas básicas 
O trabalho com a transformada de Laplace é usualmente desenvolvido da 
seguinte forma: 
Inicialmente, vamos obter diretamente da definição, a transformada de três 
funções básicas. 
A partir desses resultados fundamentais, outras transformadas de Laplace 
de outras funções serão obtidas através de operações algébricas, sem a 
necessidade de recorrermos novamente à definição para isso. 
De forma semelhante, a transformada de Laplace inversa da função 
será obtida através de operações algébricas realizadas com a mesma. 
Observação: 
Deve-se dizer ainda que, embora exista a definição da transformada de Laplace inversa 
dada pela integral 
 
 
 
 
 
, seu estudo refere-se à transformada de 
Laplace bilateral, não contemplada no escopo deste capítulo. 
a) Transformada de Laplace da função constante 
 
Temos , onde é uma constante qualquer. 
Tomando a definição: 
 
£ 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo , teremos: 
 
 
 
 
 
Substituindo na integral acima, obtemos: 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
113 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retornando à £ e à variável original de integração : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que 
 . 
 
Logo: 
 
 
 
 
Vemos que, e 
 
 
 formam um par de funções 
conectadas entre si pela operação da transformação de Laplace, como 
ilustramos na figura 2. 
 
Fig.2 – A função 
 
 
 é a representação de obtida 
com a operação £ 
 
b) Transformada de Laplace da função exponencial 
 
Temos , onde é uma constante qualquer. 
Tomando a definição, escrevemos: 
 
 £ 
 
 
 
 
 
 
 
Adotando o mesmo procedimento da letra (a), faremos: 
 
 
 
 
 
Substituindo na integral acima, obtemos: 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
114 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retornando à £ e à variável original de integração : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que agora, 
 , pois, se teríamos, 
 
 , o que levaria à inexistência de . 
 
Concluímos que: 
 
 
 
 
 
 
Confira na figura 3 o par para . 
 
 
 
Fig.3 – 
 
 
 e 
 
 
 
 
c) Transformada de Laplace de funções hiperbólicas 
Vamos obter a transformada da função: 
 = cosseno hiperbólico de 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
115 
 
Aplicando a prop. da linearidade (3) e a transformada da exponencial (5) 
obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tirando o m.m.c. e reduzindo os termos semelhantes, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
Utilizando novamente os resultados(3) e (5), obtemos também a 
transformada de Laplace da função . 
Vimos que: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tirando o m.m.c. e reduzindo os termos semelhantes, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
d) Transformada de Laplace de funções trigonométricas básicas 
Vamos utilizar novamente a transformada da função exponencial, mas 
fazendo agora . 
Teremos então: 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos obter a parte real e a parte imaginária da transformada acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
116 
 
Aplicando agora a fórmula de Euler e (3), podemos escrever: 
 
 
 
 
 
Como as duas últimas equações são equivalentes, suas respectivas partes 
reais e imaginárias são iguais. Obtemos então: 
 
 
 
 
 
 
E 
 
 
 
 
 
 
e) Transformada de Laplace da função polinomial 
 
Temos , ( é inteiro e positivo). 
Aplicando diretamente a definição, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Faremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os limites de integração na primeira parcela, e observando 
que, quanto maior for o valor de , mais rapidamente a fração 
 
 
 tende a 
zero, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficaremos com: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na próxima etapa teremos: 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Novamente, e com mais forte razão, a primeira parcela é identicamente 
nula. 
Após integrações sucessivas por partes, todas as parcelas relativas ao 
produto serão nulas. 
E, os coeficientes das parcelas correspondentes ao termo 
acumularão, no numerador o produto e no denominador a potência de , 
que será igual a . 
 
Portanto, será igual a: 
 
 
 
 
 
 
As dez transformadas básicas que acabamos de obter, bem como todas as 
demais propriedades que ainda deduziremos, encontram-se reunidas na 
tabela em Síntese do Capítulo, localizada no final deste texto e você 
deverá consulta-la sempre que necessário. 
 
ATENÇÃO! 
A primeira recomendação para você resolver corretamente os exercícios é 
a seguinte: 
Seja estritamente fiel às transformadas básicas já obtidas. 
Você só pode utilizar diretamente algum resultado da tabela, se você tiver 
em mãos exatamente a mesma condição de uso de cada transformada ou 
propriedade da transformada. 
Caso contrário, será necessário que você trabalhe na sua função até 
alcançar a condição necessária para a aplicação de uma transformada 
básica ou suas propriedades. 
 
Exemplo 1: 
Obtenha as transformadas indicadas 
 
a) 
A função proposta sugere o uso da transformada (10), mas antes 
precisamos colocar nossa função em condições de aplica-la. 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
118 
 
 
 
Agora podemos escrever: 
 
 
Usaremos em sequência os resultados (3), (10) e (4) da tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
Este exercício sugere o uso da transformada (8), mas antes devemos 
desenvolver a expressão de 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a prop. da linearidade (3) e as transformadas de (8) e 
 (9), obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concluindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) £ 
O produto indicado entre chaves lembra imediatamente uso das 
transformadas e . 
MAS ATENÇÃO!! 
A TRANSFORMADA DE UM PRODUTO NÃO É O PRODUTO DAS 
TRANSFORMADAS DOS RESPECTIVOS FATORES!!! 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
119 
 
 
A afirmativa acima significa que 
 
 
 
Isso decorre do fato de a transformada de Laplace ser uma integral. 
 
Precisamos converter o produto em uma soma e, só 
depois disso, podemos obter sua transformada. 
 
As definições de e são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, aplicando agora a prop. da linearidade e a transformada da 
exponencial, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) £ 
 
Novamente, devemos converter em uma soma, pois: 
 
£ 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a identidade trigonométrica 
 
 
 
 
 
Obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tão importante quanto obter a transformada de Laplace de uma função 
 , é obter a transformada inversa de uma função . 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
120 
 
E ainda, vale aqui o que já dissemos antes: 
Seja estritamente fiel às transformadas básicas (diretas e inversas) já 
obtidas. 
Você só pode utilizar diretamente algum resultado da tabela, se você tiver 
em mãos exatamente a mesma condição de uso de cada propriedade ou 
transformada inversa. 
Caso contrário, será necessário que você trabalhe na sua função até 
alcançar a condição necessária para a aplicação de uma transformada 
inversa básica ou alguma propriedade. 
 
Exemplo 2: 
Obtenha as transformadas inversas indicadas. 
 
a) 
 
 
 
 
Observando o denominador desta transformada, vemos que ela é 
equivalente à nº , para . Confira na síntese do capítulo. 
Entretanto, a transformada da função é: 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 seria a transformada de , não fosse a ausência do 
fator no numerador. 
 
Vamos adotar o mesmo procedimento de adaptação de um diferencial, 
quando efetuamos uma integração. 
Vamos multiplicar e dividir, convenientemente, nossa transformada por . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora podemos utilizar a transformada da função polinomial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
A observação do denominador sugere a relação com as transformadas 
 ou da tabela. 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
121 
 
Precisamos ajustar essa transformada para que o uso direto dos resultados 
mencionados seja possível.A primeira parcela identifica-se com a transformada para . 
A segunda parcela necessita ser multiplicada e dividida por , para que 
possamos aplicar a ela a transformada também para . 
Reescrevemos a expressão acima como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando as informações e da tabela, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
A transformada proposta neste exemplo é o produto de três transformadas 
das funções exponenciais e de acordo com o resultado da 
tabela. 
 
MAS ATENÇÃO!! 
A TRANSFORMADA INVERSA DE UM PRODUTO NÃO É O 
PRODUTO DAS TRANSFORMADAS INVERSAS DOS RESPECTIVOS 
FATORES!!! 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 Novamente, precisamos converter esse produto em uma soma, para 
 efetuarmos a transformada inversa solicitada. 
Utilizaremos aqui o mesmo recurso que você aprendeu para calcular uma 
integral do tipo 
 
 
 a decomposição em frações parciais. 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
122 
 
Este procedimento consiste no cálculo de um m.m.c. “de trás para frente”. 
Isto é, queremos saber qual foi a soma de frações, cujo m.m.c. é igual a 
 e que, depois de adicionadas, resultaram em 
 
 
 . 
 
O denominador já está fatorado e suas raízes são e . 
Escrevemos então que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tirando o m.m.c. no 2º membro, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos duas frações iguais, com denominadores iguais e, portanto, com 
numeradores também iguais entre si, isto é: 
 
 
Esta é uma equação válida para qualquer valor de . 
Sendo assim, vamos escolher os valores que tornam este cálculo o mais 
simples possível. 
Tais valores são justamente as raízes do denominador: e 
Substituindo , obtemos: 
 
 
Substituindo , obtemos: 
 
 
Sabemos agora que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, aplicando os resultados e da tabela, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
123 
 
 
 
 
 
 
3 – Sistematização da decomposição em frações parciais 
 
Seja uma transformada, cuja forma é uma função racional algébrica da 
forma: 
 
 
 
 
Onde e são polinômios de e, o grau de é maior que o grau 
de . 
Nesse caso, a transformada inversa de Laplace será obtida através da 
decomposição de em frações parciais, que se divide em dois casos 
distintos: 
 
1º caso: possui fatores simples ou raízes simples 
Temos 
 
 
 
 
O denominador possui as raízes simples 
 
 
 
 . 
Sendo assim, a fatoração de relativamente a essas raízes será: 
 
A transformada torna-se: 
 
 
 
 
 
 
 
A decomposição em frações parciais correspondente é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tiramos o m.m.c. do segundo membro e utilizamos as raízes de para 
obtermos com simplicidade os valores de que tornam verdadeira a 
igualdade acima, como fizemos no exemplo 2 – letra c. 
 
2º caso: possui fatores múltiplos ou raízes múltiplas 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
124 
 
O denominador possui as raízes 
 
 
 
 . 
Sendo assim, a fatoração de relativamente a essas raízes será: 
 
A transformada torna-se: 
 
 
 
 
 
 
 
A decomposição em frações parciais correspondente é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que, se , a soma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , possui m.m.c. igual a . 
Por este motivo, todos os demais coeficientes dos termos relativos aos 
denominadores até devem ser previstos na 
decomposição. 
Exemplo 3: 
Obtenha 
 
 
 
 é uma função racional, logo, inicialmente vamos obter as raízes do 
denominador. 
 
 
Temos quatro raízes simples e a fatoração do denominador será: 
 
A decomposição em frações parciais correspondente é: 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
125 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tirando o m.m.c. do 2º membro e igualando os numeradores, obtemos: 
 
 
Vamos substituir uma raiz por vez e determinar, um a um, os coeficientes 
 e 
Fazendo 
 
 
 
 
Fazendo 
 
 
 
 
Fazendo 
 
 
 
 
Fazendo 
 
 
 
 
Reescrevemos nossa transformada como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando agora os resultados e na transformada inversa, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
126 
 
Determine 
 
 
 
Inicialmente, vamos obter as raízes do denominador: 
 
 
 
 
 
 
 
As raízes indicam que: , onde é raiz 
dupla de e e são raízes simples do denominador. 
A decomposição em frações parciais correspondente será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tirando o m.m.c. do 2º membro e igualando os numeradores, obtemos: 
 
Vamos substituir uma raiz por vez e determinar, três dos quatro coeficientes. 
Fazendo : 
 
 
 
 
Fazendo : 
 
 
 
 
Fazendo : 
 
 
 
 
Como temos três raízes distintas, foi possível calcular apenas e 
Para calcularmos o valor de devemos escolher qualquer outro valor para 
 , obviamente diferente das raízes acima. 
Substituindo, por exemplo, na equação: 
 
Obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
127 
 
Desta forma teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuindo o operador na soma e aplicando os resultados e 
da tabela, obtemos:4 – Transformadas das derivadas de 
As transformadas de Laplace de derivadas de permitirão a aplicação da 
transformada à resolução de equações diferenciais lineares, homogêneas ou 
não, através de um processo algébrico, sem a necessidade de se obter, 
previamente, a solução geral da equação, para depois obter a solução 
particular do problema. 
a) Transformada da derivada primeira de 
Vamos obter diretamente da definição. 
 
 
 
 
 
 
Integrando por partes, faremos: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como partimos da hipótese de que e devem possuir transformada 
de Laplace, então deve ser tal que 
 
 
 
 
 
 Onde 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
128 
 
 = valor da função (desconhecida) quando . 
E ainda, 
 
 
 
 , por definição. 
Portanto: 
 
 
b) Transformada da derivada segunda de 
Vamos novamente obter a partir da definição. 
 
 
 
 
 
 
Integrando por partes, faremos: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como e existem: 
 
 
 
 
Onde 
 = valor da derivada primeira de quando . 
Chegamos então ao resultado: 
 
c) Transformada da derivada enésima de 
Estendendo os resultados (13) e (14) para a transformada de Laplace da 
derivada de ordem de , indicada por , teremos: 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
129 
 
ATENÇÃO! 
A fim de evitar futuros transtornos, não se esqueça de reservar a letra 
MAIÚSCULA para a função de e a letra minúscula correspondente para 
indicar as funções da variável 
Exemplo 5: 
Resolva o problema de valor inicial 
 
Temos aqui uma equação diferencial de 2ª ordem, linear e homogênea. 
Vamos obter a solução particular desta equação, sem passarmos pela solução 
geral. 
Procedimento de resolução envolve quatro etapas que descreveremos a 
seguir. 
I) Aplicar o operador transformada de Laplace (£) sobre todos os 
termos da equação diferencial. 
 
Vamos utilizar os resultados e : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que, em e e , que correspondem a 
 e em nosso exemplo. 
Note também que as relações e contêm os valores de e , 
que são condições iniciais de uma equação diferencial de 2ª ordem, expressas 
aqui através dos valores de e . 
Substituindo as transformadas indicadas na equação diferencial, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II) Substituir as condições iniciais do problema 
 
 
 
III) Obter a equação de 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
130 
 
 
 
 
 
 
Esta equação nos fornece a transformada de Laplace da solução 
particular da equação diferencial. 
Isso significa que a solução particular que procuramos é 
 
IV) Obter a transformada inversa de 
O denominador não nos conduz a nenhuma transformada 
existente na tabela. 
Sendo assim, vamos fatorar o denominador e fazer a decomposição de 
em frações parciais. 
Fazendo , obtemos as raízes: e . 
Logo: 
 
E será escrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tirando o m.m.c. e igualando os numeradores, obtemos: 
 
Substituindo , obtemos . 
Substituindo , obtemos . 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
E a solução particular da equação diferencial é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
131 
 
Exemplo 6: 
Resolva o problema de valor inicial: 
 
Vamos aplicar o operador em todos os termos da equação diferencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo as transformadas indicadas na equação diferencial, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora substituir as condições iniciais do problema e obter a equação de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As raízes do denominador são: 
 
 
 
 e 
 
 
 
De posse das raízes, reescrevemos como: 
 
 
 
 
A decomposição em frações parciais correspondente é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tirando o m.m.c. e igualando o numerador a , obtemos: 
 
 
Substituindo as raízes uma a uma, vamos obter os valores de e . 
Para obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
132 
 
Para obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a transformada de Laplace da solução particular do problema de valor 
inicial é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução particular será obtida aplicando, em sequência, na equação acima 
as transformadas e : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
133 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE - SÍNTESE 
1) Definição: 
 £ 
 
 
 
2) Transformada de Laplace inversa: 
 
 
3) Propriedade da Linearidade: 
£ 
 
 FUNÇÕES BÁSICAS E SUAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
4) Função constante 
 
 
 
 
5) Função exponencial 
 
 
 
 
6) Função cosseno hiperbólico 
 
 
 
 
 
 
 
7) Função seno hiperbólico 
 
 
 
 
 
 
 
8) Função cosseno 
 
 
 
 
9) Função seno 
 
 
 
 
10) Função polinomial 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
134 
 
SISTEMATIZAÇÃO DA DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 
11) 1º CASO: 
 
 
 e possui fatores simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 são raízes simplesdo denominador e 
 são os coeficientes da decomposição destes fatores simples. 
12) 2º CASO: 
 
 
 e possui fatores múltiplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ... 
onde: 
 = raiz de multiplicidade de 
 = raízes simples de 
 = coeficientes da decomposição do fator 
 de 
 
 coeficientes da decomposição de fatores simples e de 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE DAS DERIVADAS DE 
13) 
 
 
 
14) 
 
 
 
15) 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
135 
 
 
8 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Determine: 
1) £ 
2) £ 
3) £ 
4) 
5) £ --1 
 
 
 
6) £--1 
 
 
 
7) £--1 
 
 
 
8) £ --1 
 
 
 
9) £ --1 
 
 
 
Resolva o problema de valor inicial, usando a transformada de Laplace: 
10) com e 
11) com e 
12) com e 
13) com e 
 
RESPOSTAS 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
136 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
6) 
 
 
 
7) 
 
 
 
8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 
 
 
 
10) 
11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) 
 
 
 
 
 
 
13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valéria Cunha Figueiredo 
 
 
137 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS