LISTA 2 Capítulo 3 Vetores

Prévia do material em texto

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 1 
 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE 
Curso: Engenharia Civil - Campus Fortaleza - Sem: 2016/2 
Disciplina: Física I - Prof: José Carlos Carneiro - Turno: Manhã 
2ª Lista de Exercícios – Capítulo 3 - Vetores 
 
1. A componente x de um vetor �⃗⃗� é -
25,0 m e a componente y é + 40,0 m. 
Responda: 
a) Qual é o módulo de �⃗⃗� ? 
b) Qual é o ângulo entre o sentido de 
�⃗⃗� e o sentido positivo do eixo x 
(semieixo positivo x)? 
 
2. Um vetor deslocamento �⃗� no plano 
xy tem módulo de 15 m e o sentido 
especificado pelo ângulo 𝜽 = 𝟑𝟎°, 
como mostra a figura abaixo. 
 
Determine as componentes x e y do 
vetor �⃗� . Escreva a expressão analítica 
de �⃗� (�⃗� em termos dos vetores 
unitários). 
 
3. Uma máquina pesada foi erguida 
com o auxílio de uma rampa 
inclinada de um ângulo 𝜽 = 𝟑𝟎°, 
onde a máquina deslizou ao longo de 
uma distância d = 12,5 m. 
 
 
 
Responda: 
a) De quanto a máquina foi erguida 
verticalmente? 
b) De quanto a máquina foi deslocada 
horizontalmente? 
 
4. Você deve executar quatro 
deslocamentos sucessivos sobre uma 
superfície plana num deserto, 
começando na origem de um sistema 
de coordenadas xy e terminando nas 
coordenadas (x, y) = (-140 m, 30 m). 
As componentes de seus 
deslocamentos são, respectivamente, 
as seguintes, em metros: (20, 60), 
então (bx, -70), então (-20, cy), e 
finalmente (-60, -70). 
Determine: 
a) bx e cy; 
b) O módulo do deslocamento 
resultante e o ângulo que ele forma 
com o semieixo positivo x. 
 
5. Dados os vetores �⃗⃗� , 𝑩,⃗⃗ ⃗ �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� da 
figura abaixo: 
 
 
 
a) Escreva as expressões de cada um 
deles em função dos vetores unitários 
𝒊 𝒆 𝒋 ; 
 
CARNEIRO, J.C.S., IFCE 2 
 
b) Obtenha um vetor �⃗⃗� , em termos de 
𝒊 𝒆 𝒋 , tal que: �⃗⃗� = 𝟐�⃗⃗� − �⃗⃗� + 𝟑�⃗⃗� −
𝟏
𝟐
�⃗⃗� . 
 
6. Na figura abaixo estão desenhados 
dois vetores (�⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� ). Estes vetores 
representam deslocamentos 
sucessivos de um corpo. Qual é o 
módulo do vetor igual a �⃗⃗� + �⃗⃗� ? 
 
a) 4cm 
 
b) 5cm 
 
c) 8cm 
 
d) 13cm 
 
e) 25cm 
 
7. Sejam os vetores �⃗⃗� = 𝟓, 𝟎𝒊 +
𝟕, 𝟎𝒋 𝒆 �⃗⃗� = −𝟑, 𝟓𝒊 + 𝟔, 𝟎�⃗⃗� . Calcule: 
a) O ângulo entre �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� ; 
b) O produto escalar �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ; 
c) O produto vetorial �⃗⃗� ×�⃗⃗� ; 
d) O vetor �⃗� = 𝟐�⃗⃗� − 𝟑�⃗⃗� . 
 
8. Considere o esquema da figura 
abaixo: 
 
 
a) Escreva a expressão analítica dos 
vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� , em função dos 
vetores 𝒊 , 𝒋 𝒆 �⃗⃗� ; 
b) Determine os ângulos θ entre �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� 
e φ entre �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� . 
 
9. Considere os vetores �⃗� , 𝐛 , 𝐜 𝐞 𝐝 , em 
notação módulo-ângulo, dados por: 
 
�⃗� : 𝟔, 𝟎𝟎 𝐦 ; +𝟎, 𝟗𝟎𝟎 𝐫𝐚𝐝 
𝐛 : 𝟒, 𝟎𝟎 𝐦 ; +𝟏, 𝟐𝟎 𝐫𝐚𝐝 
𝐜 : 𝟓, 𝟎𝟎 𝐦 ; −𝟕𝟓, 𝟎° 
𝐝 : 𝟔, 𝟎𝟎 𝐦 ; −𝟐𝟏𝟎° 
 
Responda: 
a) Qual a expressão do vetor soma em 
termos de vetores unitários? 
b) Qual o módulo do vetor soma? 
c) Qual a expressão do vetor soma em 
notação módulo-ângulo? 
 
10. Dois besouros correm sobre uma 
areia plana, partindo do mesmo 
ponto. O besouro 1 corre 0,50 m para 
o leste, e depois 0,80 m 30° ao norte 
do leste. O besouro 2 também faz 
duas corridas; a primeira de 1,6 m 
40° ao leste do norte. Sabendo que o 
besouro 2 termina a corrida na 
mesma posição final do besouro 1, 
 
CARNEIRO, J.C.S., IFCE 3 
 
para sua segunda corrida, determine 
o módulo e o sentido. 
 
11. Dados os vetores �⃗⃗� = (𝟑, 𝟎𝒎)𝒊 +
(𝟒, 𝟎𝒎)𝒋 e �⃗⃗� = (𝟓, 𝟎𝒎)𝒊 + (−𝟐, 𝟎𝒎)𝒋 , 
determine: 
a) �⃗⃗� + �⃗⃗� e �⃗⃗� − �⃗⃗� em termos de vetores 
unitários; 
b) �⃗⃗� + �⃗⃗� e �⃗⃗� − �⃗⃗� na notação módulo-
ângulo. 
 
12. Sejam os vetores �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� dados por: 
�⃗⃗� = (𝟒, 𝟎𝒎)𝒊 − (𝟑, 𝟎𝒎)𝒋 + (𝟏, 𝟎𝒎)�⃗⃗� 
𝐛 = (−𝟏, 𝟎𝐦)𝐢 + (𝟏, 𝟎𝐦)𝐣 + (𝟒, 𝟎𝐦)𝐤 
Em termos de vetores unitários, 
encontre: 
a) �⃗⃗� + �⃗⃗� ; 
b) �⃗⃗� − �⃗⃗� ; 
c) Um vetor �⃗� tal que �⃗⃗� − �⃗⃗� + �⃗� = �⃗⃗� 
 
13. O cubo da figura abaixo, de aresta 
a, tem um de seus vértices 
posicionado na origem de um sistema 
de coordenadas cartesianas xyz. Uma 
diagonal de centro é uma linha que 
vai de um vértice a outro passando 
pelo centro do cubo. 
 
Encontre, em termos dos vetores 
unitários, a diagonal de centro que se 
estende a partir do vértice quando 
suas coordenadas forem: 
a) (0,0,0); 
b) (a,0,0); 
c) (0,a,0); 
d) (a,a,0). 
 
14. No problema anterior, qual o 
ângulo que cada diagonal de centro 
forma com os lados adjacentes? 
 
15. Dados os vetores �⃗⃗� = 𝟑, 𝟎𝒊 +
𝟑, 𝟎𝒋 − 𝟐, 𝟎�⃗⃗� , �⃗⃗� = 𝟐𝟏, 𝟎𝒊 − 𝟒, 𝟎𝒋 +
𝟐, 𝟎�⃗⃗� 𝒆 �⃗� = 𝟐, 𝟎𝒊 + 𝟐, 𝟎𝒋 + 𝟏, 𝟎�⃗⃗� . 
Encontre: 
a) �⃗⃗� ∙ (�⃗⃗� ×�⃗� ); 
b) �⃗⃗� ∙ (�⃗⃗� + �⃗� ); 
c) �⃗⃗� ×(�⃗⃗� + �⃗� ). 
 
16. Para os três vetores seguintes, 
quanto vale 𝟑�⃗⃗� ∙ (𝟐�⃗⃗� ×�⃗⃗� )? 
 
�⃗⃗� = 𝟐, 𝟎𝟎𝒊 + 𝟑, 𝟎𝟎𝒋 − 𝟒, 𝟎𝟎�⃗⃗� 
�⃗⃗� = −𝟑, 𝟎𝟎𝒊 + 𝟒, 𝟎𝟎𝒋 + 𝟐, 𝟎𝟎�⃗⃗� 
�⃗⃗� = 𝟕, 𝟎𝟎𝒊 − 𝟖, 𝟎𝟎𝒋 
 
17. Uma roda de raio igual a 45,0 cm 
rola sem deslizar ao longo de um piso 
horizontal, conforme a figura abaixo. 
No instante t1, o ponto P pintado na 
borda da roda está no ponto de 
contato entre a roda e o piso. Em um 
instante posterior t2, a roda rolou 
girando de meia revolução. 
 
 
 
CARNEIRO, J.C.S., IFCE 4 
 
Quais são: 
a) O módulo do deslocamento do 
ponto P; 
b) O ângulo do vetor deslocamento 
em relação ao piso. 
 
18. Se �⃗⃗� for adicionado a �⃗⃗� , o 
resultado será 𝟔, 𝟎𝒊 + 𝟏, 𝟎𝒋 . Se �⃗⃗� for 
subtraído de �⃗⃗� o resultado será 
– 𝟒, 𝟎𝒊 + 𝟕, 𝟎𝒋 . Qual é o módulo de �⃗⃗� ? 
 
19. Para os vetores da figura abaixo, 
são dados: a = 4, b = 3 e c = 5. 
Encontre: 
a) O módulo e o sentido de �⃗⃗� ×�⃗⃗� ; 
b) O módulo e o sentido de �⃗⃗� ×�⃗� ; 
c) O módulo e o sentido de �⃗⃗� ×�⃗� . 
 
 
 
20. Considere os vetores �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� dados 
por: 
�⃗⃗� = (𝟒, 𝟎𝒎)𝒊 − (𝟑, 𝟎𝒎)𝒋 
�⃗⃗� = (𝟔, 𝟎𝒎)𝒊 + (𝟖, 𝟎𝒎)𝒋 
Calcule o módulo e o ângulo com 
relação ao semieixo positivo x (ângulo 
em relação em relação a 𝒊 ) dos 
seguintes vetores: 
a) �⃗⃗� ; 
b) �⃗⃗� ; 
c) �⃗⃗� + �⃗⃗� ; 
d) �⃗⃗� − �⃗⃗� ; 
e) �⃗⃗� − �⃗⃗� 
 
21. Com relação ao problema 
anterior, qual é o ângulo entre �⃗⃗� − �⃗⃗� 
e �⃗⃗� − �⃗⃗� ? 
 
22. O vetor �⃗⃗� , que aponta ao longo de 
um eixo x, deve ser somado a um 
vetor �⃗⃗� , que tem módulo igual a 7,0 
m. A soma é um terceiro vetor que 
aponta ao longo do eixo y, com 
módulo igual a 3,0 vezes o módulo de 
�⃗⃗� . Qual é o módulo de �⃗⃗� ? 
 
23. Considere os vetores �⃗� , 𝐛 , 𝐞 𝐜 
dados por: 
�⃗⃗� = −𝟑, 𝟎𝒊 + 𝟑, 𝟎𝒋 + 𝟐, 𝟎�⃗⃗� 
�⃗⃗� = −𝟐, 𝟎𝒊 − 𝟒, 𝟎𝒋 + 𝟐, 𝟎�⃗⃗� 
�⃗� = 𝟐, 𝟎𝒊 + 𝟑, 𝟎𝒋 + 𝟏, 𝟎�⃗⃗� 
 
Calcule: 
a) �⃗⃗� ∙ (�⃗⃗� + �⃗� ); 
b) �⃗⃗� ∙ (�⃗⃗� ×�⃗� ); 
c) (�⃗⃗� ×�⃗⃗� )×(�⃗⃗� + �⃗� ). 
 
24. Se �⃗⃗� + �⃗⃗� = 𝟓�⃗� , �⃗⃗� − �⃗⃗� = 𝟑�⃗� 𝒆 �⃗� =
𝟐𝒊 + 𝟒𝒋 , determine, em termos de 
vetores unitários, os vetores: 
a) �⃗⃗� ; 
b) �⃗⃗� . 
 
25. Considere os vetores �⃗� , 𝐛 , 𝐞 𝐜 
dados por: 
�⃗⃗� = 𝟓, 𝟎𝒊 + 𝟒, 𝟎𝒋 − 𝟔, 𝟎�⃗⃗� 
�⃗⃗� = −𝟐, 𝟎𝒊 + 𝟐, 𝟎𝒋 + 𝟑, 𝟎�⃗⃗� 
 
CARNEIRO, J.C.S., IFCE 5 
 
�⃗� = 𝟒, 𝟎𝒊 + 𝟑, 𝟎𝒋 + 𝟐, 𝟎�⃗⃗� 
Faça o que se pede: 
a) Obtenha o vetor �⃗� , dado por: �⃗� =
�⃗⃗� − �⃗⃗� + �⃗� ; 
b) Calcule o ângulo entre �⃗� e o 
sentido positivo do eixo z; 
c) Qual é a componente de �⃗⃗� ao longo 
dadireção de �⃗⃗� ? 
d) Qual é a componente de �⃗⃗� 
perpendicular à direção de �⃗⃗� e que 
está no plano definido por �⃗⃗� e �⃗⃗� ? 
 
26. Um homem sai para caminhar, 
partindo da origem de um sistema de 
coordenadas xyz, com o plano xy 
horizontal com o eixo x para o leste. 
Carregando uma moeda sem valor, 
ele caminha 1000 m para o leste, 2000 
m para o norte, e então deixa cair a 
moeda em um penhasco de 500 m de 
altura. 
Determine: 
a) O deslocamento da moeda do 
ponto de partida ao ponto de 
aterrissagem, em termos de vetores 
unitários; 
b) O módulo do deslocamento do 
homem, para a viagem de ida e volta, 
quando ele retorna à origem. 
 
27. Os vetores �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� estão no plano 
xy. �⃗⃗� tem módulo 8,00 e ângulo de 
130° (em relação a 𝒊 ); �⃗⃗� tem 
componentes Bx = -7,72 e By = -9,20. 
 
 
Responda: 
a) Quanto vale 𝟓�⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ? 
b) Obtenha 𝟒�⃗⃗� ×𝟑�⃗⃗� em termos de 
vetores unitários; 
c) Calcule o módulo do vetor 𝟒�⃗⃗� ×𝟑�⃗⃗� 
e forneça seu sentido utilizando 
coordenadas esféricas; 
d) Qual é o ângulo entre os vetores �⃗⃗� 
e 𝟒�⃗⃗� ×𝟑�⃗⃗� ? 
e) Obtenha, em termos de vetores 
unitários, o vetor dado por �⃗⃗� +
𝟑, 𝟎𝟎�⃗⃗� ; calcule seu módulo e expresse 
seu sentido em coordenadas esféricas. 
 
28. Mostre que �⃗⃗� ∙ (�⃗⃗� ×�⃗⃗� ) é zero para 
quaisquer vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� . Qual é o 
módulo de �⃗⃗� ×(�⃗⃗� ×�⃗⃗� ) se existe um 
ângulo 𝝋 entre os sentidos de �⃗⃗� e �⃗⃗� ? 
 
29. Três vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� 𝒆 �⃗� têm módulos 
iguais a 50 m e estão em um plano xy. 
Seus sentidos em relação ao sentido 
positivo do eixo x são 30°, 195° e 315°, 
respectivamente. 
Determine: 
a) �⃗⃗� + �⃗⃗� + �⃗� ; 
b) �⃗⃗� − �⃗⃗� + �⃗� ; 
c) Os módulos dos vetores �⃗⃗� + �⃗⃗� + �⃗� e 
�⃗⃗� − �⃗⃗� + �⃗� ; 
 
CARNEIRO, J.C.S., IFCE 6 
 
d) Os ângulos que os vetores �⃗⃗� + �⃗⃗� +
�⃗� e �⃗⃗� − �⃗⃗� + �⃗� formam com o semieixo 
positivo x; 
e) O módulo e o ângulo (com relação 
ao semieixo positivo x) de um quarto 
vetor �⃗⃗� , sabendo que (�⃗⃗� + �⃗⃗� ) =
(�⃗� + �⃗⃗� ). 
 
30. Os dois vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� da figura 
abaixo têm módulos iguais a 10,0 m e 
os ângulos são dados por 𝜽𝟏 = 𝟑𝟎° e 
𝜽𝟐 = 𝟏𝟎𝟓°. 
 
Encontre: 
a) As componentes x e y de sua soma 
vetorial �⃗� = �⃗⃗� + �⃗⃗� ; 
b) O módulo de �⃗� e o ângulo que ele 
faz com o semieixo positivo x. 
 
31. Dois vetores são dados por �⃗⃗� =
𝟑, 𝟎𝒊 + 𝟓, 𝟎𝒋 𝒆 �⃗⃗� = 𝟐, 𝟎𝒊 + 𝟒, 𝟎𝒋 . 
Calcule: 
a) �⃗⃗� ×�⃗⃗� ; 
b) �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ; 
c) (�⃗⃗� + �⃗⃗� ) ∙ �⃗⃗� ; 
d) A componente de �⃗⃗� ao longo da 
direção de �⃗⃗� . 
 
32. Considere um relógio com 
mostrador circular de 10cm de raio e 
cujo ponteiro dos minutos tem 
comprimento igual ao raio do 
mostrador. Considere este ponteiro 
como vetor de origem no centro do 
relógio e direção variável. Determine, 
em cm, o módulo da soma dos três 
vetores determinados pela posição 
desse ponteiro quando o relógio 
marca, exatamente, 12 horas, 12 
horas e 20 minutos e 12horas e 40 
minutos. 
 
33. Em um cubo de aresta a = 10 cm 
estão inscritos os vetores �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� . 
 
O módulo do vetor soma de �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� 
vale: 
a) 
210
 b) 30 c) 
52
 d) 
310
 e) 
103
 
 
34. Sejam �⃗⃗� = 𝒄𝒐𝒔𝜶𝒊 + 𝒔𝒆𝒏𝜶𝒋 𝒆 �⃗⃗� =
𝒄𝒐𝒔𝜷𝒊 + 𝒔𝒆𝒏𝜷𝒋 vetores no plano xy 
que formam, respectivamente, 
ângulos 𝜶,𝜷 com o sentido positivo do 
eixo 𝒙. Demonstre que �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� são 
vetores unitários. Por meio de um 
produto escalar, obtenha a expressão 
para 𝒄𝒐𝒔(𝜶 − 𝜷). 
 
35. Provar que a área de um 
paralelogramo cujos lados são �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� é 
|�⃗⃗� ×�⃗⃗� |. 
 
36. As arestas do paralelepípedo visto 
na figura são mutuamente 
perpendiculares. Mostre que o 
produto �⃗⃗� ∙ (�⃗⃗� ×�⃗� ), chamado de 
produto misto, é igual ao volume do 
paralelepípedo. 
 
 
CARNEIRO, J.C.S., IFCE 7 
 
 
 
37. Seja �⃗⃗� um vetor não nulo de 
módulo a. Os ângulos 𝜶 =
∡(�⃗⃗� , 𝒊 ), 𝜷 = ∡(�⃗⃗� , 𝒋 ) 𝒆 𝜸 = ∡(�⃗⃗� , �⃗⃗� ) são 
chamados ângulos diretores de �⃗⃗� . Os 
números 𝒍 = 𝒄𝒐𝒔𝜶,𝒎 = 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝒆 𝒏 =
𝒄𝒐𝒔𝜸 são chamados cossenos diretores 
de �⃗⃗� . 
 
 
 
Mostre que; 
 
a) �⃗⃗� = 𝒂(𝒄𝒐𝒔𝜶𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜷𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝜸�⃗⃗� ); 
b) 𝒍 =
(�⃗⃗� ∙𝒊 )
𝒂
,𝒎 =
(�⃗⃗� ∙𝒋 )
𝒂
 e 𝒏 =
(�⃗⃗� ∙�⃗⃗� )
𝒂
. 
c) 𝒍𝟐 + 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 = 𝟏 
 
38. Determine um vetor �⃗⃗� com as 
seguintes características: 
 
a) Módulo 10; 
b) Ângulo de 45° com o eixo x 
positivo; 
c) Ângulo de 60° com o eixo y 
positivo; 
d) Componente na direção do eixo z 
positiva; 
 
39. Para o vetor �⃗⃗� = (𝟏, 𝟎 𝒎)𝒊 +
(𝟐, 𝟎 𝒎)𝒋 + (𝟑, 𝟎 𝒎)�⃗⃗� , determine: 
a) O módulo; 
b) O ângulo entre �⃗⃗� e cada um dos 
eixos coordenados. 
 
40. A figura abaixo exibe dois 
sistemas de eixos coordenados com os 
vetores unitários associados. 
 
 
 
a) Mostre que: 
 
𝒊 ′ = 𝒊 𝒄𝒐𝒔∅ + 𝒋 𝒔𝒆𝒏∅ 
𝒋 ′ = −𝒊 𝒔𝒆𝒏∅ + 𝒋 𝒄𝒐𝒔∅ 
 
b) Um vetor �⃗⃗� pode ser expresso 
como �⃗⃗� = 𝑨𝒙𝒊 + 𝑨𝒚𝒋 ou como �⃗⃗� =
𝑨𝒙
′ 𝒊 ′ + 𝑨𝒚
′ 𝒋 ′. Use o item (a) para 
mostrar que: 
 
𝑨𝒙
′ = 𝑨𝒙𝒄𝒐𝒔∅ + 𝑨𝒚𝒔𝒆𝒏∅ 
𝑨𝒚
′ = −𝑨𝒙𝒔𝒆𝒏∅ + 𝑨𝒚𝒄𝒐𝒔∅ 
c) Mostre que as componentes, nos 
dois sistemas, estão relacionadas pela 
matriz de transformação: 
 
CARNEIRO, J.C.S., IFCE 8 
 
 
[
𝑨𝒙
′
𝑨𝒚
′ ] = [
𝒄𝒐𝒔∅ 𝒔𝒆𝒏∅
−𝒔𝒆𝒏∅ 𝒄𝒐𝒔∅
] [
𝑨𝒙
𝑨𝒚
] 
 
41. Um vetor �⃗⃗� com módulo de 17,0 m 
está orientado em um ângulo de 56,0° 
no sentido anti-horário a partir do 
sentido positivo do eixo x. Um 
segundo sistema de coordenadas está 
inclinado de um ângulo 𝜽′ = 𝟏𝟖° em 
relação ao primeiro. 
 
 
 
Responda: 
a) Quais as componentes de �⃗⃗� no 
sistema x0y? 
b) Quais as componentes de �⃗⃗� no 
sistema x’0y’? 
 
42. A figura abaixo mostra dois 
vetores �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� e dois sistemas de 
coordenadas diferentes. Os eixos 
x’Ox e y’Oy fazem entre si um ângulo 
φ. 
 
 
Mostre analiticamente que a adição 
vetorial é invariante para uma rotação 
do sistema de coordenadas, ou seja, 
que �⃗⃗� + �⃗⃗� tem o mesmo módulo em 
qualquer sistema de coordenadas. 
 
43. Mostre que para dois vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� 
quaisquer, vale a identidade de 
Lagrange: 
 
|�⃗⃗� ×�⃗⃗� |
𝟐
= |�⃗⃗� |𝟐|�⃗⃗� |
𝟐
− (�⃗⃗� ∙ �⃗⃗� )
𝟐
 
 
44. Mais tarde em nossos estudos 
superiores de física encontraremos 
grandezas representadas por (�⃗⃗� ×�⃗⃗� ) ∙
�⃗⃗� . Para quaisquer vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� , 
prove que: �⃗⃗� ∙ (�⃗⃗� ×�⃗⃗� ) = (�⃗⃗� ×�⃗⃗� ) ∙ �⃗⃗� . 
 
45. Seja o vetor �⃗⃗� = (𝟑 𝟓⁄ )𝒊 −
(𝟒 𝟓⁄ )𝒋 + (𝟎)�⃗⃗�
 . Mostre que: 
 
a) �⃗⃗� é um vetor unitário; 
b) Determine dois unitários �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗⃗� 
perpendiculares a �⃗⃗� e mutuamente 
perpendiculares. Suponha �⃗⃗� 
pertencente ao plano xy. 
46. Os três vetores representados a 
seguir têm módulos dados por a = 3, b 
= 4 e c = 10 e 𝜽 = 𝟑𝟎°. 
 
CARNEIRO, J.C.S., IFCE 9 
 
Calcule: 
a) As componentes dos vetores nas 
direções x e y; 
b) Encontre dois números, p e q, tais 
que �⃗� = 𝒑�⃗⃗� + 𝒒�⃗⃗� . 
 
 
 
47. Três vetores têm as orientações 
que aparecem na figura abaixo, com 
A = 20, B = 40 e C = 30 unidades. 
Achar: 
a) As componentes do vetor 
resultante; 
b) O módulo e a direção do vetor 
resultante. 
 
 
 
48. Sejam 
ceba,
 vetores do espaço. 
Mostre as seguintes igualdades 
vetoriais: 
a) 
 abba
 
b) 












 cbacba
 
c) 







 bmambam
 
d) 
 

 anamanm
 
e) 


aa
|
a
|2 
f) 







 cabacba ...
 
g) 







 cabacba
 
h) 
mbabmabambam 

























i) 
mbabmabambam 

























onde m é um escalar. 
 
49. Sejam �⃗⃗� 𝒆 �⃗� diagonais de um cubo 
de aresta 𝒂, que se interceptam na 
origem, conforme a figura: 
 
 
 
a) Ache as componentes do vetor �⃗⃗� , 
sendo �⃗⃗� = �⃗⃗� ×�⃗� ; 
b) Ache os valores de �⃗⃗� ∙ �⃗� , �⃗⃗� ∙ �⃗� 𝒆 �⃗⃗� ∙
�⃗⃗� . 
 
50. A figura a seguir representa uma 
estrutura cristalina, estudada em 
física do estado sólido, chamada de 
rede cúbica de face centrada, 
 
CARNEIRO, J.C.S., IFCE 10 
 
tecnicamente simbolizada por (fcc). 
Os vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� 𝒆 �⃗� , são chamados de 
vetores da base primitiva da rede fcc 
e definem a célula primitiva da 
estrutura. O volume da célula 
primitiva é dado pelo produto misto, 
𝑽𝑪é𝒍 = �⃗⃗� ∙ (�⃗⃗� ×�⃗� ). 
 
 
 
Mostre que: 
 
a) Os vetores primitivos da rede fcc 
são dados por: 
 
�⃗⃗� =
𝟏
𝟐
𝒂(𝒊 + 𝒋 ) ; �⃗⃗� =
𝟏
𝟐
𝒂(𝒋 + �⃗⃗� ) 
�⃗� =
𝟏
𝟐
𝒂(�⃗⃗� + 𝒊 ) 
 
b) O volume da célula primitiva é 
dado por: 𝑽𝑪é𝒍 =
𝟏
𝟒
𝒂𝟑. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Anotações