Primeira lista Algebra II

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Primeira lista de exerc´ıcios A´lgebra II
1 Seja G um grupo abeliano. Prove que: Se x, y ∈ G e m ∈ Z, enta˜o (xy)m = xm.ym.
2 Seja G um grupo tendo e como elemento identidade. Prove que: Se x2 = e ∀x ∈ G, enta˜o
G e´ um grupo abeliano.
3 Determine f, g ∈ S3 tais que:
a) (f ◦ g)3 6= f 3 ◦ g3;
b) (f ◦ g)2 6= f 2 ◦ g2.
4 Quais dos seguintes subconjuntos G de Z13 = {0, 1, 2, ..., 12} sa˜o grupos com a operac¸a˜o de
multiplicac¸a˜o?
a) G = {1, 3, 5, 7, 9, 11};
b) G = {1, 3, 5, 8, 9};
5 Sejam H1, ..., Hn subgrupos de um grupo G. Mostre que H = H1 ∩ ... ∩ Hn e´ um subgrupo
de G.
6 Mostre que se G e´ um grupo c´ıclico, enta˜o G e´ um grupo abeliano.