Lista 2 Álgebra II

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Lista 2-2018
Luciane Quoos - UFRJ
1. Sejam G um grupo, H < G e L < G, mostre que HL = LH ⇔ HL < G.
a) A intersec¸a˜o H ∩ L e´ um subgrupo de G. A unia˜o de subgrupos e´ ainda um
subgrupo?
b) ∀g ∈ G, gHg−1 < G.
c) Se L / G, enta˜o HL = {hl |h ∈ H, l ∈ L} < G.
2. Seja Q8 = {±1,±i,±j,±k} um conjunto onde i2 = j2 = k2 = −1, ij = k, jk =
i, ki = j, ji = −k, kj = −i, ik = −j.
a) Mostre que Q8 e´ um grupo, denominado o grupo dos quate´rnios.
b) Mostre que Q8 na˜o e´ abeliano e que todo subgrupo e´ normal.
3. Seja G um grupo e S ⊆ G um subconjunto de G. Considere o conjunto < S >:=
{a1a2 . . . an | ai ∈ G} formado pelos produtos finitos de elementos de S.
a) Mostre que < S >< G, denominado de subgrupo gerado por S.
b) Seja S = {i, j} ⊆ Q8, determine < S >.
c) Seja S1 = {3} ⊆ S2 = {3, 5} ⊆ Q∗, determine < Si > para i = 1, 2.
d) Seja S = {3, 5} ⊆ Z, determine < S >.
4. Seja G um grupo c´ıclico e H < G.
a) Mostre que G e´ abeliano.
b) Conclua que H CG e o grupo quociente G/H e´ c´ıclico.
c) Podemos afirmar que, em geral, se G e´ um grupo tal que para todo subgrupo
H CG temos que G/H e´ c´ıclico, enta˜o G e´ c´ıclico?
5. Seja G um grupo e Z(G) = {g ∈ G | gx = xg ∀x ∈ G} ⊆ G.
a) Mostre que Z(G) e´ um subgrupo normal de G.
b) Determine o centro de S3, Q8 e S4.
6. Seja G um grupo e Z(G) o centro de G. Mostre que se G/Z(G) e´ um grupo
c´ıclico, enta˜o G e´ abeliano.
7. Seja ϕ : G1 → G2 um homomorfismo de grupos.
(a) Mostre que se ϕ e´ uma bijec¸a˜o, enta˜o a func¸a˜o inversa e´ um homomorfismo.
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(b) Suponha ϕ um isomorfismo, mostre para todo g ∈ G1 temos o(g) = o(ϕ(g)).
(c) Suponha ϕ um isomorfismo, mostre que G1 e´ abeliano se e somente se G2 e´
abeliano.
8. Decida se existe um isomorfismo entre os seguintes grupos: Z20 e Z4 × S3, Z20 e
Z4 × Z5, Z20 e Z2 × Z2 × Z5, Zp2 e Zp × Zp, Q8 e U8, S3/ < (12) > e Z3.
9. Determine todos os homomorfismos de (Z∗11, )˙ em (Z10,+).
10. Sejam G um grupo, e H um subgrupo de G, e NG(H) = {g ∈ G | gHg−1 = H},
o normalizador de H.
a) Mostre que NG(H) e´ um subgrupo de G.
b) Mostre que H CNG(H).
c) Mostre que NG(H) e´ o maior subgrupo de G no qual H e´ normal, ou seja, se
H CK < G enta˜o K < NG(H).
11. Mostre que (Z10,+) e´ isomorfo a Z5 × Z2. E´ sempre verdade que Za e´ isomorfo
a Zb × Zc, se a = bc?
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