EP6 2017 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP6 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 7 do Caderno Dida´tico.
Neste EP, abordaremos os seguintes temas: radiciac¸a˜o, potenciac¸a˜o e um pouco de fatorac¸a˜o. No
material impresso, voceˆ encontra toda a teoria que necessita para resolver os exerc´ıcios deste EP.
Recomendamos fortemente que voceˆ estude e fac¸a os exerc´ıcios do Caderno Dida´tico, especialmente
aqueles que envolvem racionalizac¸a˜o (Exerc´ıcio 7.5 - pa´gina 100 e 101).
Exerc´ıcio 1 Efetue:
a) 3× 34 × (33 ÷ 35) b) 51234 × (5−533 ÷ 5700) c) √80÷√5
d) 3
√
25 3
√
5 e)
√√
16 f)
66
√
434
Soluc¸a˜o:
a) 3× 34 × (33 ÷ 35) = 3× 34 × (3−2) = 35 × 3−2 = 33 = 27
b) 51234 × (5−533 ÷ 5700) = 51234 × 5−1233 = 5
c)
√
80÷√5 =
√
80√
5
=
√
80
5
=
√
16 = 4
d) 3
√
25 3
√
5 = 3
√
25× 5 = 3√53 = 5
e)
√√
16 =
√
4 = 2
f)
66
√
434 = 66
√
(22)34 =
66
√
268 = 66
√
266 × 22 = 66√266 × 66√22 = 2 66√22 = 2 33√2
Exerc´ıcio 2 Fatore o radicando e, em seguida, simplifique.
a)
√
162 b) 3
√−216 c) −√0, 98 d) 3√750
Soluc¸a˜o:
a)
√
162 =
√
2 · 34 = √2 · √34 = √2 · 32 = 9√2
b) 3
√−216 = 3√−23 · 33 = 3√−23 · 3√33 = −2 · 3 = −6
c) −√0, 98 = −
√
98
100
= −
√
98√
100
= −
√
2 · 72√
102
= −
√
2 ·
√
72
10
= −7
√
2
10
d) 3
√
750 =
3
√
2 · 3 · 53 = 3√2 · 3 · 3√53 = 5 3√6
Me´todos Determin´ısticos I EP6 2
Exerc´ıcio 3 Desenvolva:
a) (x+ 3)(x− 3) b) (3x+ 2)(3x− 2) c) (5x− 3)(3 + 5x)
d)
(
x
4
+
1
3
)(
x
4
− 1
3
)
e) (x+ 5)2 f) (3x− 5)2
g)
(
x
2
− 1
3
)2
Soluc¸a˜o:
a) (x+ 3)(x− 3) = x2 − 9
b) (3x+ 2)(3x− 2) = 9x2 − 4
c) (5x− 3)(3 + 5x) = (5x− 3)(5x+ 3) = 25x2 − 9
d)
(
x
4
+
1
3
)(
x
4
− 1
3
)
=
x2
16
− 1
9
e) (x+ 5)2 = x2 + 10x+ 25
f) (3x− 5)2 = 9x2 − 30x+ 25
g)
(
x
2
− 1
3
)2
=
x2
4
− x
3
+
1
9
Exerc´ıcio 4 Fatore, usando produtos nota´veis:
a) x2 − 4 b) 16x2 − 9 c) x
2
4
− y
2
16
d) x2 + 2x+ 1 e) x2 − 6x+ 9 f) 9x2 − 6x+ 1
Soluc¸a˜o:
a) x2 − 4 = (x+ 2)(x− 2)
b) 16x2 − 9 = (4x+ 3)(4x− 3)
c)
x2
4
− y
2
16
=
(
x
2
+
y
4
)(
x
2
− y
4
)
)
d) x2 + 2x+ 1 = x2 + 2 · x · 1 + 12 = (x+ 1)2
e) x2 − 6x+ 9 = x2 − 2 · x · 3 + 32 = (x− 3)2
f) 9x2 − 6x+ 1 = (3x)2 − 2 · (3x) · 1 + 12 = (3x− 1)2
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 3
Exerc´ıcio 5 Simplifique as expresso˜es alge´bricas, assumindo que as expresso˜es nos denominadores
sa˜o sempre diferentes de zero e (a+ b) > 0.
a)
a2(b2)3
a3
b)
3a− 3
a2 − 2a+ 1 c)
4a2 − 4
8a2 − 16a+ 8
d)
a2 − 9
a− 3 e)
(3 + a)2 − 9
a
f)
a2 − b2
ab
− ab− b
2
ab− a2
g)
(a− b)2
a2 − b2 +
2b
a+ b
h)
2(a+ b)√
a2 + b2 + 2ab
i)
[
ab+ b2
a2 − b2 + 1
]−1
+ ba−1
Soluc¸a˜o:
a)
a2(b2)3
a3
=
a2
a3
(b2)3 =
b6
a
b)
3a− 3
a2 − 2a+ 1 =
3(a− 1)
(a− 1)2 =
3
a− 1
c)
4a2 − 4
8a2 − 16a+ 8 =
4(a2 − 1)
8(a2 − 2a+ 1) ==
4(a+ 1)(a− 1)
8(a− 1)2 =
a+ 1
2(a− 1)
d)
a2 − 9
a− 3 =
(a+ 3)(a− 3)
a− 3 = a+ 3
e)
(3 + a)2 − 9
a
=
(
(3 + a) + 3
) (
(3 + a)− 3)
a
=
(
6 + a
)
a
a
= 6 + a
f)
a2 − b2
ab
− ab− b
2
ab− a2 =
a2 − b2
ab
− b(a− b)
a(b− a)
=
a2 − b2
ab
− b (a− b)
(−a)(a− b)
=
a2 − b2
ab
+
b
a
=
a2 − b2
ab
+
b2
ab
=
a2 − b2 + b2
ab
=
a2
ab
=
a
b
Portanto,
a2 − b2
ab
− ab− b
2
ab− a2 =
a
b
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 4
g)
(a− b)2
a2 − b2 +
2b
a+ b
=
(a− b)2
(a+ b)(a− b) +
2b
a+ b
=
a− b
a+ b
+
2b
a+ b
=
a− b+ 2b
a+ b
=
a+ b
a+ b
= 1.
Portanto,
(a− b)2
a2 − b2 +
2b
a+ b
= 1 .
h)
2(a+ b)√
a2 + b2 + 2ab
=
2(a+ b)√
(a+ b)2
=
2(a+ b)
(a+ b)
= 2
i) [
ab+ b2
a2 − b2 + 1
]−1
+ ba−1 =
[
ab+ b2
a2 − b2 +
a2 − b2
a2 − b2
]−1
+
b
a
=
[
ab+ b2 + a2 − b2
a2 − b2
]−1
+
b
a
=
[
ab+ a2
a2 − b2
]−1
+
b
a
=
[
a(b+ a)
(a+ b)(a− b)
]−1
+
b
a
=
[
a
(a− b)
]−1
+
b
a
=
(a− b)
a
+
b
a
=
a− b+ b
a
=
a
a
= 1
Portanto,
[
ab+ b2
a2 − b2 + 1
]−1
+ ba−1 = 1 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 5
Exerc´ıcio 6 Determine o valor de cada expressa˜o nume´rica apresentada a seguir.
a)
[(
1
3
)3
÷
(
1
3
)−3]( 1
27
)−1
3 ×
(
−1
3
)−2
b)
[(
−1
2
)4
÷
(
−1
2
)3](
−1
2
)−2
+ (−64)1/3
c)
( √
5 3
√−36
(5× 36)1/2
)3
−
[
(−0, 2)13 ÷
(
−1
5
)12](
−1
5
)−3
Soluc¸a˜o:
a)
[(
1
3
)3
÷
(
1
3
)−3]( 1
27
)−1
3 ×
(
1
3
)−2
=
[(
1
3
)3
÷
(
3
1
)3](27
1
)1
3 ×
(
3
1
)2
=
[
1
33
÷ 3
3
1
]
3
√
27× 32
=
[
1
33
× 1
33
]
3× 32
=
1
36
× 33
=
1
33
=
1
27
b) [(
−1
2
)4
÷
(
−1
2
)3](
−1
2
)−2
+ (−64)1/3 =
[(
−1
2
)4
÷
(
−1
2
)3](
−1
2
)−2
+ 3
√−64
=
[
1
24
÷
(
− 1
23
)](
−2
1
)2
+
3
√
−26
=
[
− 1
24
× 2
3
1
]
22 + (−22)
= −1× 2
3 × 22
24
+ (−4)
= −2− 4
= −6
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 6
c) ( √
5 3
√−36
(5× 36)1/2
)3
−
[
(−0, 2)13 ÷
(
−1
5
)12](
−1
5
)−3
=
(√
5 3
√−36√
5
√
36
)3
−
[(
− 2
10
)13
÷
(
−1
5
)12] [(
−1
5
)−1]3
=
(
3
√−36
6
)3
−
[(
−1
5
)13
÷
(
+
1
512
)] [
−5
1
]3
=
( 3
√−36)3
63
−
[
− 1
513
× 512
]
(−5)3
=
−36
6
−
[
−1
5
]
(−5)3
= −1
6
− 1
5
× 53
= −1
6
− 25
= −1
6
− 150
6
=
−1− 150
6
= −151
6
Exerc´ıcio 7 Resolva cada item, passo por passo.
a) Verifique que
3√
5− 1 −
3
√
5
4
e´ igual a
3
4
.
b) Determine o valor de 5
√−32 + (27)−1/3.
c) Determine o valor de 5− 2
[(
1
2
− 3
)2
÷ 1
4
− 26
]
Soluc¸a˜o:
a)
3√
5− 1 −
3
√
5
4
=
3√
5− 1 ·
√
5 + 1√
5 + 1
− 3
√
5
4
=
3(
√
5 + 1)
5− 1 −
3
√
5
4
=
3
√
5 + 3
4
− 3
√
5
4
=
3
4
b) 5
√−32 + (27)−1/3 = −2 + 1
(27)1/3
= −2 + 1
3
√
27
= −2 + 1
3
=
−6 + 1
3
= −5
3
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 7
c)
5− 2
[(
1
2
− 3
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[(
1− 6
2
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[(−5
2
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[
25
4
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[
25
�4
· �4
1
− 26
]
= 5− 2 [25− 26]
= 5− 2[−1]
= 5 + 2
= 7
Exerc´ıcio 8 Determine o valor de m+ n, dado que
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5 e n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
.
Soluc¸a˜o:
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5
=
3
√
−1
33
− (25)−1/5
=
−1
3
− (2)−1
= −1
3
− 1
2
= −2
6
− 3
6
= −5
6
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 8
e
n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
=
(
2
3
− 1
4
)2
.
4
5
=
(
8
12
− 3
12
)2
.
4
5
=
(
5
12
)2
.
4
5
=
25
144
.
4
5
=
5
36
.
Logo,
m+ n = −5
6
+
5
36
= −30
36
+
5
36
= −25
36
.
Conclusa˜o: 3
√−1
27
− (32)−1/5 +
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
= −25
36
.
Expresso˜esAlge´bricas
Chamaremos de E(x) (leˆ-se “E de x”) uma expressa˜o alge´brica onde a varia´vel envolvida e´ a letra
x. Por exemplo, se quisermos representar a expressa˜o x2 − 3, escreveremos
E(x) = x2 − 3.
O sinal de igualdade aqui utilizado, significa que foi atribu´ıda a` E(x) a expressa˜o x2−3. Fornecendo
um valor para x, podemos determinar o valor de uma expressa˜o E(x). No caso da expressa˜o definida
anteriormente, fazendo x = 2, temos que
E(2) = 22 − 3 = 4− 3 = 1.
Exerc´ıcio 9 Para cada uma das expresso˜es alge´bricas E(x) seguintes, calcule o valor da expressa˜o
no valor de x dado. Tenha atenc¸a˜o ao calcular x2 e −x2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 9
a) E(x) = −x2 + x
2
− 1
5
, E(0, 1)
b) E(x) = −x2 + x
2
− 1
5
, E(−0, 1)
c) E(x) = x2 +
x
2
− 1
5
, E(0, 1)
d) E(x) = x2 +
x
2
− 1
5
, E(−0, 1)
Soluc¸a˜o:
a) Como 0, 1 =
1
10
, temos que
E(0, 1) = −
(
1
10
)2
+
1
10
2
− 1
5
= −
(
12
(10)2
)
+
1
10
· 1
2
− 1
5
= −
(
1
100
)
+
1
20
− 1
5
= − 1
100
+
1
20
− 1
5
= − 1
100
+
5
100
− 20
100
=
−1 + 5− 20
100
= − 16
100
= − 4
25
Portanto, E(0, 1) = − 4
25
= −0, 16
b) Como −0, 1 = − 1
10
=
−1
10
, temos que
E(−0, 1) = −
(−1
10
)2
+
(−1
10
)
2
− 1
5
= −
(
(−1)2
(10)2
)
+
(−1
10
)
· 1
2
− 1
5
= −
(
1
100
)
+
(
− 1
20
)
− 1
5
= − 1
100
− 1
20
− 1
5
= − 1
100
− 5
100
− 20
100
=
−1− 5− 20
100
= − 26
100
= −13
50
Portanto, E(−0, 1) = −13
50
= −0, 26 .
c) Como 0, 1 =
1
10
, temos que
E(0, 1) =
(
1
10
)2
+
1
10
2
− 1
5
=
(
12
(10)2
)
+
1
10
· 1
2
− 1
5
=
(
1
100
)
+
1
20
− 1
5
=
1
100
+
1
20
− 1
5
=
1
100
+
5
100
− 20
100
=
1 + 5− 20
100
= − 14
100
= − 7
50
Portanto, E(0, 1) = − 7
50
= −0, 14
d) Como −0, 1 = − 1
10
=
−1
10
, temos que
E(−0, 1) =
(−1
10
)2
+
(−1
10
)
2
− 1
5
=
(
(−1)2
(10)2
)
+
(−1
10
)
· 1
2
− 1
5
=
(
1
100
)
+
(
− 1
20
)
− 1
5
=
1
100
− 1
20
− 1
5
=
1
100
− 5
100
− 20
100
=
1− 5− 20
100
= − 24
100
= − 6
25
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 10
Portanto, E(−0, 1) = − 6
25
= −0, 24 .
Exerc´ıcio 10 Determine o valor de x que satisfaz a equac¸a˜o dada em cada um dos itens a seguir.
a) x2 = 0 b) x3 = 27 c) x3 = −27 d) x2 = 16 e) x2 = −16
Soluc¸a˜o:
a) A u´nica soluc¸a˜o e´ x = 0 pois 0 · 0 = 0.
b) A u´nica soluc¸a˜o e´ x = 3 pois 3 · 3 · 3 = 27.
c) A u´nica soluc¸a˜o e´ x = −3 pois (−3) · (−3) · (−3) = −27.
d) Nesse caso, as duas soluc¸o˜es poss´ıveis sa˜o os nu´meros x1 = 4 e x2 = −4 .
Pois para x1 = 4, vale que (4)
2 = 4·4 = 16. E, para x2 = −4, vale que (−4)2 = (−4)·(−4) = 16.
e) Veja que em x2 = −16, x2 e´ sempre um nu´mero positivo e −16 e´ um nu´mero negativo. Logo,
na˜o existe um nu´mero real que satisfaz a equac¸a˜o dada.
Assim, pelo que foi estudado no Caderno Dida´tico (pa´ginas 91, 92 e 93) e tendo como exemplo o
exerc´ıcio acima, concluimos que a equac¸a˜o xn = a, com n > 0 inteiro, possui:
• uma so´ soluc¸a˜o x = 0, se a = 0.
• uma so´ soluc¸a˜o, de mesmo sinal que a, se n e´ ı´mpar.
• duas soluc¸o˜es sime´tricas, x1 = n
√
a e x2 = − n
√
a, se n e´ par e a > 0.
• a equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o real, se a < 0 e n e´ par.
Os exerc´ıcios abaixo trazem discusso˜es muito importantes!
Exerc´ıcio 11 A igualdade
√
b2 = b e´ verdadeira para todo b ∈ R?
Soluc¸a˜o: A expressa˜o na˜o e´ verdadeira para b negativo. Veja, por exemplo, o que acontece quando
b = −1:
√
b2 =
√
(−1)2 =
√
1 = 1,
que, obviamente, na˜o e´ igual a b, pois b = −1.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP6 11
Exerc´ıcio 12 A igualdade m
√
bmn = bn e´ verdadeira para todo b real e m,n naturais?
Soluc¸a˜o: A expressa˜o e´ falsa, por exemplo, se b = −1 e m = 2 e n = 1. Veja:
m
√
bmn = 2
√
(−1)2·1 =
√
1 = 1,
pore´m
bn = (−1)1 = −1.
Na verdade, a igualdade na˜o se verifica quando b for negativo, m par e n ı´mpar. Sendo m par, mn
sera´ tambe´m par. Assim, bmn e´ positivo, e enta˜o m
√
bmn existe e e´ positivo. Por outro lado, como b
e´ negativo e n e´ ı´mpar, bn sera´ negativo. Com isso teremos m
√
bmn 6= bn (o lado direito e´ positivo e
o lado esquerdo e´ negativo).
Exerc´ıcio 13 A igualdade mn
√
bm = n
√
b e´ verdadeira para todo b real e m,n naturais?
Soluc¸a˜o: Mais uma vez, a igualdade na˜o e´ verdadeira para todo b real e m,n naturais. Ela e´ falsa,
por exemplo, se b = −1, m = 2 e n = 3 (na verdade, sera´ falsa para b negativo, m par e n ı´mpar).
Veja:
mn
√
bm = 6
√
(−1)2 = 6
√
1 = 1
e
n
√
b = 3
√−1 = −1.
Vamos pensar um pouco mais sobre os exerc´ıcios acima?
E´ muito comum acreditar na possibilidade de “cortar”ou “cancelar”o ı´ndice de uma raiz com o
expoente do radicando, isto e´, acreditar que as igualdades
m
√
bmn = bn,
mn
√
bm =
n
√
b
mn
√
bmp =
n
√
bp
sa˜o verdadeiras. Estas igualdades trazem uma grande armadilha, que e´ o fato de a base poder ser
negativa e o expoente m poder ser par. Neste caso, no lado esquerdo teremos bm, sendo a base b
negativa e o expoente m par, o que fara´ com que o radicando seja positivo. Quando “cortamos”ou
“cancelamos”o m, perdemos este sinal positivo. Quando o n ou p acima forem ı´mpares, isto repre-
sentara´ um grande problema, pois teremos um positivo de um lado e um negativo de outro.
Uma situac¸a˜o ainda pior pode acontecer, veja o caso de
4
√
b6. Se escrevermos
4
√
b6 na forma
2·2√
b2·3
e “cortarmos”o 2 do ı´ndice com o do expoente do radicando, teremos
2
√
b3. Para b = −1, teremos
4
√
b6 = 4
√
(−1)6 = 4
√
1 = 1
e
2
√
(−1)3 = √−1, que na˜o existe!.
Ou seja, a igualdade
4
√
b6 =
2
√
b3 na˜o so´ esta´ errada, como sequer faz sentido para b < 0.
Portanto, muito cuidado antes de sair por a´ı cortando ou cancelando ı´ndice com expoente!
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