Lista 04 N meros Complexos

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ALUNO: 
 
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA – LISTA 04 
 
 
ÁLGEBRA 
Visão Vestibulares
01. (Fatec-SP) Seja a equação x² + 4 = 0 no conjunto dos números compl
xos. Sobre as sentenças: 
 
1. A soma das raízes dessa equação é zero. 
2. O produto das raízes dessa equação é 4. 
3. O conjunto solução dessa equação é {-2, 2}. 
 
é verdade que: 
 
a) somente a 1 é falsa c) somente a 3 é falsa 
b) somente a 2 é falsa d) todas são verdadeiras 
 
02. (UFRS) O número z = (m - 3) + (m² - 9)i será um número real não nulo para:
 
a) m = -3 b) m < -3 ou m > 3 c) -3 < m < 3 d)
 
03. (Mack-SP) Para i² = -1, os valores reais de a e b tais que 
são, respectivamente: 
 
a) 0 e 3/2 b) -4 e 1 c) 3/2 e 0 d) 3/2 e 2 
 
04. (USF-SP) Dados os números complexos z1 = a + bi e z
z1.z2 = 15, então z1 + z2 é igual a: 
 
a) 8 b) 4 c) 4 + 4i d) 6 + i 
 
05. (Fuvest-SP) Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária 
do número complexo
i2
i2
+α
+ é zero, então α é: 
 
a) -4 b) -2 c) 1 d) 2 
 
06. (PUC-MG) O complexo z tal que 5z + z – 12 = 16i é igual a:
 
a) -2 + 2i b) 2 – 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i 
 
07. (Mack-SP) O número (1 + i)10 é igual a: 
a) 2 – 10i b) 32 + 10i c) 2 + 10i d) 32i
 
08. (Unirio) Sejam z1 e z2 números complexos representados pelos seus 
fixos na figura. Então, o produto de z1 pelo conjugado de z
 
a) 19 + 10i 
b) 11 + 17i 
c) 10 
d) -19 + 17i 
e) -19 + 7i 
 
 
 
09. (Cesgranrio) Um complexo z possui módulo igual a 2 e argumento 
Sendo z o conjugado de z, a forma algébrica do complexo 
 
a) 3i1− b) i3 − c) i3 + d) i31+ 
 
10. (Cesesp-PE) O lugar geométrico descrito pelo número complexo z = x + yi, 
tal que |z – 2 – i| = 5, é: 
 
a) uma circunferência de centro (0, 5) e raio 2. 
b) uma parábola. 
c) uma circunferência de centro (2, 1) e raio 5. 
d) uma elipse. 
e) uma circunferência de centro (-2, -1) e raio 5. 
 
 
11. (UFAM) A forma a + bi de
i1
i22
z
+
−
= é: 
a) -2i b) 2i c) 1 + i d) 1 – i 
 
12. (UFV-MG) A representação no plano complexo dos números 
a parte real de z2 é igual a 2 é uma: 
 
a) hipérbole b) elipse c) circunferência d) reta
 
 
 
LISTA 04 
 
 
ÁLGEBRA – NÚMEROS COMPLEXOS 
lares 
 
Seja a equação x² + 4 = 0 no conjunto dos números comple-
e) todas são falsas 
 
9)i será um número real não nulo para: 
d) m = 3 e) m > 0 
tais que 
263 ii
iia− = 3 + bi 
e) -6 e 2 
= a + bi e z2 = 1 – 2i. Como 
e) 8 – 2i 
é um número real e que a parte imaginária 
e) 4 
12 = 16i é igual a: 
e) 3 + i 
32i e) -32i 
números complexos representados pelos seus a-
pelo conjugado de z2‚ é: 
possui módulo igual a 2 e argumento pi/3. 
, a forma algébrica do complexo z é: 
e) i232 − 
O lugar geométrico descrito pelo número complexo z = x + yi, 
e) 2 + 2i 
A representação no plano complexo dos números z tais que 
reta e) parábola 
13. (Vunesp) Se z = (2 + i).(1 + i) . i, então 
 
a) -3 – i b) 1 – 3i c) 3 – i 
 
14. (Fuvest-SP) 
 
a) Determine todas as soluções, no campo complexo, da equação
onde i é a unidade imaginária, isto é, i
b) Represente essas soluções no plano complexo.
 
15. (Unicamp) Dado um número complexo z = x + iy, o seu conjugado é o 
número complexo z = x – yi. 
a) Resolva as equações: z. z = 4 e
b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geométricos que represe
tam as soluções dessas equações.
 
16. (UFMT) O número complexo z = a + bi é representado geometricamente por 
um ponto P(a, b) no plano de Argand-Gauss que se denomina afixo. Seja z = 2 + 
3i e z seu conjugado. Os afixos de z, z
gand-Gauss, são os vértices de um quadrilátero Q. Determine o perímetro de Q.
 
17. (Mack-SP) Se os pontos que representam os complexos z = a + bi e 
w = c + di, com a⋅b⋅c⋅d ≠ 0, pertencem a uma mesma reta que passa pela 
origem, então z/w é sempre igual a: 
 
a) a/c b) a/(2c –1) c) a(c 
 
18. (Vunesp) Considere os números complexos 
i a unidade imaginária. 
 
a) Determine z⋅w e |w – z|. 
b) Represente z e w no plano complexo e determine b 
modo que os números complexos 
ângulo, no plano complexo, cuja área é 20.
 
19. (UFRN) O número complexo
1
1



+
−
a) i b)1 c) -1 
 
20. (EFEI-MG) Determine a solução da equação z
sendo z = a + bi e z = a – bi, com a 
 
21. (UFPA) Numa PG de quatro termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 
1 – i e a soma dos termos de ordem par é 2i, em que i é a unidade imaginária. 
Determine o número complexo a + bi que 
 
22. (UFG) Determine todos os números complexos z = x + iy de módulo 5 
pertencem à reta de equação x – 2y + 5 = 0. 
 
23. (ITA-SP) A soma das raízes da equação z
é igual a: 
 
a) –2 b) -1 c) 0 
 
24. (Fuvest-SP) Dentre os números complexos z = a + bi, não nulos, que 
têm argumento igual a pi/4, aquele cuja representação geométrica está s
bre a parábola y = x² é: 
 
a) 1 + i b) 1 – i c) -1 + i 
 
25. (UFJF-MG) Se i é a unidade imaginária, então
 
a) 1 – i b) 1 + i c) 0 
 
26. (FMTM-MG) Sendo p e q números reais tais que 
unidade imaginária, se os números complexos z
z2 = 1/2 são iguais, então q é igual a:
 
a)
6
35 −pi
 b)
12
69 −pi
 c)
6
65 −pi
 DATA: ___ /___ / ___ 
 
Professor 
SOMBRA 
Se z = (2 + i).(1 + i) . i, então z , o conjugado de z é: 
 d) -3 + i e) 3 + i 
Determine todas as soluções, no campo complexo, da equação z = iz2, 
onde i é a unidade imaginária, isto é, i2 = –1 = e z é o conjugado de z. 
Represente essas soluções no plano complexo. 
Dado um número complexo z = x + iy, o seu conjugado é o 
= 4 e ( ) 22 zz = . 
intersecção dos lugares geométricos que represen-
tam as soluções dessas equações. 
O número complexo z = a + bi é representado geometricamente por 
Gauss que se denomina afixo. Seja z = 2 + 
z , -z e - z , representados no plano de Ar-
Gauss, são os vértices de um quadrilátero Q. Determine o perímetro de Q. 
Se os pontos que representam os complexos z = a + bi e 
0, pertencem a uma mesma reta que passa pela 
 
– 1) d) c/2a e) 2ac 
Considere os números complexos z = 2 – i e w = –3 – i, sendo 
no plano complexo e determine b ∈ IR, b ≥ 0, de 
modo que os números complexos z, w e t = bi sejam vértices de um tri-
plano complexo, cuja área é 20. 
25
i
i



+
− é igual a: 
d) - i 
Determine a solução da equação z. z + (z - z ) = 13 + 4i, 
bi, com a ∈ IR , b ∈ IR e i2 = -1. 
Numa PG de quatro termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 
i e a soma dos termos de ordem par é 2i, em que i é a unidade imaginária. 
Determine o número complexo a + bi que representa a razão desta progressão. 
Determine todos os números complexos z = x + iy de módulo 5 
2y + 5 = 0. 
A soma das raízes da equação z3 + z2 – |z|2 + 2z = 0, z ∈ C, 
d) 1 e) 2 
Dentre os números complexos z = a + bi, não nulos, que 
/4, aquele cuja representação geométrica está so-
 d) i22 + e) i22 +− 
é a unidade imaginária, então∑
=
50
1n
ni vale: 
d) -1 + i e) -1 – i. 
Sendo p e q números reais tais que pi/2 < p + q < pi, e i a 
complexos z1 = sen (p + q) + [log(p – q)]i e 
são iguais, então q é igual a: 
6
 d)
12
65 −pi
 e)
15
65 −pi
 
27. (PUC-Camp) Seja o número complexo z =
i1
i4
+
. A forma trigonométrica de z é:
 
a) 22 cispi/4 b) 22 cis7pi/4 c) 4 cispi/4 d) 2 cis
 
28. (Unirio) Se z1 e z2‚ são números complexos representadospelos seus 
afixos no Plano de Argand-Gauss a seguir, então z3 = z
trigonométrica é: 
 
a) 2 (cis 225°) 
b) 2 (cis 315°) 
c) 22 (cis 45°) 
d) 22 (cis 135°) 
e) 22 (cis 225°) 
 
29. (Acafe-SC) O determinante da matriz






=
z3z2
zz
A onde: 
 
a) 4i b) -4i c) 4 d) -4 – 4i 
 
30. (Cesgranrio) O menor inteiro n > 0, de modo que
positivo, é: 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 
 
31. (Cesgranrio) Dentre os complexos abaixo, aquele que é uma raiz qu
drada de 
2
3i1+− é: 
 
a) –1/2 + i/2 b) 1/2 – i/2 c) 1/2 + i/2 d)1/2 + i 2/3
 
32. (UFG) Representando, no plano, as raízes complexas da equação z
obtém um triângulo. Calcule a área desse triângulo. 
 
33. (UFRS) O polígono ABCDE da figura é um pentágono regular inscrito no 
círculo unitário de centro na origem. As coordenadas polares 
ce A são, respectivamente: 
 
a) 1 e pi/5 
b) 1 e pi/6 
c) 1 e pi/8 
d) 1 e pi/10 
e) 1 e pi/12 
 
34. (FMTM-MG) No plano complexo, o número z tem o argumento dado por 
θ = pi/8. O número complexo w, dado por 1/z3, tem argumento igual a:
 
a) 8pi/3 b) 13pi/8 c) 3pi d) 19pi/3 
 
35. (UFCE) Sabendo que i2 = −1 e que 0 < θ < pi/2, o número complexo 
θ−θ
θ+θ
isencos
isencos
 é igual a: 
 
a) cos(2θ) + isen(2θ) c) cos(θ/2) + isen(θ/2) 
b) 
i1
i1
−
+
 d) 
i1
i1
+
−
 
 
36. (UFU-MG) Tome um número complexo z1 com módulo 1 e a partir dele 
construa uma seqüência ordenada de números complexos z
qual zk + 1 é obtido, girando zk 105º no sentido anti-horário, para todo k 
O menor valor de n > 1 tal que a representação geométrica de z
com a de z1 é igual a: 
 
a) 26 b) 24 c) 23 d) 25 
 
37. (UEL-PR) A potência (cos 60º + i sen 60º)601 é igual a:
 
a) ( ) 3i1 
2
1
−
 b) ( ) 3i1
2
1 +− c) ( ) 3i1 
2
1 + d) (
2
1
 
38. (UniRio) Uma das raízes cúbicas de um complexo é 2(cis 300°). Dete
mine o conjugado da soma das outras raízes. 
 
39. (UFU-MG) Seja o número complexo z = cos15º + isen15º, onde i
Se w é um outro número complexo tal que |w| = |z| = |z 
possível para w nessas condições é: 
 
a) w = cos315º + isen315º c) w = cos165º + isen165º
b) w = cos60º + isen60º d) w = cos225º + isen225º
 
 
 
. A forma trigonométrica de z é: 
cis3pi/4 e) 2 cis7pi/4 
‚ são números complexos representados pelos seus 
= z1.z2‚ escrito na forma 
onde: z = 2cis 3pi/4, é: 
 e) 4 + 4i 
modo que
n
 i
2
1
2
3
 








+ seja real 
e) 12 
Dentre os complexos abaixo, aquele que é uma raiz qua-
2 e) 1/2 – i 2/3 
Representando, no plano, as raízes complexas da equação z3 + 8 = 0, 
O polígono ABCDE da figura é um pentágono regular inscrito no 
As coordenadas polares ρ e θ do vérti-
No plano complexo, o número z tem o argumento dado por 
, tem argumento igual a: 
e) 25pi/8 
/2, o número complexo 
e) cos(θ2) + isen(θ2) 
com módulo 1 e a partir dele 
construa uma seqüência ordenada de números complexos z1, z2, z3, …, na 
horário, para todo k ≥ 1. 
O menor valor de n > 1 tal que a representação geométrica de zn coincida 
é igual a: 
)i3 + e) ( ) i3
2
1
−
 
Uma das raízes cúbicas de um complexo é 2(cis 300°). Deter-
Seja o número complexo z = cos15º + isen15º, onde i2 = -1. 
Se w é um outro número complexo tal que |w| = |z| = |z – w|, então um valor 
w = cos165º + isen165º 
w = cos225º + isen225º 
40. (Fuvest-SP) Dentre todos os complexos, z = |z| (cos 
que satisfazem a inequação |z – 25i| ≤
argumento θ. 
 
41. (Unicamp) Um número complexo z = x + iy, z 
forma trigonométrica: z = |z|(cosθ + i sen
números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o 
cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula 
de Moivre: [ ] |)isen(cos|z| k=θ+θ
todo k ∈ Z. Use essas informações para:
 
a) Calcular ( )12i3 + 
b) Sendo
2
2
i
2
2
z += , calcular o valor de 1 + z + z
 
42. (Unicamp) Um triângulo eqüilátero, inscrito em uma 
centro na origem, tem como um de seus vértices o ponto do plano associ
do ao número complexo i3 + . 
a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do 
mesmo triângulo? Faça a figura desse triângulo.
b) Qual a medida do lado desse triângulo?
 
43. (UFSC) Dado o número complexo 
valor z6 – 2z3. 
 
44. (Med. Santo André-SP) Os números complexos z tais que z
 
a) i
2
2
2
2
−− e i
2
2
2
2 + 
b) i
2
2
2
2 +− e i
2
2
2
2
− 
c) i
2
2
2
2 + e i
2
2
2
2
− 
 
45. (Santa Casa-SP) Se 34x3 +=
 
a) 2 [cos (30º + k.100º) + i.sen (30º + 150º.k)
b) 3 4 [cos (60º + k.120º) + i.sen (60º + k.120º)]
c) 3 3 [cos ( )
3
k2
18
pipi + + i.sen ( 2
18
pi +
d) 2 [cos ( )
3
k2
18
pipi + + i.sen ( )
3
k2
18
pipi +
e) 2 [sen ( )
3
k2
18
pipi + + i.cos ( )
3
k2
18
pipi +
 
46. (EFEI-MG) Dois corpos C1 e C2 estão em movimento. A trajetória descr
ta pelo corpo C1 é dada pela equação |z + 4 
z = x + yi, com {x, y} ⊂ IR e i2 = -1. O corpo C
tindo da origem O do sistema cartesiano e atingindo o corpo C
estiver o mais distante possível da origem. Qual é a equação da trajetória, 
no plano cartesiano, descrita pelo corpo C
 
47. (UERJ) As seis soluções da equação z
plexos que possuem módulos iguais e argumentos distintos.
θ, em radianos, de uma dessas soluções pertence ao intervalo 
termine a medida de θ. 
 
48. (UNIFEI-MG) Represente no plano complexo a região que satisfaz a 
nequação |z| < |2z + 1|, onde z = x + yi, i
 
 
GABARITO
 
01. C 02. A 03. B 04. C 05.
10. C 11. A 12. A 13. A 14.
15. a) S1 {(x, y) ∈ R² | x² + y² = 4} e S
b) (0, 2), (0, -2), (2, 0) e (-2, 0) 16. 20
19. D 20. 3 + 2i e -3 + 2i 21. 
25. D 26. D 27. A 28. E 29. 
34. B 35. A 36. D 37. C 38.
41. a) 4096 b) zero 42. a) 3-
44. A 45. D 46. y = -1,5x 47.
rência de centro (-2/3, 0) e raio 1/3. 
 
Dentre todos os complexos, z = |z| (cos θ + i sen θ), 0 ≤ θ ≤ 2pi 
≤ 15, determinar aquele que tem o menor 
Um número complexo z = x + iy, z ≠ 0, pode ser escrito na 
+ i senθ). Essa forma de representar os 
nulos é muito conveniente, especialmente para o 
cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula 
)isenkk(cos|z k θ+θ que é válida para 
Z. Use essas informações para: 
, calcular o valor de 1 + z + z2 + z3 +...+ z15. 
Um triângulo eqüilátero, inscrito em uma circunferência de 
centro na origem, tem como um de seus vértices o ponto do plano associa-
Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do 
mesmo triângulo? Faça a figura desse triângulo. 
medida do lado desse triângulo? 
Dado o número complexo ( )
44
sen icos.2z pipi += , determine o 
Os números complexos z tais que z2 = i, são: 
d) i
2
2
2
2 + e i
2
2
2
2 +− 
e) i
2
2
2
2
−− e i
2
2
2
2
− 
i4+ , x é dado por: 
(30º + 150º.k)] 
(60º + k.120º)] 
)
3
k2 pi ] 
) ] 
) ] 
estão em movimento. A trajetória descri-
é dada pela equação |z + 4 – 6i| = 2, com z ∈ C; sendo 
1. O corpo C2 é lançado em linha reta par-
tindo da origem O do sistema cartesiano e atingindo o corpo C1 quando este 
estiver o mais distante possível da origem. Qual é a equação da trajetória, 
ta pelo corpo C2? 
As seis soluções da equação z6 + z3 + 1 = 0 são números com-
plexos que possuem módulos iguais e argumentos distintos. O argumento 
, em radianos, de uma dessas soluções pertence ao intervalo ]pi/2, pi[. De-
Represente no plano complexo a região que satisfaz a i-
z = x + yi, i2 = -1. 
GABARITO 
05. E 06. D 07. D 08. B09. A 
14. a)








−
−
− i
2
1
2
3
;i
2
1
2
3
;i;0 
x² + y² = 4} e S2 {(x, y) ∈ R² | x = 0 ou y = 0} 
20 17. A 18. a) 5 e -7 + 1 b) 7 
. -1 + i 22. –5 e 3 + 4i 23. A 24. A 
 B 30. E 31. D 32. 33 33. D 
i 31−− 39. A 40. z = 12 + 16i 
+ i b) 32 43. i)6424(24- −+ 
47. 8pi/9 48. Região exterior à circunfe-