lagrange

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Cálculo para Engenharia
MULTIPLICADORES
DE
LAGRANGE
1
Multiplicadores de Lagrange
Introduc¸a˜o
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Multiplicadores de Lagrange com uma restric¸a˜o
Exercı´cio
Minimizar a func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 dada a restric¸a˜o x+ y + z = 9
Resposta
Ja´ nos foram informadas a nossa func¸a˜o e a nossa restric¸a˜o, que chamaremos de g (esta e´ uma nomencla-
tura tipicamente utilizada em livros de Ca´lculo). Comec¸aremos pelo ca´lculo dos gradientes destas func¸o˜es.
∇f (x, y, z) = 〈fx, fy, fz〉 = 〈2x, 2y, 2z〉
∇g (x, y, z) = 〈gx, gy, gz〉 = 〈1, 1, 1〉
Agora que temos nossos vetores gradiente, precisamos resolver o seguinte sistema:{
∇f (x, y, z) = λ∇g (x, y, z)
x+ y + z = 9
dado que a restric¸a˜o deve sempre fazer parte deste sistema. Substituindo os vetores gradiente,{
〈2x, 2y, 2z〉 = λ 〈1, 1, 1〉
x+ y + z = 9
{
〈2x, 2y, 2z〉 = 〈λ, λ, λ〉
x+ y + z = 9
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2
Devemos desmembrar a primeira equac¸a˜o em outras treˆs, da seguinte forma:
2x = λ
2y = λ
2z = λ
x+ y + z = 9
E a resoluc¸a˜o deste sistema na˜o e´ das mais difı´ceis: basta perceber que x = y = z =
λ
2
e substituir essa
informac¸a˜o na u´ltima equac¸a˜o.
λ
2
+
λ
2
+
λ
2
= 9
3λ
2
= 9 ⇒ λ
= 6
Isso faz com que x = y = z = 3 e que nosso ponto de mı´nimo seja
f(3, 3, 3) = 32 + 32 + 32 = 27
Introduc¸a˜o (descric¸a˜o Youtube) Neste segundo exemplo de Multiplicadores de Lagrange vamos resolver
um exercı´cio um pouco mais difı´cil que o primeiro: neste caso teremos que escrever todas as varia´veis em
func¸a˜o de λ e encontrar os valores para x, y e para z.
Exercı´cio Determine os valores extremos da func¸a˜o f(x, y, z) = 2x+2y+z sujeita a` restric¸a˜o x2+y2+z2 =
9
Resposta Calculando os gradientes das func¸o˜es f e g temos
∇f(x, y, z) = 〈2, 2, 1〉
∇g(x, y, z) = 〈2x, 2y, 2z〉
Agora ja´ estamos prontos para montar nosso sistema.{
〈2, 2, 1〉 = λ〈2x, 2y, 2z〉
x2 + y2 + z2 = 9
Reescrevendo a primeira equac¸a˜o igualando as componentes dos vetores, teremos treˆs novas equac¸o˜es,
da seguinte forma: 
2 = 2λx
2 = 2λy
1 = 2λz
x2 + y2 + z2 = 9
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3
Fica claro neste exemplo que nenhuma das varia´veis, nem mesmo λ, pode ser nulo. Se isso fosse ver-
dadeiro, terı´amos equac¸o˜es inconsistentes como 2 = 0. Sabendo que λ 6= 0, reesscreveremos x, y e z em
termos de λ.
x =
1
λ
y =
1
λ
z =
2
λ
Sendo assim, substituindo estas varia´veis na u´ltima equac¸a˜o,(
1
λ
)2
+
(
1
λ
)2
+
(
1
2λ
)2
= 9
9
4λ2
= 9
λ2 =
1
4
λ = ±1
2
As possı´veis respostas sa˜o enfim
λ =
1
2
⇒ x = 2 y = 2 z = 1
λ = −1
2
⇒ x = −2 y = −2 z = −1
E os pontos encontrados f(2, 2, 1) = 9 (ma´ximo) e f(−2,−2,−1) = −9 (mı´nimo).
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Multiplicadores de Lagrange com duas restric¸o˜es
Exercı´cio
Maximizar a func¸a˜o f(x, y, z) = xyz dadas as restric¸o˜es x+ y + z = 32 e x− y + z = 0.
Resposta
Primeiramente, vamos organizar as nossas restric¸o˜es. No´s temos os seguintes dados do problema:
g (x, y, z) = x+ y + z = 32h (x, y, z) = x− y + z = 0
E´ conveniente, nesta hora, calcular os gradientes das func¸o˜es f , g e h.
∇f (x, y, z) = 〈fx, fy, fz〉 = 〈yz, xz, xy〉
∇g (x, y, z) = 〈gx, gy, gz〉 = 〈1, 1, 1〉
∇h (x, y, z) = 〈hx, hy, hz〉 = 〈1,−1, 1〉
Agora que ja´ temos os vetores gradiente, vamos montar o nosso sistema, levando em considerac¸a˜o que
as restric¸o˜es devem ser inseridas neste sistema

∇f (x, y, z) = λ · ∇g (x, y, z) + µ∇h (x, y, z)
x+ y + z = 32
x− y + z = 0

〈yz, xz, xy〉 = λ 〈1, 1, 1〉+ µ 〈1,−1, 1〉
x+ y + z = 32
x− y + z = 0
Abrindo a primeira equac¸a˜o em treˆs outras, no´s temos que
yz = λ+ µ
xz = λ− µ
xy = λ+ µ
x+ y + z = 32
x− y + z = 0
Agora devemos usar todo nosso poder de observac¸a˜o e raciocı´nio lo´gico para resolver o sistema, afinal
trata-se de um sistema nada fa´cil com 5 equac¸o˜es e 5 varia´veis.
Considere as equac¸o˜es (I) e (III): nelas, dado que o lado a` direita de ambas e´ igual, podemos igualar
yz = xy. Dividindo a equac¸a˜o toda por y, podemos concluir que x = z. Talvez voceˆ estranhe o fato de
termos dividido a equac¸a˜o por y, pore´m podemos fazer isso pois
y
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5
na˜o pode ser zero. E porque y na˜o pode ser zero? Porque isso faria com que as equac¸o˜es (IV) e (V) fossem
contradito´rias.
Continuando, podemos somar as equac¸o˜es (IV) e (V), obtendo 2x+2z = 32, o que equivale a x+z = 16.
Sendo assim, dado que x = z e que x+ z = 16 descobrimos que x = z = 8.
Jogando na equac¸a˜o (IV) do sistema, encontramos y = 16.
O valor ma´ximo da func¸a˜o ocorre enta˜o no ponto (8, 16, 8) e seu valor e´ f(8, 16, 8) = 1024.
Introduc¸a˜o (descric¸a˜o Youtube) Vamos analisar o segundo exemplo de Multiplicadores de Lagrange
com duas restric¸o˜es resolvendo um exercı´cio relativamente difı´cil. Aqui, os ca´lculos sera˜o trabalhosos e
teremos que lidar com as duas restric¸o˜es do problema!
Exercı´cio (descric¸a˜o Youtube) Calcule o valor mı´nimo da func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujeita a`s
restric¸o˜es x+ 2y + 3z = 6 e x+ 3y + 9z = 9
Resposta Vamos iniciar, como de costume, pelo ca´lculo dos gradientes das func¸o˜es:
∇f(x, y, z) = 〈2x, 2y, 2z〉
∇g(x, y, z) = 〈1, 2, 3〉
∇h(x, y, z) = 〈1, 3, 9〉
Agora que ja´ temos os vetores gradiente de f , g e de h, montaremos o sistema de equac¸o˜es.
〈2x, 2y, 2z〉 = λ〈1, 2, 3〉+ µ〈1, 3, 9〉
x+ 2y + 3z = 6
x+ 3y + 9z = 9

〈2x, 2y, 2z〉 = 〈λ+ µ, 2λ+ 3µ, 3λ+ 9µ〉
x+ 2y + 3z = 6
x+ 3y + 9z = 9
Reescrevendo a primeira linha do sistema como treˆs outras equac¸o˜es (igualando as coordenadas dos
vetores), temos que 
2x = λ+ µ
2y = 2λ+ 3µ
2z = 3λ+ 9µ
x+ 2y + 3z = 6
x+ 3y + 9z = 9
A maneira como resolvemos o sistema esta´ em substituir x, y e z, todos eles em func¸a˜o de λ e µ, nas treˆs
u´ltimas equac¸o˜es.
x =
λ+ µ
2
y = λ+
3µ
2
z =
3λ+ 9µ
2
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6

λ+ µ
2
+ (2λ+ 3µ) +
3
2
(3λ+ 9µ) = 6
λ+ µ
2
+
3
2
(2λ+ 3µ) +
9
2
(3λ+ 9µ) = 9
Avaliando o sistema, encontramos os seguintes valores para λ e para µ:
λ =
240
59
µ = −78
59
Os valores das varia´veis x, y e de z tornam-se enta˜o
x =
λ+ µ
2
=
81
59
y =
2λ+ 3µ
2
=
123
59
z =
3λ+ 9µ
2
=
9
59
Sendo assim, o valor mı´nimo de f(x, y, z) e´ dado por
f
(
81
59
,
123
59
,
9
59
)
=
369
59
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Multiplicadores de Lagrange em regio˜es fechadas
Descric¸a˜o (Introduc¸a˜o Youtube) Ja´ vimos va´rios exemplos de resoluc¸a˜o de problemas de otimizac¸a˜o com
restric¸o˜es sendo resolvidos por Multiplicadores de Lagrange. Mas e quando a restric¸a˜o e´ dada atrave´s de
uma inequac¸a˜o?
Como voceˆ vera´ adiante, nestes casos devemos separar o problema na ana´lise da fronteira, que deve
ser resolvida por Multiplicadoresde Lagrange, e na ana´lise da regia˜o interna, que deve ser resolvida pelas
ana´lises das derivadas de primeira e de segunda ordem da func¸a˜o f dada.
O problema e´ longo, enta˜o vamos comec¸ar logo!
Exercı´cio
Encontre os valores extremos da func¸a˜o f(x, y) = x2 + 3xy + y2 na regia˜o descrita pela inequac¸a˜o
x2 + y2 ≤ 1
Resposta
Comec¸aremos pela ana´lise da fronteira, por Multiplicadores de Lagrange. Aqui, no´s teremos g(x, y) =
x2 + y2 = 1. Montando os vetores gradiente,
∇f (x, y) = 〈fx, fy〉 = 〈2x+ 3y, 3x+ 2y〉
∇g (x, y) = 〈gx, gy〉 = 〈2x, 2y〉
ja´ podemos substituir no nosso sistema.{
〈2x+ 3y, 3x+ 2y〉 = λ 〈2x, 2y〉
x2 + y2 = 1
{
〈2x+ 3y, 3x+ 2y〉 = 〈2λx, 2λy〉
x2 + y2 = 1

2x+ 3y = 2λx
3x+ 2y = 2λy
x2 + y2 = 1
Para resolver o sistema acima, podemos isolar λ nas primeiras duas equac¸o˜es e verificar que x2 = y2:
λ = 1 +
3y
2x
=
3x
2y
+ 1
6y2 = 6x2
y2 = x2
Utilizando a equac¸a˜o de nu´mero (III),
x2 + x2 = 1 ∴ x = ± 1√
2
=
√
2
2
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8
Ao substituir o valor de x na terceira equac¸a˜o novamente, descobrimos que y = ±
√
2
2
. Ou seja, temos
ate´ o momento quatro pontos possı´veis:
f
(√
2
2
,
√
2
2
)
=
5
2
f
(√
2
2
,−
√
2
2
)
= −1
2
f
(
−
√
2
2
,
√
2
2
)
= −1
2
f
(
−
√
2
2
,−
√
2
2
)
=
5
2
Passaremos agora para a ana´lise da regia˜o interna de x2 + y2 ≤ 1. Aqui, no´s devemos utilizar as
derivadas parciais de f e iguala´-las a zero, encontrando possı´veis pontos de ma´ximo e/ou mı´nimo. A
classificac¸a˜o deste ponto fica por conta da ana´lise da segunda derivada.
Resolvendo o sistema abaixo, encontramos
{
fx = 0
fy = 0
{
2x+ 3y = 0
3x+ 2y = 0
Dado que y = −2x
3
,
3x+ 2
(
−2x
3
)
= 0
3x− 4x
3
= 0
5x
3
= 0
x = 0
Sendo x = 0 enta˜o y = 0 tambe´m. Calculando a derivada parcial de segunda ordem de f no ponto
encontrado, 
fxx = 2
fyy = 2
fxy = 3
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9
D = fxx · fyy − (fxy)2 = −5
Finalmente, analisando todos os pontos encontrados, verificamos que os mı´nimos globais sa˜o
f
(√
2
2
,−
√
2
2
)
= −1
2
f
(
−
√
2
2
,
√
2
2
)
= −1
2
e os ma´ximos globais
f
(√
2
2
,
√
2
2
)
=
5
2
f
(
−
√
2
2
,−
√
2
2
)
=
5
2
sendo que f(0, 0) = 0 e´ um ponto de mı´nimo local.
Exercı´cios nı´vel HARD
Introduc¸a˜o (descric¸a˜o Youtube) Vamos analisar agora um problema relativamente complexo de Multi-
plicadores de Lagrange. Neste caso, devemos analisar ramificac¸o˜es de possı´veis respostas. Na˜o sabe o que
e´ isso? Vem com a gente que a gente te explica!
Exercı´cio Utilize Multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores de ma´ximo e de mı´nimo da
func¸a˜o f(x, y, z) = xyz sujeita a` restric¸a˜o x2 + 2y2 + 3z2 = 6
Resposta Comec¸aremos, como sempre, pela ca´lculo do gradiente de f e de g:
∇f (x, y, z) = 〈fx, fy, fz〉 = 〈yz, xz, xy〉
∇g (x, y, z) = 〈gx, gy, gz〉 = 〈2x, 4y, 6z〉
Agora ja´ podemos proceder para a montagem do nosso sistema.{
〈yz, xz, xy〉 = λ 〈2x, 4y, 6z〉
x2 + 2y2 + 3z2 = 6
{
〈yz, xz, xy〉 = 〈2λx, 4λy, 6λz〉
x2 + 2y2 + 3z2 = 6
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Reescrevendo a primeira equac¸a˜o em treˆs outras,
yz = 2λx
xz = 4λy
xy = 6λz
x2 + 2y2 + 3z2 = 6
A estrate´gia aqui pode parecer confusa mas nos ajudara´ bastante: multiplicar a primeira linha inteira
do sistema por x, a segunda por y e a terceira por z, da seguinte forma:
xyz = 2λx2
xyz = 4λy2
xyz = 6λz2
x2 + 2y2 + 3z2 = 6
Dado que o lado esquerdo das treˆs primeiras equac¸o˜es sa˜o iguais, os lados da direita tambe´m sa˜o. Sendo
assim, podemos dizer que 2λx2 = 4λy2 = 6λz2 ou λx2 = 2λy2 = 3λz2. Dado que λ na˜o pode ser nulo (isso
faria com que tanto x quanto y e z fossem nulos) no´s temos que x2 = 2y2 = 3z2. Utilizando a u´ltima
equac¸a˜o do sistema,
x2 + 2y2 + 3z2 = 6
x2 + x2 + x2 = 6
3x2 = 6
x = ±
√
2
Temos dois valores possı´veis para x. Analisando x =
√
2,
x2 = 2y2
2 = 2y2
y = ±1
portanto dois valores possı´veis tambe´m para y. Analisando agora a varia´vel z,
x2 = 3z2
2 = 3z2
z = ±
√
2
3
Mais dois valores! Deu pra notar que aqui temos oito respostas fazendo a combinac¸a˜o de cada um dos
valores possı´veis destas varia´veis.
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As soluc¸o˜es sa˜o
f
(√
2, 1,
√
2
3
)
=
2√
3
f
(√
2, 1,−
√
2
3
)
= − 2√
3
f
(√
2,−1,
√
2
3
)
= − 2√
3
f
(√
2,−1,−
√
2
3
)
=
2√
3
f
(
−
√
2, 1,
√
2
3
)
= − 2√
3
f
(
−
√
2, 1,−
√
2
3
)
=
2√
3
f
(
−
√
2,−1,
√
2
3
)
=
2√
3
f
(
−
√
2,−1,−
√
2
3
)
= − 2√
3
Sendo assim, o ma´ximo
2√
3
ocorre quando todas as coordenadas sa˜o positivas ou quando duas coorde-
nadas sa˜o negativas, e o mı´nimo − 2√
3
ocorre quando uma ou treˆs coordenadas sa˜o negativas.
Introduc¸a˜o (descric¸a˜o Youtube) Mais um exercı´cio de Multiplicadores de Lagrange com duas restric¸o˜es,
e ja´ te aviso que este sera´ bem mais difı´cil que o primeiro! Mas na˜o tenha medo, te acompanho durante
todo o caminho! Bora!
Exercı´cio Encontre os extremos da func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujeita a`s restric¸o˜es x − y = 1 e
y2 − z2 = 1
Resposta Calculando o vetor gradiente das func¸o˜es dadas,
∇f (x, y, z) = 〈fx, fy, fz〉 = 〈2x, 2y, 2z〉∇g (x, y, z) = 〈gx, gy, gz〉 = 〈1,−1, 0〉∇h (x, y, z) = 〈hx, hy, hz〉 = 〈0, 2y,−2z〉
Montaremos agora o sistema de equac¸o˜es, ja´ com as duas restric¸o˜es ao final dele:
〈2x, 2y, 2z〉 = λ 〈1,−1, 0〉+ µ 〈0, 2y,−2z〉
x− y = 1
y2 − z2 = 1
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
〈2x, 2y, 2z〉 = 〈λ,−λ, 0〉+ 〈0, 2µy,−2µz〉
x− y = 1
y2 − z2 = 1
Reescrevendo a primeira equac¸a˜o do sistema, temos
2x = λ
2y = −λ+ 2µy
2z = −2µz
x− y = 1
y2 − z2 = 1
Observando a terceira equac¸a˜o podemos dizer que ou z = 0 ou enta˜o µ = −1.
Caso z = 0 Se z = 0 enta˜o y = ±1 (equac¸a˜o V). Vamos quebrar enta˜o este caso em dois outros.
Se y = 1, teremos x = 2 (equac¸a˜o IV), λ = 4 (equac¸a˜o I)e µ = 3 (equac¸a˜o II). Daqui retiramos o ponto
(2, 1, 0)
Se y = −1 enta˜o x = 0 (equac¸a˜o IV), λ = 0 (equac¸a˜o I) e µ = 1 (equac¸a˜o III). Daqui retiramos o ponto
(0,−1, 0)
Caso µ = −1 Aqui no´s podemos reescrever o sistema da seguinte forma:
2x = λ
4y = −λ
x− y = 1
y2 − z2 = 1
Substituindo as equac¸o˜es (I) e (II) na equac¸a˜o (III) encontramos
λ
2
−
(
−−λ
4
)
= 1
2λ+ λ
4
= 1
λ =
4
3
Ou seja, x =
2
3
e y = −1
3
. Substituindo o valor de y na equac¸a˜o (IV),(
−1
3
)2
− z2 = 1
z2 = −1 + 1
9
z2 = −8
9
o que e´ impossı´vel. Sendo assim, finalizando, encontramos o ponto de ma´ximo f(2, 1, 0) = 5 e o mı´nimo
f(0,−1, 0) = 1.
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Resuma˜o
Teorema de Lagrange
Considere as func¸o˜es f e g com derivadas parciais contı´nuas de forma que f possui um ma´ximo ou de
mı´nimo no ponto (x0, y0) da curva g(x, y) = c. Se∇g(x0, y0) 6= 0, enta˜o existe um nu´mero real λ tal que
∇f(x0, y0) = λ · ∇g(x0, y0)
O mesmo pode ser dito quando lidamos com problemas em treˆs varia´veis: x, y e z.
Multiplicadores de Lagrange com uma restric¸a˜o
Dado que f e g satisfazem as hipo´teses do Teorema de Lagrange e que f assume um ma´ximo ou mı´nimo
quando considerada a restric¸a˜o g(x, y) = c, para encontrar estes extremos realizamos dois passos:
1. Resolvemos simultaneamente as equac¸o˜es{
∇f(x, y) = λ · ∇g(x, y)
g(x, y) = c
o que pode ser reescrito da seguinte forma:
fx = λ · gx
fy = λ · gy
g(x, y) = c
onde fx e fy sa˜o as derivadas parciais de f com relac¸a˜o a x e a y, respectivamente, e gxe gy sa˜o as
derivadas parciais de g com relac¸a˜o a x e a y, respectivamente.
2. Calculamos os valores encontrados no item anterior na func¸a˜o f dada, sendo que o maior valor resul-
tara´ em um ma´ximo local, e o menor valor em um mı´nimo local.
O mesmo pode ser aplicado no caso de treˆs varia´veis.
Multiplicadores de Lagrange com duas restric¸o˜es
Dado que f , g e h satisfazem as hipo´teses do Teorema de Lagrange e que f assume um ma´ximo ou
mı´nimo quando consideradas as restric¸o˜es g(x, y) = c e h(x, y) = k, para encontrar estes extremos realiza-
mos dois passos:
1. Resolvemos simultaneamente as equac¸o˜es
∇f(x, y) = λ · ∇g(x, y) + µ · ∇h(x, y)
g(x, y) = c
h(x, y) = k
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o que pode ser reescrito da seguinte forma:

fx = λ · gx + µ · hx
fy = λ · gy + µ · hy
g(x, y) = c
h(x, y) = k
onde fx e fy sa˜o as derivadas parciais de f com relac¸a˜o a x e a y, respectivamente, gx e gy sa˜o as
derivadas parciais de g com relac¸a˜o a x e a y, respectivamente e hx e hy sa˜o as derivadas parciais de h
com relac¸a˜o a x e a y, respectivamente
2. Calculamos os valores encontrados no item anterior na func¸a˜o f dada, sendo que o maior valor resul-
tara´ em um ma´ximo local, e o menor valor em um mı´nimo local.
O mesmo pode ser aplicado no caso de treˆs varia´veis.
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Exercı´cios
1. Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores de ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o f
sujeita a` restric¸a˜o dada:
(a) f(x, y) = x+ y
Restric¸a˜o: x2 + y2 = 1
(b) f(x, y) =
√
6− x2 − y2
Restric¸a˜o: x+ y − 2 = 0
(c) f(x, y) = x2 + y2
Restric¸a˜o: xy = 1
(d) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
Restric¸a˜o: x4 + y4 + z4 = 1
(e) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2
Restric¸a˜o: x+ 2z = 4
2. Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores de ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o f
sujeita a`s restric¸o˜es dadas:
(a) f(x, y, z) = x2 + 2y − z2
Restric¸o˜es: 2x− y = 0 y + z = 0
(b) f(x, y, z) = xyz
Restric¸o˜es: x+ y + z = 32 x− y + z = 0
(c) f(x, y, z) = xy + yz
Restric¸o˜es: x+ 2y − 6 = 0 x− 3z = 0
(d) f(x, y, z) = x+ 2y
Restric¸o˜es: x+ y + z = 1 y2 + z2 = 4
3. Encontre os valores extremos de f na regia˜o descrita pela inequac¸a˜o:
(a) f(x, y) = 4x2 + 10y2 na regia˜o x2 + y2 ≤ 4
(b) f(x, y) = x2 + 3xy + y2 na regia˜o x2 + y2 ≤ 1
(c) f(x, y) = e−xy na regia˜o x2 + 4y2 ≤ 1
4. Um conteˆiner de transporte de carga (em formato de paralelepı´pedo) deve possuir o volume de
480 ft3. A base deste conteˆiner possui um custo de fabricac¸a˜o de $5 por ft2 e os lados e topo $3
por ft2. Utilizando Multiplicadores de Lagrange, determine as dimenso˜es do conteˆiner de modo a
minimizar seu custo de fabricac¸a˜o.
5. Utilizando o me´todo dos Multiplicadores de Lagrange encontre as dimenso˜es do retaˆngulo com maior
a´rea que pode ser inscrito na elipse
x2
16
+
y2
9
= 1
com lados paralelos aos eixos coordenados.
6. Utilizando Multiplicadores de Lagrange encontre as dimenso˜es de um cilindro circular reto com vo-
lume V0 e a´rea de superfı´cie mı´nima.
7. Encontre o ponto mais pro´ximo da origem pertencente a` reta formada pela intersecc¸a˜o entre os planos
y + 2z = 12 e x+ y = 6.
8. Encontre o volume da maior caixa retangular, localizada no primeiro octante cujas faces pertencem
aos planos coordenados, que possui um de seus ve´rtices no plano x+ 2y + 3z = 6
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Respostas
1. (a) Ma´ximo: f
(
1√
2
,
1√
2
)
=
√
2
Mı´nimo: f
(
− 1√
2
,− 1√
2
)
= −
√
2
(b) Ma´ximo: f(1, 1) = 2
(c) Mı´nimo: f(1, 1) = f(−1,−1) = 2
(d) Caso 1: se x 6= 0, y 6= 0 e z 6= 0
f
(
± 1
4
√
x
,
1
4
√
3
,
1
4
√
3
)
= f
(
± 1
4
√
x
,− 1
4
√
3
,
1
4
√
3
)
=
= f
(
± 1
4
√
x
,
1
4
√
3
,− 1
4
√
3
)
= f
(
± 1
4
√
x
,− 1
4
√
3
,− 1
4
√
3
)
=
√
3
Caso 2: se uma das varia´veis e´ nula e as outras duas na˜o sa˜o, o quadrado destas duas varia´veis
sera´ igual a
1√
2
e o valor de f sera´
√
2.
Caso 3: Se exatamente duas varia´veis forem nulas, o valor da terceira varia´vel sera´ de ±1, com
um valor correspondente da func¸a˜o f de 1.
Sendo assim, o valor ma´ximo que a func¸a˜o assume e´
√
3 e o valor mı´nimo 1.
(e) Mı´nimo: f
(
−4
3
, 0,
8
3
)
= −16
3
2. (a) Ma´ximo: f
(
2
3
,
4
3
,−4
3
)
=
4
3
(b) Ma´ximo: f(8, 16, 8) = 1024
(c) Ma´ximo: f
(
3,
3
2
, 1
)
= 6
(d) Ma´ximo: f(1,
√
2,−
√
2) = 1 + 2
√
2
Mı´nimo: f(1,−
√
2,
√
2) = 1− 2
√
2
3. (a) Ma´ximos globais: f(0, 2) = f(0,−2) = 40
Mı´nimo global: f(0, 0) = 0
(b) Ma´ximos globais: f
(√
2
2
,
√
2
2
)
=
(
−
√
2
2
,−
√
2
2
)
=
5
2
Mı´nimos globais: f
(√
2
2
,−
√
2
2
)
=
(
−
√
2
2
,
√
2
2
)
= −1
2
Mı´nimo local: f(0, 0) = 0
(c) Ma´ximos globais: f
(
± 1√
2
,∓ 1
2
√
2
)
= e
1
4
Mı´nimos globais: f
(
± 1√
2
,± 1
2
√
2
)
= e−
1
4
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17
4. 3
√
360× 3
√
360× 4
3
3
√
360
5. Largura 4
√
2 e altura 3
√
2.
6. r = 3
√
V0
2pi
h = 2
3
√
V0
2pi
7. P = (2, 4, 4)
8. V =
4
3
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