Aula 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

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Aula 1
Conjuntos Numéricos
Conjuntos numéricos
• Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são
os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto:
ℕ = {1,2,3, … }
• Os números -1,-2,-3,... são chamados inteiros negativos. A união do
conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0)
define o conjunto dos números inteiros que são denotados por:
ℤ = 0,±1,±2,±3,…
• Os números da forma
𝑚
𝑛
, n ≠ 0,𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, são chamados de frações e
formam o conjunto dos números racionais. Denota-se
ℚ =
𝑚
𝑛
, n ≠ 0,𝑚, 𝑛 ∈ ℤ
• Finalmente encontramos números que não podem ser representados
na forma
𝑚
𝑛
, n ≠ 0,𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, tais como
2 = 1,414… , 𝜋 = 3,141592… , 𝑒 = 2,71…
Esses números formam o conjunto de números irracionais, denotado
por ℚ′ ou 𝕀.
• Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos
números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que é
denotado por:
ℝ = ℚ ∪ ℚ’
Axiomas da adição e da multiplicação
• No conjunto dos números reais introduzimos duas operações,
chamadas adição e multiplicação, que satisfazem os axiomas a seguir:
1. Fechamento: Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ, existe um e somente um número real
denotado por 𝑎 + 𝑏, chamado soma, e existe um e somente um
número real, denotado por 𝑎𝑏 (ou 𝑎 × 𝑏 , ou 𝑎 ∙ 𝑏 ), chamado
produto.
2. Comutatividade: Se 𝑎 e 𝑏 ∈ ℝ, então 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 e 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎.
3. Associatividade: Se 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 ∈ ℝ, então 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
e 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐.
4. Distributividade: Se 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 ∈ ℝ, então 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐
5. Existência de elemento neutro: Existem 0 e 1∈ ℝ, tais que 𝑎 + 0 =
𝑎 e 𝑎 ∙ 1 = 𝑎, para qualquer a ∈ ℝ.
6. Existência de simétricos: Todo a ∈ ℝ tem um simétrico, denotado
por −𝑎, tal que 𝑎 + (−𝑎) = 0.
7. Existência de inversos: Todo a ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, tem um inverso,
denotado por
1
𝑎
, tal que 𝑎 ∙
1
𝑎
= 1.
8. Subtração: Se 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, a diferença entre 𝑎 e 𝑏, é definida por 𝑎 −
𝑏 = 𝑎 + (−𝑏).
9. Divisão: Se 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, o quociente de 𝑎 e 𝑏 é definido por
Propriedades de Conjuntos
• Se todo elemento de um conjunto S for também elemento de um
conjunto T, então S será um subconjunto de T. Em cálculo estamos
interessados no conjunto ℝ dos números reais. Dois exemplos de
subconjuntos de ℝ são o conjunto ℕ dos naturais e ℤ dos inteiros.
• Vamos usar o símbolo ∈ para indicar que um determinado elemento
pertence a um conjunto. Assim, podemos por exemplo escrever, 8 ∈
ℕ e lemos: “8 é um elemento de ℕ”. A notação 𝑎, 𝑏 ∈ S indica que
ambos 𝑎 e 𝑏 são elementos de S. O símbolo ∉ indica “não é um
elemento de”. Assim, entendemos
1
2
∉ ℕ.
• Dois conjuntos A e B serão iguais, e escrevemos A = B, se A e B
tiverem elementos idênticos.
• A união de dois conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, que lemos “A
união B”, é o conjunto de todos os elementos que estão em A ou em
B, ou em ambos.
• A intersecção de A e B, denotada por A ∩ B, que lemos “A intersecção
B”, é o conjunto dos elementos que estão em A e B.
• O conjunto que não contém nenhum elemento é chamado de
conjunto vazio, sendo denotado por ∅.
Exemplo 1: Suponha A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {1, 4, 9, 16} e C = {2, 
10}. Então:
Exemplo 2: Sabendo que 𝐴 = 1, 2, 3, 4 , 𝐵 = {4, 5, 6} e 𝐶 =
1, 6, 7, 8, 9 , como será o conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶?
(a) 𝐴 ∪ 𝐵 Resp.: 1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16
(b) 𝐵 ∪ 𝐶 Resp.: 1, 2, 4, 9, 10, 16
(c) 𝐴 ∩ 𝐵 Resp.: 4
(d) 𝐵 ∩ 𝐶 Resp.: ∅
Desigualdades
• Axioma de ordem: No conjunto dos números reais existe um 
subconjunto denominado números positivos tal que:
1. Se a ∈ ℝ, uma das 3 afirmações é correta: a = 0; a é positivo; −a é 
positivo;
2. A soma de dois números positivos é positiva;
3. O produto de dois números positivos é positivo.
• Expressões que envolvem os símbolos definidos acima são chamadas de
desigualdades.
Definição: O número real a é negativo se e somente se −a é positivo.
Definição: Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos
como:
a < b ↔ b − a é positivo;
a > b ↔ a − b é positivo.
Definição: Os símbolos ≤ (menor ou igual que) e ≥ (maior ou igual que)
são definidos como:
a ≤ b ↔ a < b ou a=b;
a ≥ b ↔ a > b ou a=b.
• Propriedades: Sejam a, b, c e d ∈ ℝ, então:
1. Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑏 > 𝑐, então 𝑎 > 𝑐
2. Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 0, então 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
3. Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 < 0, então 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
4. Se 𝑎 > 𝑏, então 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 para todo real 𝑐
5. Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 𝑑, então 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑
6. Se 𝑎 > 𝑏 > 0 e 𝑐 > 𝑑 > 0, então 𝑎𝑐 > 𝑏𝑑
Valor absoluto
Interpretação geométrica: Geometricamente o valor absoluto de 𝑎,
também chamado de módulo de 𝑎, representa a distância entre 𝑎 e 0,
ou seja,
𝑎 = 𝑎²
Definição: O valor absoluto de 𝑎, denotado por 𝑎 , é definido como:
𝑎 = 𝑎, se 𝑎 ≥ 0
𝑎 = −𝑎, se 𝑎 < 0
• Propriedades: Sejam a, b, c e d ∈ ℝ, então:
1. 𝑥 < 𝑎 ↔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎, onde 𝑎 > 0
2. 𝑥 > 𝑎 ↔ 𝑥 > 𝑎 ou 𝑥 < −𝑎, onde 𝑎 > 0
3. Se 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, então |𝑎 ∙ 𝑏| = |𝑎| ∙ |𝑏|
4. Se 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0 então
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
5. Se 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, então 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 (Desigualdade triangular)
6. Se 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, então 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏
7. Se 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, então 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 − 𝑏
Intervalos
Definição: Intervalos são conjuntos infinitos de números reais, como segue:
• Intervalo aberto: {x / a < x < b} denota-se (a,b) ou ]a,b[ .
• Intervalo fechado: {x / a ≤ x ≤ b} denota-se [a,b].
• Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: {x / a < x ≤ b} denota-se
(a,b] ou ]a,b] .
• Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda: {x / a ≤ x < b} denota-se
[a,b) ou [a,b[ .
• Intervalos infinitos:
{x / x > a} denota-se (a,+ ∞) ou ]a,+ ∞[
{x / x ≥ a} denota-se [a,+∞) ou [a,+ ∞[
{x / x < b} denota-se (- ∞,b) ou ]- ∞,b[
{x / x ≤b} denota-se (- ∞,b] ou ]- ∞,b]
Exemplo: Considerando 𝑥 ∈ ℝ encontre o intervalo que descreve a solução das seguintes inequações:
(a) 2𝑥 + 1 ≤ 𝑥 + 6 −∞, 5 (i) −
1
2𝑥 − 7
< 0
7
2
,∞
(b) 2 − 3𝑥 ≥ 𝑥 + 14 −∞,−3 (j)
3 − 𝑥
2𝑥 − 1
≥ 0
1
2
, 3
(c) 2 𝑥 + 3 > 3 1 − 𝑥 −
3
5
, +∞ (k)
𝑥 + 3
𝑥 − 5
≻ −3 −∞, 3 ∪ 5,∞
(d) −2𝑥2 − 4𝑥 + 38 < 8 −∞,−5 ∪ 3,+∞ (l)
6𝑥 − 11
3 − 2𝑥
≤ −1 −∞,
3
2
∪ 2,∞
(e) 4𝑥2 + 18𝑥 − 19 > 𝑥2 + 2 −∞,−7 ∪ 1,+∞ (m)
3𝑥
𝑥 + 1
+
5
2
≤
7
2𝑥 + 2
−1,
2
11
(f) 2𝑥2 + 6𝑥 − 36 ≥ 10𝑥2 + 30𝑥 + 50 ∅ (n)
9 + 𝑥2
18𝑥
<
1
3
−∞, 0
(g) 2𝑥3 − 24𝑥2 + 82𝑥 − 55 < 5 −∞, 1 ∪ 5,6
(h)
4
3𝑥 − 1
< 0 −∞,
1
3
Exemplo: Considerando 𝑥 ∈ ℝ encontre o intervalo que descreve a
solução das seguintes inequações:
(a) 2𝑥 − 1 ≥ 5 −∞,−2 ∪ 3,+∞
(b) 1 − 𝑥 < 3 −2, 4
(c) 𝑥2 − 4𝑥 − 5 ≤ 7 −2, 2 − 2 ∪ 2 + 2, 6
(d) 1 − 𝑥2 > 3 −∞,−2 ∪ 2,∞
(e) 2𝑥 + 1 > 𝑥 + 5 −∞,−2 ∪ 4,+∞
(f) 𝑥 + 3 ≥ 5 − 𝑥 1,∞