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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 1 INTEGRAIS DEFINIDAS Seja f(x) uma função definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicado pelo símbolo: ∫ b a dxxf )( , onde: a é o limite inferior de integração b é o limite superior de integração f(x) é o integrando QUESTÕES Questão 01 Calcular: a) ∫ 1 0 dxx b) ∫ b dxx 0 c) ∫ 2 1 2 dxx d) ∫ pi 4 0 cos dxx Questão 02 Calcular: a) ∫ + 1 0 )42( dxx b) ∫ − +− 1 1 2 )1( dxxx c) ∫ ++ 1 0 2 )32( dxxx d) ∫ − 1 0 21 1 dx x e) ∫ e dx x x 0 ln f) ∫ + 1 0 1 dxx g) ∫ − 2 1 4 dxx h) ∫ 16 1 x dx i) ∫ 27 8 3 dxx j) ∫ − 14 13 10)13( dxx Questão 03 Calcule o valor de cada integral definida: a) ∫ − + 3 2 3 1 23x dx b) ∫ + 1 0 )32( dxx c) ∫ − 0 1 67 dxx d) ∫ 4 1 dxx e) ∫ + 2 0 14 dxx f) ∫ − + 2 1 2)1( dxx g) ∫ − a a ax dxx3 2 222 )( h) ∫ + b bx dxx2 0 22 i) ∫ − 1 0 2 )( dxxx j) ∫ − −+ 2 1 )2)(1( dxxx k) ∫ − a dxxxa 0 32 )( l) ∫ + 1 0 9)1( dxx m) ∫ − b dxxb 0 2)( n) ∫ − 1 0 22 )1( dxxx o) ∫ + 2 1 21 dx x x p) ∫ − +−1 0 2 3 65 dx x xx q) ∫ − + 2 1 24 3 dx x x r) ∫ − + ⋅ 2 2 1 2 2 3 dxex x t) ∫ pi ⋅ 2 0 2 cos dxxxsen u) ∫ pi pi ⋅ 3 4 23 sec dxxxtg v) ∫ − 8,0 2,0 21 dx x x CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 2 2xy = xy 3= x y 9 3 a) −2 2 y x 8 28 xy −= b) 2xy = CÁLCULO DE ÁREAS Questão 01 Calcular a área limitada por: a) 22 xxy −= e o eixo x, acima do eixo x b) 2xy = e xy −= 2 c) xseny = e o eixo x, para pi≤≤ x0 Questão 02 Calcule a área limitada por: a) 2xy = e o eixo x, para 30 ≤≤ x b) 2xy = e 22 xxy −= c) 24 xxy −= e o eixo x, acima do eixo x d) 2xy = e 21 2 x y + = e) xxy 22 += e xy −= f) 2xy = e xy = Questão 03 Calcule a área limitada por: a) xy cos= e o eixo x, 2 0 pi≤≤ x b) xy cos= e o eixo x, pi≤≤ x0 c) x y 1= e o eixo x, 41 ≤≤ x d) xy = e 3xy = , 20 ≤≤ x Questão 04 Calcule a área da região indicada na figura: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 3 a) 24)( xxxf −= y x b) y x 2)( xxf = 3 Questão 05 Calcule a área sob as funções f(x): y x 2 1 xey = c) d) y 2 x xey −= CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 4 c) x xf 1)( = y x 1 e Questão 06 Calcule a área limitada pela intersecção das funções xxf =)( e 68)( 2 −+−= xxxg . Questão 07 Ache a área limitada pela curva 23 3xxy += , pelo eixo x e pelas retas 0=x e 2=x . Questão 08 Ache a área limitada pela curva 422 −= xyx , pelo eixo x e pelas retas 2=x e 4=x . Questão 09 Ache a área no primeiro quadrante limitada pelo eixo x e pela curva 326 xxxy −+= . Questão 10 Ache a área total entre a parábola xxy 42 −= , o eixo x e a reta 2−=x . Questão 11 Ache a área limitada pela curva 322 xxxy −+= , pelo eixo x e pelas retas 1−=x e 1=x . Questão 12 Ache a área limitada pelas curvas 2xy = e xy = . Questão 13 Ache a área limitada pelas curvas 3xy = e 22xy = . CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 5 CÁLCULO DE VOLUME Questão 01 A região entre a curva xy = , 40 ≤≤ x e o eixo x gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine seu volume. Questão 02 Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por xy = e pelas retas 2=y e 0=x , em torno do eixo y. Questão 03 Determine o volume do sólido obtido com a rotação em torno da reta 1=y , da região definida por xy = e pelas retas 1=y e 4=x . Questão 04 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a cur- va xy = de 0 a 1. Questão 05 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por 3xy = , 8=y e 0=x ao redor do eixo y. Questão 06 A região R limitada pelas curvas xy = e 2xy = é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante. Questão 07 Ache o volume de um sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região entre xy = e 2xy = . Questão 08 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor da reta 2=y , da região entre xy = e 2xy = . Questão 09 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor da reta 1−=x entre xy = e 2xy = . Questão 10 Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva y x 2 = , 41 ≤≤ y . CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof.: Joaquim Rodrigues 6 Questão 11 Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta 3=x , da região compreendida entre a parábola 12 += yx e a reta 3=x . Questão 12 A região compreendida entre a parábola 2xy = e a reta xy 2= no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. Questão 13 A região limitada pela curva 12 += xy e pela reta 3+−= xy gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume desse sólido. Questão 14 Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo x. Questão 15 Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo y. y x 2 1 y x 3 2
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