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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2017
Resoluc¸o˜es do Exerc´ıcios Programados 9
Esta lista e´ essencialmente um grande exerc´ıcio a respeito do ca´lculo da derivada. Calcular a
derivada deve ficar claro que significa calcular o seguinte limite:
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 ,
e esta lista e´ um treino para se acostumar a fazer isto.
Questa˜o 1: Seja f(x) = x2 + 3. Calcule
a) f ′(1) b) f ′(0) c) f ′(x)
Soluc¸a˜o: a) Calculando
f ′(1) = lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1
x2 + 3− 4
x− 1 = limx→1
(x+ 1)(x− 1)
x− 1 = 2.
b)
f ′(0) = lim
x→0
f(x)− f(0)
x− 0 = limx→0
x2 + 3− 3
x
= lim
x→0
x2
x
= 0.
c)
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = limx→x0
x2 + 3− (x20 − 3)
x− x0 = limx→x0
(x− x0)(x− x0)
x− x0 = 2x0.
Chamando x = x0 temos que f
′(x) = 2x.
Questa˜o 2: Calcule f ′(p) pela definic¸a˜o, sendo dados
a) f(x) = x2 + x e p = 1 b) f(x) =
√
x e p = 4
c) f(x) = 5x− 3 e p = −3 d) f(x) = 1x e p = 1
e) f(x) = 2x3 − x2 e p = 1 f) f(x) = 3√x e p = 2
Soluc¸a˜o:
a) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1
x2 + x− 2
x− 1 = limx→1
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = 3
b) lim
x→4
f(x)− f(4)
x− 4 = limx→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4
√
x− 2
(
√
x− 2)(√x+ 2) =
1
4
.
c) lim
x→−3
f(x)− f(−3)
x+ 3
= lim
x→−3
5x− 3 + 18
x+ 3
= lim
x→−3
5(x+ 3)
x+ 3
= 5.
d) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1
1
x − 1
x− 1 = limx→1
1−x
x
x− 1 = limx→1
−1
x
=
−1
1
= −1.
e) lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1
2x3 − x2 − 1
x− 1 = limx→1
(x− 1)(1 + x+ 2x2)
x− 1 = 4.
1
f)
lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2 = limx→2
3
√
x− 3√2
x− 2
= lim
x→2
3
√
x− 3√2
( 3
√
x− 3√2)(( 3√x)2 + 3√2 3√x+ ( 3√2)2)
=
1
( 3
√
2)2 + 3
√
2 3
√
2 + ( 3
√
2)2
=
1
3( 3
√
2)2
.
Questa˜o 3: Determine a equac¸a˜o da reta tangente no ponto (p, f(p)) para
a) f(x) = x2 + x e p = 2 b) f(x) =
√
x e p = 9
c) f(x) = x3 − x e p = 1 d) f(x) = 1x e p = 2
Soluc¸a˜o: Para obtermos a equac¸a˜o da reta tangente y−f(p) = f ′(p)(x−p) de cada uma das func¸o˜es
acima precisamos calcular f ′(p), vamos comec¸ar em a)
lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2 = limx→2
x2 + x− 6
x− 2 = limx→2
(x− 2)(x+ 3)
x− 2 = 5.
E portanto, calculando substituindo na fo´rmula os valores temos que a equac¸a˜o da reta tangente fica
y − 6 = 5(x− 2)⇒ y = 5x− 4.
Nos outros itens vou dar o valor da derivada no ponto simplesmente se calcular o valor pelo limite.
b) f ′(9) = 16 e da´ı, y − 3 = 16(x− 9).
c) f ′(1) = 2 e temos y − 0 = 2(x− 1).
d) f ′(2) = −14 e da´ı, y − 12 = −14(x− 2).
Questa˜o 4: Calcule f ′(x) pela definic¸a˜o.
a) f(x) = x2 + x b) f(x) = 3x− 1
c) f(x) = xx+1 d) f(x) =
1
x .
Soluc¸a˜o: Em cada um dos casos precisamos calcular os seguintes limites lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 , onde
x0 e´ um ponto qualquer.
Em a)
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = limx→x0
x2 + x− (x20 + x0)
x− x0 = limx→x0
(x− x0)(x+ 1 + x0)
x− x0 = limx→x0 x+1+x0 = 2x0+1.
b)
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = limx→x0
3x− 1− (3x0 − 1)
x− x0 = limx→x0
3(x− x0)
x− x0 = 3.
c)
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = limx→x0
x
x+1 − x0x0+1
x− x0 = limx→x0
x0x+x−x0x−x0
(x+1)(x0+1)
x− x0 = limx→x0
x− x0
(x+ 1)(x0 + 1)
1
x− x0 =
1
(x0 + 1)2
.
d)
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = limx→x0
1
x − 1x0
x− x0 = limx→x0
x0−x
x0x
x− x0 = limx→x0
−(x− x0)
x0x
1
x− x0 = −
1
x20
.
2
Questa˜o 5: Seja g(x) =
{
x2 + 2 se x < 1
2x+ 1 se x ≥ 1 . Mostre que g e´ deriva´vel em x0 = 1 e calcule g
′(1)
e depois fac¸a um esboc¸o do gra´fico de g.
Soluc¸a˜o: Para que esta func¸a˜o seja deriva´vel neste ponto basta que o seguinte limite exista
limx→1
g(x)−g(1)
x−1 e como a func¸a˜o g depende de duas regras para pontos pro´ximos ao ponto x = 1,
precimos verificar que os limites laterais existam e coincidem.
lim
x→1+
g(x)− g(1)
x− 1 = limx→1+
2x+ 1− 3
x− 1 = limx→1+
2(x− 1)
x− 1 = 2,
e,
lim
x→1−
g(x)− g(1)
x− 1 = limx→1−
x2 + 2− 3
x− 1 = limx→1−
(x− 1)(x+ 1)
x− 1 = 2.
Portanto os limites laterais existem e coincidem enta˜o o limx→1
g(x)−g(1)
x−1 = 2, portanto, esta func¸a˜o e´
deriva´vel em x = 1 e g′(1) = 2.
Gra´fico de g(x).
Questa˜o 6: Seja h(x) =
{
2 se x ≥ 0
x2 + 2 se x < 0
. a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de h; b) h e´ deriva´vel
em x0 = 0? Se for calcule h
′(0).
Soluc¸a˜o: a) Veja o gra´fico
Gra´fico de h(x)
b) Pela suavidade do gra´fico de h(x) em x0 = 0 temos que h(x) e´ deriva´vel nesse ponto, e a reta
tangente deve ser paralela ao eixo dos x, portanto, h′(0) = 0.
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