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Integração Numérica Regra do Trapézio Disciplina: Cálculo Numérico – MAT042 Professor Vinícius Barbosa de Paiva 1 • No Cálculo Diferencial e Integral estuda-se o conceito de integral definida e como calculá-la por meio de processos analíticos. • Os resultados obtidos correspondem a áreas ou volumes de figuras geométricas, dependendo do tipo de integral. Introdução 2 • Sabemos do Teorema Fundamental do Cálculo Diferencial e Integral, que: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) onde 𝐹 𝑥 é uma primitiva de 𝑓(𝑥), isto é, F′ x = 𝑓(𝑥). 3 Na determinação numérica de uma integral, várias situações podem ocorrer: • A determinação da primitiva 𝐹 pode ser “difícil”; • A função 𝑓 a integrar pode não possuir um primitiva 𝐹. • Exemplo: 𝑎 𝑏 𝑒−𝑥 2 𝑑𝑥 • A função 𝑓 pode ser conhecida apenas pelos seus pontos (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖)) e não pela sua expressão analítica. • A ideia básica para a integração numérica será substituir a função no intervalo [a,b] por um polinômio que a aproxime, reduzindo o problema a uma simples integração polinomial. Fórmulas de Newton-Côtes • São fórmulas que empregam valores de 𝑓(𝑥) onde os valores de 𝑥 são igualmente espaçados. 4 Regra dos Trapézios – Simples 5 • Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio 𝑝1(𝑥) que interpola 𝑓(𝑥) em [a,b] temos: 6 Erro - Regra dos Trapézios Simples • O sinal do erro é negativo se 𝑓" > 0, cometemos um erro por excesso – a área encontrada é maior que a exata; • Mas se 𝑓" < 0 , cometemos um erro por falta – a área encontrada é menor que a exata. 7 Erro - Regra dos Trapézios Simples • Erro é a diferença entre o valor da área gerada por 𝑓(𝑥) e pelo polinômio interpolador 𝑝1(𝑥). Erro 8 9 Regra dos Trapézios – Simples Exemplo 10 11 12 • O exemplo anterior mostra que a regra do trapézio em determinadas situações é muito fraca. • Para obter um resultado mais precioso vamos aplicar o método 𝑛 vezes no mesmo intervalo, ou seja, subdividir o intervalo [a,b] em intervalos menores e iguais. 13 Regra dos Trapézios Composta 14 15 Erro - Regra dos Trapézios Composta 16 17 Regra dos Trapézios – Composta Exemplos 18 Referências Bibliográficas: • CAMPOS FILHO, Frederico F. Algoritmos numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro : LTC, 2007. • FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo : Prentice Hall, 2006. • BARROSO, L.; BARROSO, M. M. de A.; CAMPOS FILHO, F. F. Cálculo numérico com aplicações. 2. ed. São Paulo : Harbra, 1987. • PUGA, L.; PUGA PAZ, A.; TÁRCIA, J. H. M. Cálculo numérico. Rio de Janeiro : LTC, 2008. • RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico :aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo : Makron Book, 1996. • FERREIRA, J. Á. T. - Cálculo Numérico – Notas de aulas – Integração Numérica - Departamento de Computação, Universidade Federal de Ouro Preto.
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