32° Arquivo Momentos CM 08Out16

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Momentos e Centro de Massa 
 Muitas estruturas se comportam como se suas massas estivessem 
 concentradas em um único ponto, chamado centro de massa. 
 Massas ao longo de uma reta 
 
 Imaginando as massas m1, m2 e m3 em um eixo x rígido mantido por um 
 apoio na origem: 
 pergunta-se: O sistema está em equilíbrio? 
Cada massa mk exerce uma força (peso) para baixo que tende a provocar uma 
rotação em torno da origem: Fk = mk g . 
Este efeito de rotação é chamado momento ou torque e é dado por: Mk = Fk xk 
onde xk é a distância do ponto de aplicação da força à origem. 
 Depende do tamanho das massas e de sua distribuição ao longo do sistema. 
1 
Convidado
Realce
Momentos e Centro de Massa 
Normalmente deseja-se saber a posição do apoio que gera o equilíbrio do 
sistema. 
 A soma destes momentos mede a tendência de rotação de um sistema em 
torno da origem. O sistema estará em equilíbrio se este somatório for nulo. 
Assim, considerando o sistema com três massas: 
 
 Torque do sistema = m1 g x1 + m2 g x2 + m3 g x3 
 
 = g (m1 x1 + m2 x2 + m3 x3) 
 
 
 Onde 
 
  
0EstáticoMomento M
gmxx
xmxm
kk
kk
)-(
Força.)adeDistância( sobredeMomento


Momento de cada massa 2 
kk xmM 0
Convidado
Realce
Convidado
Realce
O ponto é o centro de massa do sistema. 
 
Momentos e Centro de Massa 
Assim, para que o somatório dos momentos em torno de se anule, 
tem-se que: 
 
  0)-()-()-( kkkkkkk mxmxgmxxggmxx
:valorumécomoContudo,.0 xmxmx kkk  
sistemadoMassa
sistemadoestáticoMomento
0 



k
kk
kkk
m
xm
xmxmx
x
3 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Momentos e Centro de Massa 
 Fios e Barras Finas 
 Imagine uma faixa longa e fina situada ao longo do eixo x de x = a até 
 x = b e cortada em pequenos pedaços de massa mk : 
 O centro de massa da faixa é aproximadamente: 
Intervalo de largura xk situado aproximadamente 
a xk unidades da origem. 
  kk mxx estáticoMomentoonde
sistemadoMassa
sistemadoestáticoMomento
 A densidade da fatia em xk é  (xk) expressa em termos de massa por 
 unidade de comprimento. Assim se  é contínua: 
 
 mk   (xk) xk 
 4 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Momentos e Centro de Massa 
 Assim: 










kk
kkk
k
kk
xx
xxx
m
mx
x
)(
)(
sistemadoMassa
sistemadoestáticoMomento 

Soma de Riemann 
Soma de Riemann 
 No limite: 
Resumindo, tem-se para uma 
barra ou faixa fina ao longo eixo 
x com densidade  (x) : 



b
a
b
a
dxx
dxxx
x
)(
)(


M
M
x
dxxM
dxxxM
b
a
b
a
0
0
:MassadeCentro
)(:Massa
)(:EstáticoMomento







5 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Momentos e Centro de Massa 
 Exemplo: Seja uma barra com 10m de comprimento que fica mais 
 espessa da esquerda para a direita de forma que sua densidade é: 
 
Sol: 
 
 
mkg
x
x /
10
1)( 






Calcule o centro de massa. 
mkgMM
3
250
30
1000
2
100
00 






10
0
10
0
32210
0
10
0
0
3021010
1  












xx
dx
x
dxxdx
x
xM
kgM
x
xdx
x
M 15
20
100
10
2010
1
10
0
210
0


















 
56,5
9
50
15
1
3
2500 





 x
M
M
x 6 
Momentos e Centro de Massa 
 Exemplo 2: Resolva o Exemplo 1 considerando a densidade constante  . 
Sol: 
 
 
 50
2
100
2
10
0
210
0
0 





 
x
dxxM
5
10
500  x
M
M
x


 10100
10
0
  MxdxM
No centro da barra, como esperado 
7 
 Exercício 1: Determine o centro de massa da barra de densidade 
  (x) e que está sobre o eixo x no trecho indicado abaixo. 
Momentos e Centro de Massa - Exercícios 
a. 
 
 
b. 
40
4
2)(  x
x
x






21para
10para2
)(
xx
xx
x
9
16
:Resp x
1:Resp x
8 
Momentos e Centro de Massa 
 Massas distribuídas em uma região plana. 
 Suponha que um conjunto de massas está localizado no plano, com massa 
mk no ponto (xk, yk) como mostrado na figura abaixo : 
 Cada massa mk tem um momento em torno de 
 cada eixo. Os momentos do sistema em torno 
 dos dois eixos são: 
 
 Assim, a abscissa e a ordenada do centro de massa do sistema são: 




kky
kkx
xmMy
ymMx
:eixodotornoEm
:eixodotornoEm



k
kk
m
xm
x
M
My



k
kk
m
ym
y
M
Mx
9 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Momentos e Centro de Massa 
 Com este valor de abscissa, pode-se dizer que o sistema fica equilibrado em 
 torno da reta . Por outro lado, com este valor de ordenada o sistema fica 
 equilibrado em torno da reta . 
Pode-se dizer que, quando o equilíbrio é atingido, o sistema se comporta como 
se toda a sua massa estivesse no ponto que é o centro de massa do sistema. 
),( yx
yy 
xx 
10 
Convidado
Realce
Momentos e Centro de Massa 
 Placas finas e planas. 
 Presume-se que a distribuição de massa seja contínua e que as expressões 
para o cálculo do CM contenham integrais ao invés de somas finitas. 
Imagine a placa ao lado que ocupa uma região no 
plano xy e está cortada em faixas finas e paralelas a 
um dos dois eixos. O centro de massa de uma faixa 
típica de massa m é: 
 
 Assim, o momento de uma faixa em torno do eixo y (My) e em torno do eixo x (Mx) 
 é dado, respectivamente, por: 
 
mymx  ~Me~M xy
11 
)~,~( yx
Convidado
Realce
Momentos e Centro de Massa 
 Assim: 
 Resumo: Cálculo do Centro de massa de um placa 
 
 Esboce a placa no plano xy. 
 
 Esboce uma fatia de massa // a um dos eixos, determinando suas dimensões. 
 
 Determine a massa da faixa dm e o seu centro de massa . 
 
 Calcule Mx, My e M a partir das expressões a seguir. 
 
 
 
 Calcule o centro de massa: 
 














m
my
y
m
mx
x
~
M
M
;
~
M
M
xy
 que no limite se tornam integrais: 





dm
dmy
y
dm
dmx
x
~
e
~
  dmMdmxMdmyM yx e
~~
),( yx
)~,~( yx
12 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Momentos e Centro de Massa 
 Exemplo1: A placa a seguir tem densidade constante  = 3g/cm2. Calcule a 
massa M, os momentos Mx e My e o centro de massa. 
 
A massa da fatia é: 
 
 
dxxdxxdAdm 6)2(3  
gM
x
dxxdmM 3
2
6
6
1
0
21
0
1
0






  
Tomandouma 
faixa típica 
 
 
cmgM
x
dxxdxxxdmxM yy 2
3
6
6)6(~
1
0
31
0
2
1
0
1
0






  
13 
Momentos e Centro de Massa 
cmgMdxxxdmyM xx 2)6(
~
1
0
1
0
  
Finalmente: 
 
 
cm
M
M
ycm
M
M
x x
y
3
2
e
3
2

OBS1: O mesmo problema pode ser resolvido usando faixas horizontais. 
OBS2: Se a distribuição de massa em uma placa fina e plana tiver um eixo de simetria, 
 o centro de massa vai situar-se neste eixo. Caso haja dois eixos, o centro de 
 massa vai situar-se na interseção dos mesmos. Isto é válido para o caso de 
 distribuição simétrica da densidade. 
 
14 
Momentos e Centro de Massa 
 Exemplo 2: Mesmo exemplo 1 com a faixa horizontal. 
Tomando uma 
 
faixa típica 
 
 
yy
yyyyyy
x 







 ~e
4
2
2
21
2
21
2
21
2
~














dAdm
dy
y
dA
dy
yy

2
2
:largura
2
2
2
1:ocompriment
Faixa
15 
Momentos e Centro de Massa 
O mesmo procedimento é utilizado para obter Mx . 
 
 
dy
y
dAdm 




 

2
2
3
gM
y
ydy
y
M 3
2
4
4
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
0
22
0




















 
 
cmgM
y
yM
dy
y
dy
yy
dmxM
yy
y
2
3
4
8
3
8
4
3
2
2
3
4
2~
2
0
3
2
0
2
0
2


















 





 





 
  
Como obtido anteriormente 
Como obtido anteriormente 
16 
Momentos e Centro de Massa 
 Exemplo 3: Determine o centro de massa de uma placa fina que cobre a 
 região limitada superiormente pela curva y = 4 – x2 e inferiormente pelo 
 eixo x. Considerar densidade  (x) = 2 x2. 
 






dAdmdxxdA
dxxy
;)4(
:largura;4:ocompriment
Faixa
2
2
7
8
256
15
105
2048
Assim.
105
2048






 yM x
15
562
)28()4(2
2
2
42
2
2
22  

MdxxxdxxxM










 

2
2
642
2
2
22
2
)816()]4(2[
2
4~ dxxxxdxxx
x
dmyM x
0x   






7
8
,0, yx
17 
Momentos e Centro de Massa 
 Exemplo 4: Resolva o Exemplo 2 considerando a densidade constante . 










dAdm
dxxdA
dx
xy

)4(
:largura
4:ocompriment
Faixa
2
2

3
32
3
4)4(
2
2
32
2
2 







 M
x
xdxxM
5
8
32
3
15
256
Assim.
15
256
)816(
2
)]4(
2
4~
2
2
42
2
2
2
2


















 
 

yyM
dxxxdxx
x
dmyM
x
x



18 
Momentos e Centro de Massa 
 
Quando a função densidade é constante, seu valor se cancela nas expressões 
para o cálculo de . 
Nestes casos, a localização do centro de massa é uma característica da 
geometria do objeto e não do material que o compõe. 
Desta forma o centro de massa passa a ser usualmente chamado de centróide. 
 
yx e
19 
 Exemplo 5: Seja o triângulo mostrado abaixo. Mostre que: 
 
3/hy 
dyyh
h
b
dyLdAdm )( 





 
Por semelhança de triângulos: 
)( yh
h
b
L
h
yh
b
L



Assim: 
Momentos e Centro de Massa 
3
h
M
M
y x 































63232
233
0
32 hb
M
hh
h
byyh
h
b
M x
h
x 
























  22
)(
0
2
00
hb
M
y
yh
h
b
dyyh
h
b
dyLM
h
hh 
20 
 












hh
x dyyyh
h
b
dyyh
h
b
ydmyM
0
2
0
)()(~ 
Finalmente: 
dyyh
h
b
dyLdAdm )( 





 
 Exercício 1: Determine o centro de massa da placa fina de densidade 
 constante  que cobre a região dada. 
Momentos e Centro de Massa - Exercícios 
a. 
 
 
 
 
b. 






 1,
5
3
),(:Resp yx
Região limitada pela parábola x = y 2 – y e a reta x = y. 







3
2
,0),(:Resp yx
21 
 Exercício 2: Seja a região limitada pela curva y = 2/x e pelo eixo x da reta 
 x = 1 até a reta x = 4. Esta região é rotacionada em torno do eixo x gerando 
 um sólido. Pede-se: 
 O volume do sólido gerado. 
 O centro de massa de uma placa fina que cobre esta região sendo 
 a densidade da mesma igual a: 
 
Momentos e Centro de Massa - Exercícios 







2
1
,
3
7
),(:Resp yx
3:Resp V
xx )(
22