35° Arquivo FunçõesTranscendentes

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Funções Transcendentes 
 Logaritmo definido como uma integral 
 O logaritmo natural de um número positivo x, escrito na forma lnx, é o 
valor da integral: 
 Usando retângulos para obter 
 aproximações finitas da área sob 
 a curva y = 1/t, ao longo do intervalo 
 1 < t < x, pode-se aproximar os 
 valores da função lnx. 
1 
0
1
ln
1
  xdtt
x
x
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Transcendentes 
 Definição do número e 
 O número e é o número no domínio do logaritmo natural que satisfaz: 
 Geometricamente, o número e corresponde ao 
 ponto no eixo x para o qual a área sob a curva 
 y = 1/t e acima do intervalo 1 < t < e é unitária. 
 Derivada da função ln(x) 
 Vista anteriormente a partir da derivada de funções inversas. 
 
  0com
1
||ln  x
x
x
dx
d
 Utilizando a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo: 
2 
1
1
ln
1
  dtt
e
e
x
dt
tdx
d
x
dx
d
x
11
)(ln
1









 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Transcendentes 
 Assim a função y = lnx é uma solução para o problema de valor inicial: 
 Características do gráfico da função ln(x) 
 A primeira derivada é positiva para x > 0, o que significa que a função 
 é crescente em x. 
 A segunda derivada é negativa, o que significa que o gráfico da função 
 é côncavo para baixo. 
 
 
 Propriedades da função ln(x) (vistas anteriormente) 
 
Com a > 0 e x > 0 
3 
0)1(e0com
1
 yx
xdx
dy
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Transcendentes 
 Exemplo: Estime o valor de ln2 considerando a área sob a curva 
 y = 1/x e acima do intervalo [1,2]: 
 A área sob a curva é maior do que a 
 área do retângulo que é igual a 1/2. 
Assim: 
.
2
1
2ln 
Fazendo: 
,
22
1
2ln2ln
n
nnn 






 nn quando)2ln(
Como lnx é uma função crescente: 


)(lnlim x
x
 percebe-se que 
 Pode-se ainda dizer que: 



 
)ln(lim)(lnlim)(lnlim 1
0
ttx
ttx
4 
Funções Transcendentes 
 A integral 
A equação leva à seguinte fórmula integral: 
onde u é uma função derivável não nula. Esta 
expressão diz o que precisa ser feito para o caso 
de integrais de potências onde n = -1. 
Assim se u = f(x), du = f’(x) dx e: 
  0com1ln  x
x
x
dx
d
sempre que f (x) for uma função derivável que mantenha sinal constante 
ao longo de seu domínio. 
5 
CuCxfdx
xf
xf
du
u


  ln)(ln)(
)(1
Cudu
u
 ln
1
du
u
1
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Transcendentes 
 Exemplo: Calcule a integral: 




d
sen


2/
2/
23
cos4






5
2
1
2
cos2;sen23
ueu
dduu


5ln2ln2
2 5
1
5
1
 uu
du
Fazendo: tem-se que: 
 As funções lnx e ex 


)(lnlim 1 x
x
0)(lnlim 1 

x
x
6 
Funções Transcendentes 
 O número “e” pode ser elevado a um expoente racional r da maneira 
 habitual. Assim, se e é positivo, er também o é. Assim, er possui um 
 logaritmo: 
Uma vez que lnx é injetora e ln(ln-1r) = r, tem-se: 
)exp(ln 1 rrer  
Assim, para qualquer número real x, tem-se: 
)exp()(ln 1 xxex  
Lembrar que: 






xxe
xxe
x
x
qualquerpara;)ln(
0;ln
7 
rerer  lnln
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Exponencial Natural 
 Derivada da função ex : 
 Integral da função ex : 
Pela Regra da Cadeia, se u é uma função derivável de x, tem-se: 
dx
du
e
dx
ed u
u

)(
Pela Regra da Cadeia, tem-se: 
8 
x
x
e
dx
ed

)(
Cedxe xx 
Cedue uu 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Função Exponencial Natural 
 Leis dos expoentes (vistas anteriormente) 
 
 Para todos os números x, x1 e x2, a exponencial natural obedece as 
 seguintes leis: 
 
 
9 
2121 xxxx eee

x
x
e
e
1

122121 )()(
xxxxxx
eee 
21
2
1
xx
x
x
e
e
e 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Função Exponencial Geral 
 Derivada da função exponencial geral ax: 
 Integral da função ax : 
Pela Regra da Cadeia, se a > 0 e u é uma função derivável de x, tem-se: 
Pela Regra da Cadeia, tem-se: 
Como ax = e(x lna) as leis também se aplicam às exponenciais gerais. 
10 
aa
dx
ad x
x
ln
)(

C
a
a
dua
u
u  ln
dx
du
aa
dx
ad u
u
)(ln
)(

C
a
a
dxa
x
x  ln
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Função Logaritmo – Base a 
 Derivada da função logaritmo na base a: 
Pela Regra da Cadeia, se u é uma função positiva derivável de x, tem-se: 
 Regras da função logaritmo na base a: mesmas da função logaritmo 
 natural. 
11 
xadx
xd a 1
ln
1)(log







dx
du
uadx
ud a 1
ln
1)(log







Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Hiperbólicas 
 Formadas a partir de combinações de funções exponenciais. 
 Simplificam expressões matemáticas. 
 São importantes em muitas aplicações práticas como no caso da 
 tensão em cabos suspensos pelas extremidades. 
 
Função Exponencial: parcela par + parcela ímpar 
,
ímparfunçãoumaé)()(Se
parfunçãoumaé)()(Se





fxfxf
fxfxfLembrando que: 
pode-se dizer que toda função f que seja definida em um intervalo centrado na 
origem pode ser escrita, de maneira única, como a soma de uma função par 
com uma função ímpar. 
2
)()(
2
)()(
)(
xfxfxfxf
xf




Parcela par Parcela ímpar 12 
Funções Hiperbólicas 
Escrevendo a função exponencial dessa forma, tem-se: 
 Tangente hiperbólica: 
22
)(
xxxx eeee
xf
 



Cosseno hiperbólico (cosh x) 
 
Parcela par Parcela ímpar 
Seno hiperbólico (senh x) 
 Definições 
 Cotangente hiperbólica: 
13 
xx
xx
ee
ee
x
xh
x





cosh
sen
tanh
xx
xx
ee
ee
xh
x
x





sen
cosh
cotgh
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Hiperbólicas 
 Secante hiperbólica: 
 Gráficos 
 Cossecante hiperbólica: 
 y = senhx y = coshx y = tanhx e y = cotghx 
 14 
xx eexh
x


2
sen
1
cosech
xx eex
xh


2
cosh
1
sec
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Hiperbólicas 
 Identidades: similares às identidades das funções trigonométricas 
 Gráficos 
 y = sechx y = cosechx 
15 
1senhcosh 22  xx
xx 22 sech1tgh 
))(coshsenh(22senh xxx 2
12cosh
cosh2


x
x
2
12cosh
senh2


x
x
xxx 22 senhcosh2cosh 
xx 22 cosech1cotgh 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Hiperbólicas 
 Derivadas e Integrais 
 Prova: 








 








 


22
22
22
senhcosh
xxxx eeee
xx
  )22(
4
1
)22(
4
1 222222 xxxxxx eeeeee
xee xx 2cosh)(
2
1 22  
Como as funções hiperbólicas são combinações racionais das funções deriváveis ex 
e e-x, elas possuem derivadas em todos os pontos nos quais elas são definidas. 
xxx 2coshsenhcosh 22 
16 
Funções Hiperbólicas 
Derivadas 
dx
du
u
dx
duee
u
dx
d
dxduedxdueee
dx
d
u
dx
d
uu
uuuu
senh
2
cosh
22
cosh












 



 Prova da derivada da função coshu 
dx
du
uug
dx
d
dx
du
uu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
2sechht
senhcosh
coshsenh



dx
du
uuu
dx
d
dx
du
uuu
dx
d
dx
du
uu
dx
d
cotghcosechcosech
tghsechsech
cosechcotgh 2



17 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Hiperbólicas 
 Integrais 
Cugduu
Cuduu
Cuduu






htsech
senhcosh
coshsenh
2
Cuduuu
Cuduuu
Cuduu






cosechcotghcosech
sechtghsech
cotghcosech 2
 Exemplo 1: Determine as integrais a seguir: 
a. 
dxx
1
0
2senh 







 
1
0
1
0
1
0
cosh2
2
1
2
1cosh2
dxdxxdx
x
2
1
4
senh2
1
2
senh2
2
1
senh2
2
1
2
1
1
0












 xx
18 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Hiperbólicas 
b. 
dxxex senh4
2ln
0
 dxedx
ee
e x
xx
x
 




 

 2ln
0
2
2ln
0
)22(
2
4
)0()2ln2()2(2)2( 02ln2
2ln
0
2
2ln
0
2ln
0
2   eexedxdxe
xx
2ln2312ln24 
c. 
dt
t
t

2
1
)(lncosh
dt
t
tt
dt
t
ee tt
 




 





 

 2
1
2
1
lnln
2
1
2
2
1
12
1
2
2
1
2
1
2
2
12
1
2
1
2
1
2
1












 




t
tdttdtdt
t
t
 
4
3
2
14
2
1
11
2
1
2
1
2
2
1





 







19 
Funções Hiperbólicas 
 Exercício 1: Resolva as integrais abaixo: 



d2
4
4
sec)cosh(tan

 Exercício 2: Encontre dy/dx : 
a. 
 
 
 
b. 
 
 
 
c. 
 
dxx
4ln
2ln
cotgh
Resp: e1 – e-1 
Resp: ln(5/2) 
)2(lncosech)14( 2 xxy 
dy/dx = 4 
20 

1
0
)(cosh dttt
Resp: 
11cosh1senh 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Inversa da função seno hiperbólico 
Como 
 Inversa da função cosseno hiperbólico 
:0coshsenh  xx
dx
d
a função senh x é uma função crescente. 
Sua inversa é dada por: 
xy senharg
Domínio: -∞ < x < ∞ 
A função y = cosh x só é injetora se x ≥ 0 
Sua inversa é dada por: 
xy cosharg
Para cada valor x ≥ 1: 0 ≤ y ≤ ∞ 
Domínio da inversa 
21 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Inversa da função secante hiperbólica 
 Inversas das demais funções hiperbólicas 
Assim como a função y = cosh x , a função 
y = sech x só é injetora se x ≥ 0 
Sua inversa é dada por: 
xy secharg
Domínio: x ≥ 1 
As funções são injetoras em seus domínios: possuem inversas 
22 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Identidades Úteis 
 Derivadas 
)/1(tghargcotgharg
)/1(senhargcosecharg
)/1cosh(argsecharg
xx
xx
xx



1
1
1
)ht(arg
1
1
1
)cosh(arg
1
1
)senh(arg
2
2
2








u
dx
du
u
ug
dx
d
u
dx
du
u
u
dx
d
dx
du
u
u
dx
d
23 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Derivadas 
0
1
)cosech(arg
10
1
)sech(arg
1
1
1
)cotgh(arg
2
2
2











u
uu
dxdu
u
dx
d
u
uu
dxdu
u
dx
d
u
dx
du
u
u
dx
d
 Prova da Derivada da função y = arg cosh x 
Seja y = arg cosh x  x = cosh y. Derivando implicitamente com relação a x: 
1
1
1cosh
1
senh
1
22 



xyydx
dy
dx
du
u
u
dx
d
1
1
)cosh(arg
2 

Generalizando 
Convidado
Realce
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Integrais 








































22
22
22
22
22
se
a
cotgharg
1
se
a
tgharg
1
0
a
cosharg
0
a
senharg
auC
u
a
auC
u
a
ua
du
auC
u
au
du
aC
u
ua
du
0;0
a
cosecharg
1
0
a
secharg
1
22
22












auC
u
auau
du
auC
u
auau
du
25 
Funções Hiperbólicas Inversas 
a. 
 
 
 
b. 
 
Resp: 
 Exercício1: Resolva as integrais abaixo: 


3/1
0
291
dx6
x
88,0)21ln( 


e
xx1
2)(ln1
dx
 Exercício 2: Determine a área de superfície gerada a partir do giro da 
 curva abaixo em torno do eixo x: 
ln(81))ln(16com
4
cosh4  x
x
y
 22,79
9
455
)ln(616 S
76,1)21ln(2 
Resp: 
26 
Funções Hiperbólicas Inversas 
 Cálculo de funções hiperbólicas inversas, expressando-as como logaritmos 
27 
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce
Convidado
Realce