7 Principais Distribuições Discretas

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Principais distribuições de 
probabilidade discretas
Distribuições Discretas
• Uniforme
• Bernoulli
• Binomial
• Geométrica
• Binomial Negativa (Pascal)
• Hipergeométrica
• Poisson
Distribuição Discreta Uniforme
Uma variável aleatória X tem uma distribuição
discreta uniforme se cada um dos n valores em sua
faixa, isto é, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, tiver igual probabilidade
𝑓 𝑥𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) =
1
𝑛
Distribuição Discreta Uniforme
Para uma variável discreta uniforme X, cujos
valores inteiros consecutivos são: 𝑎, 𝑎 + 1, 𝑎 +
2,… , 𝑏, para 𝑎 ≤ 𝑏:
𝜇 = 𝐸 𝑋 =
𝑏 + 𝑎
2
Média
𝜎2 =
𝑏 − 𝑎 + 1 2 − 1
12
Variância
TAREFA: PROVE
Exercício 1
Suponha que X tenha uma distribuição discreta
uniforme nos inteiros de 0 a 9. Determine a média, 
a variância e o desvio-padrão da variável aleatória
Y=5X e compare-os aos resultados
correspondentes para X.
Distribuição de Bernoulli
• Seja um experimento em que só pode ocorrer 
um dos dois resultados: “sucesso” ou “fracasso”.
• Associa-se uma variável aleatória 𝑋 ao possíveis
resultados, de forma que:
𝑃 𝑋 = 
𝑞 = 1 − 𝑝, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0
𝑝, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 0 𝑜𝑢 1
Distribuição de Bernoulli
• A média e a variância são definidas por:
𝐸 𝑋 = 𝑝
𝜎2 = 𝑝(1 − 𝑝)
• Um processo probabilístico onde ocorre uma 
sucessão de provas de Bernoulli, independentes 
e idênticas, ou seja, todas com a mesma 
probabilidade de sucesso 𝑝, é ditto um 
Processo de Bernoulli.
Distribuição Binomial
• Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X= número obtido 
de caras.
• Um tear produz 1% de itens defeituosos. Seja 
X=número de itens defeituosos nos próximos 25 
itens produzidos.
• Um teste de múltipla escolha contém 10 questões, 
cada uma com quatro escolhas. Você tenta adivinhar 
cada questão. Seja X= o número de questões 
respondidas corretamente.
• Nos próximos 20 nascimentos em um hospital, seja 
X=número de nascimentos de meninas.
Considere os seguintes experimentos aleatórios e 
variáveis aleatórias:
Distribuição Binomial
Condições de Aplicação:
• O experimento é repetido para um número fixo 
de tentativas. Cada tentativa é independente
das outras (tentativas de Bernoulli);
• Há apenas dois resultados possíveis de interesse 
para cada tentativa. Os resultados podem ser 
classificados como sucesso (S) ou falha (F); 
• A probabilidade de um sucesso P(S) é a mesma 
para cada tentativa
• A variável aleatória X conta o número de 
tentativas bem-sucedidas.
Distribuição Binomial
A variável aleatória 𝑋, que é igual ao número de 
tentativas que resultam em um sucesso, é uma 
variável aleatória binomial com parâmetros 0 < 𝑝 < 1
e 𝑛 = 1,2, …
A função de probabilidade de X é:
𝑝 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥 = 0, 1, … , 𝑛.
Distribuição Binomial
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n = 20 p = 0,5
Distribuição Binomial
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=10 , p=0,9
n=10, p=0,1
Distribuição Binomial
• Se X for uma variável aleatória binomial com 
parâmetros p, q e n, a média e a variância são:
𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝
𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
Exercício 2
Em seu percurso matinal diário, um determinado sinal 
de trânsito demorado está verde 20% das vezes em que 
você se aproxima dele. Suponha que cada manhã 
represente uma tentativa independente.
a) Em cinco manhãs, qual é a probabilidade de que o 
sinal esteja verde exatamente um dia?
b) Em 20 manhãs, qual é a probabilidade de que o 
sinal esteja verde em mais de 4 dias?
c) Em um mês, qual o número esperado de vezes que 
você vai encontrar o sinal aberto?
Exercício 3
Num determinado processo de fabricação, 10% 
das peças são consideradas defeituosas. As peças 
são acondicionadas em caixas com 5 unidades 
cada uma.
a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 
peças defeituosas numa caixa?
b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais 
peças defeituosas numa caixa?
c) Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por 
caixa em que houve alguma peça defeituosa, 
qual o valor esperado da multa num total de 
1.000 caixas?
Distribuição Geométrica
Uma distribuição de probabilidade discreta satisfaz as 
seguintes condições:
• Tentativas independentes (ensaios de Bernoulli) são 
repetidas até que um sucesso ocorra
• A probabilidade de sucesso p é constante para cada 
tentativa
• A variável aleatória X o número de tentativas até 
que o primeiro sucesso ocorra
• A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na 
tentativa x, com x=1,2,..., sendo 𝑞 = 1 − 𝑝, é:
f 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 𝑝 ∙ 𝑞
𝑥−1
Exemplo
Por experiência, você sabe que a probabilidade de que 
você faça uma venda em um telefonema qualquer é de 
0,23. Encontre a probabilidade de que sua primeira 
venda em um dia qualquer ocorra na quarta ou quinta 
ligação.
Solução:
• P(venda na quarta ou quinta ligação) = 
P(X=4) + P(X=5)
• Geométrica com p = 0,23, q = 0,77, x = 4 ou 5
Exemplo
• P(X=4) = 0,23(0,77)4–1 ≈ 0,105003
• P(X=5) = 0,23(0,77)5–1 ≈ 0,080852
P(venda na quarta ou quinta ligação) = P(X=4) + P(X=5)
≈ 0,105003 + 0,080852
≈ 0,186
Distribuição Geométrica
Notação:
G(p)
Distribuição Geométrica
Se X for uma variável aleatória geométrica com 
parâmetro p, a média e a variância são:
𝜇 = 𝐸 𝑋 =
1
𝑝
𝜎2 = 𝑉 𝑋 =
1 − 𝑝
𝑝2
Exercício 4
Suponha que cada uma das suas chamadas para uma 
estação popular de rádio tenha uma probabilidade de 
0,02 de se completar; ou seja, de não obter um sinal de 
ocupado. Considere que suas chamadas sejam 
independentes.
a) Qual é a probabilidade de que sua primeira 
chamada a se completar seja sua décima tentativa?
b) Qual é a probabilidade de se necessitar mais de 
cinco chamadas para que a ligação se complete?
c) Qual é o número médio necessário de chamadas 
para que a ligação se complete?
a) 0,0167 b) 0,9039 c) 50
A probabilidade de que um bit transmitido por um 
canal digital de transmissão seja recebido com erro é 
0,1. Considere que as transmissões sejam eventos 
independentes e seja a variável aleatória X o número de 
bits transmitidos até que o primeiro erro seja 
encontrado. Qual a probabilidade de que o erro 
aconteça na quinta transmissão?
4( 5) (0,9) 0,1 0,066 6,6%P X    
Exemplo
PERGUNTA: E se quisermos saber a probabilidade 
de que ocorram quatro erros, sendo o quarto erro na 
décima tentativa???? 
Seja X o número de bits transmitidos até o quarto 
erro. 
P(X=10) é a probabilidade de que exatamente três 
erros ocorram nas nove primeiras tentativas e então 
na décima tentativa apareça o quarto erro.
A probabilidade de que três erros ocorram nas 
nove primeiras tentativas é dada pela distribuição 
Binomial:
3 6
9
(0,1) (0,9)
3
 
 
 
3 6
4 6
9
( 10) (0,1) (0,9) (0,1)
3
9
 (0,1) (0,9)
3
P X
 
   
 
 
  
 
Logo
Essa é uma distribuição Binomial Negativa com 
r=4.
Distribuição Binomial Negativa
• São feitas repetições do experimento de Bernoulli
• A probabilidade de sucesso p e de falha q (1-p) 
permanecem constante em todas as repetições
• As repetições são independentes, ou seja, o 
resultado de uma repetição não é influenciado por 
outros resultados
• O experimento é repetido até que se obtenha r
sucesso
• A variável aleatória X representa o número de 
repetições até que r sucessos ocorram.
Distribuição Binomial Negativa
Seja a variável aleatória X, o número de tentativas 
até que r sucessos ocorram, com parâmetros 0 <
𝑝 <1 e n=1, 2, ...., função de probabilidade é:
𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) =
𝑥 − 1
𝑟 − 1
(1 − 𝑝)𝑥−𝑟∙ 𝑝𝑟
em que 𝑥 = 𝑟, 𝑟 + 1, 𝑟 + 2,…
Distribuição Binomial Negativa
Se X for uma variável aleatória binomial negativa
com parâmetro p, a média e a variância são:
𝜇 = 𝐸 𝑋 =
𝑟
𝑝
𝜎2 = 𝑉 𝑋 =
𝑟 1 − 𝑝
𝑝2
Distribuição Binomial Negativa
OBS: Essa distribuição 
também é conhecida 
como distribuição 
de Pascal.
Notação:
Pascal(r, p)
Exercício 5
Um site da internet contém três servidores idênticos. 
Somente um deles é usado para operar o site, os outros 
dois são sobressalentes que podem ser ativados no caso 
do sistema principal falhar. A probabilidade de uma 
falha no computador principal é de 0,0005.
(a) Supondo que cada solicitação represente uma 
tentativa independente, qual será o número médio de 
solicitações até a falha de todos os três servidores?
(b) Qual é a probabilidade de todos os três servidores 
falharem em até cinco solicitações?
Distribuição Hipergeométrica
• Considere o problema básico de inspeção por 
amostragem, em que observamos uma retirada de n 
itens de um lote com N itens, sendo r defeituosos. 
Avaliamos o número X de itens defeituosos na 
amostra. A variável aleatória X aparenta ser 
binomial, mas só é realmente binomial se:
• A seleção da amostra é aleatória (para garantir a 
mesma probabilidade p de sair item defeituoso em 
todos os ensaios);
• Com reposição (para garantir independência entre 
ensaios).
Distribuição Hipergeométrica
A segunda condição (com reposição) não costuma 
ser satisfeita na prática. Se a amostragem for 
aleatória, mas sem reposição, a distribuição de X 
é conhecida como hipergeométrica de parâmetros 
N, n e r.
Note que sem reposição é o
mesmo que retirar todas as n
peças de uma vez, ou uma a uma.
Distribuição Hipergeométrica
𝑟: objetos classificados como sucessos
𝑁: total de objetos do lote
𝑛: quantidade de objetos selecionados para amostra
𝑋: número de sucessos na amostra
𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) =
𝑟
𝑥
∙
𝑁 − 𝑟
𝑛 − 𝑥
𝑁
𝑛
𝑥 = 𝑚á𝑥 0, 𝑛 + 𝑟 − 𝑁 … .𝑚𝑖𝑛 𝑟, 𝑛
• 𝑚𝑖𝑛 𝑟, 𝑛 : o número máximo de defeitos que podem haver na amostra é o menor
número entre o tamanho da amostra e o número de objetos com defeitos
disponível.
• 𝑚á𝑥 0, 𝑛 + 𝑟 − 𝑁 : se 𝑛 + 𝑟 > 𝑁, no mínimo 𝑛 + 𝑟 − 𝑁 objetos com defeito deve
haver na amostra.
Distribuição Hipergeométrica
Distribuição Hipergeométrica
Se X for uma variável aleatória hipergeométrica
𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝
𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝 1 − 𝑝
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
𝑝 =
𝑟
𝑁
sendo
Fator de correção para
população finita
Se a amostragem 
fosse com reposição, 
então X seguiria uma 
distribuição 
binomial.
A amostragem com 
reposição é 
equivalente a 
amostragem de um 
conjunto infinito, 
pois a probabilidade 
de sucesso 
permanece constante
Binomial X Hipergeomética
Se n é relativamente
pequeno com relação a N, a 
correção é pequena e a 
distribuição
hipergeométrica é similar a 
binomial. Neste caso, a 
binomial pode efetivamente
aproximar a hipergeomética.
Exercício 13
Uma batelada de peças contém 100 peças de um 
fornecedor local de tubos e 200 peças de um fornecedor 
de tubos de um estado vizinho. Quatro peças são 
selecionadas ao acaso.
(a) Qual será a probabilidade de que elas sejam todas 
provenientes do fornecedor local?
(b) Qual é a probabilidade de duas ou mais peças na 
amostra serem provenientes do fornecedor local?
(c) Qual é a probabilidade de no mínimo uma peça na 
amostra ser proveniente do fornecedor local?
(d) Calcule e interprete E(X) e VAR(X).
Exercício 14
Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. 
Três bolas são retiradas simultaneamente dessa 
urna. 
a) Determine e desenhe o gráfico da distribuição 
de probabilidade do número de bolas brancas 
retiradas. Por que é uma distribuição de 
probabilidade válida?
b) Se ganharmos R$2,00 por bola branca retirada 
e perdermos R$1,00 por bola preta retirada, qual 
o valor esperado de ganho nesse jogo?
Simeon Denis Poisson (1781-1840)
lim( )
n
Binomial Poisson


Distribuição de Poisson
• A distribuição de Poisson é adequada para descrever
situações onde existe uma probabilidade de ocorrência
em um campo ou intervalo contínuo, geralmente
tempo ou área.
• Por exemplo, o no de acidentes por mês, no de defeitos
por metro quadrado, no de clientes atendidos por hora.
• Nota-se que a variável aleatória é discreta (número de
ocorrência), no entanto a unidade de medida é contínua
(tempo, área).
• Além disso, as falhas não são contáveis, pois não é
possível contar o número de acidentes que não
ocorreram, nem tampouco o número de defeitos que não
ocorreram.
Distribuição de Poisson
Condições de aplicação:
• O número de ocorrências durante qualquer intervalo
depende somente da extensão do intervalo;
• As ocorrências ocorrem independentemente, ou seja,
um excesso ou falta de ocorrências em algum intervalo
não exerce efeito sobre o número de ocorrências em
outro intervalo;
• A possibilidade de duas ou mais ocorrências
acontecerem em um pequeno intervalo é muito
pequena quando comparada à de uma única
ocorrência.
Distribuição de Poisson
• A distribuição de Poissson fica completamente
caracterizada por um único parâmetro  que representa a
taxa média de ocorrência por unidade de medida.
• A equação para calcular a probabilidade de x ocorrências
é dada por:
• A Média (esperança) e a variância da distribuição de
Poisson são:
Distribuição de Poisson
𝑓 𝑥 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) =
𝑒−λ ∙ λ𝑥
𝑥!
𝑥 = 0, 1, 2, …
𝜇 = 𝐸 𝑥 =  ² = 𝐸 𝑥 = 
Notação: Poisson ()
Distribuição de Poisson
O número de defeitos de pintura segue uma
distribuição de Poisson com λ = 2.
Então, a probabilidade que uma peça apresente
mais de 4 defeitos de pintura virá dada por:
24
0
2
1 ( 4) 1 1 0,945 0,055 5,5%
!
x
x
e
P X
x


       
Exemplo
Exercício 15
Contaminação é um problema na fabricação de discos 
ópticos de armazenagem. O número de partículas de 
contaminação que ocorrem em um disco óptico tem 
uma distribuição de Poisson, e o número médio de 
partículas por cm2 de superfície do disco é 0,1. A área 
do disco sob estudo é igual a 100 cm2. Encontre: 
(a) A probabilidade de 12 partículas de contaminação 
ocorrerem na área de um disco sob estudo.
(b) A probabilidade de nenhuma partícula de 
contaminação ocorrer na área do disco sob estudo.
(c) A probabilidade de 12 ou menos partículas 
ocorrerem na área do disco.
Exercício 16
Uma fábrica de automóveis verificou que, ao testar 
seus carros na pista de prova, há, em média um 
estouro a cada 300km, e que o números de pneus 
estourados segue razoavelmente uma distribuição de 
Poisson. Qual a probabilidade de que:
(a) Em um teste de 900km haja no máximo um pneu 
estourado.
(b) Um carro ande 450km na pista sem estourar 
nenhum pneu.
Uma distribuição largamente usada emerge à medida que o 
número de tentativas em um experimento binomial aumenta 
até infinito, enquanto a média da distribuição permanece 
constante.
Considere a transmissão de n bits por um canal digital de 
comunicação. Seja a variável aleatória X o número de bits com 
erro. Quando a probabilidade de um bit estar com erro for 
constante e as transmissões forem independentes, X terá uma 
distribuição binomial. Seja p a probabilidade de um bit ter erro. 
Seja λ = 𝑝𝑛. Então, 𝐸 𝑥 = 𝑝𝑛 = λ e
Distribuição de Poisson
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥(1 − 𝑝) 𝑛−𝑥=
𝑛
𝑥
λ
𝑛
1 −
λ
𝑛
𝑛−𝑥
Agora suponha que o número de bits transmitidos aumente e que 
a probabilidade de um erro diminua exatamente o bastante para 
que𝑝𝑛 permaneça igual a uma constante. Ou seja, 𝑛 aumenta e 𝑝
diminui proporcionalmente, tal que 𝐸 𝑋 = λ permaneça 
constante. Então, com algum trabalho, pode ser mostrado que 
quando 𝑛 → ∞:
Distribuição de Poisson
𝑛
𝑥
1
𝑛
𝑥
→
1
𝑥! 1 −
λ
𝑛
−𝑥
→ 1 1 −
λ
𝑛
𝑛
→ 𝑒−λ
lim
𝑛→∞
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑒−λλ𝑥
𝑥!
𝑥 = 0,1,2,…
Também, porque o número de bits transmitidos tende ao 
infinito, o número de erros pode igualar qualquer valor 
inteiro não negativo. Consequentemente, a faixa de 𝑋 são 
os inteiros de zero até infinito.
Note que se a média da VA X é cte:
n
( ) .E X n p 
p
n


Logo:
Assim , quando
Temos
0p
Ou seja, quando o número de experimentos for muito 
grande e probabilidade for pequena provavelmente 
trata-se de uma Distribuição de Poisson. (Lembre-se 
que a Poisson é o limite da Binomial quando n tende 
ao infinito).
Poisson como Aproximação da Binomial
Exemplo: Em um cruzamento de tráfego intenso, a 
probabilidade p de um carro sofrer um acidente é muito 
pequena, digamos p=0,0001. Contudo, durante certa parte do 
dia, por exemplo das 16h as 18h, um grande número de carros 
passa no cruzamento (por exemplo 1000). Nessas condições, 
qual a probabilidade de que dois ou mais acidentes ocorram 
durante aquele período?
0,1(0,1)
( )
!
xe
P X x
x

 
Podemos aproximar esta aparente Binomial por Poisson.
. 1000*0,0001 0,1n p   
0,1 0,1
( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1)
( 2) 1 .0,1 0,0045
P X P X P X P X
P X e e 
        
    
A aplicação típica da distribuição de Poisson no
controle da qualidade é como um modelo para o
número de defeitos (não-conformidades) que
ocorre por unidade de produto (por m2, por
volume ou por tempo, etc.).
Distribuição Poisson
O treinador de futebol de uma equipe profissional decidiu 
usar conhecimentos matemáticos para estudar o 
desempenho da sua equipe durante os treinos. Nos últimos 
jogos do time a média de gols por partida de 90 minutos foi 
de 1,3 gols. Baseado em dados histórico o técnico acredita 
que para terminar a primeira rodada do campeonato na 
liderança, o time terá que marcar mais de 2 gols em algumas 
partidas. Na verdade sua meta é fazer mais de 2 gols em pelo 
menos 4 das próximas 6 partidas, com isso ele acredita que 
tem grandes chances de terminar a primeira fase do 
campeonato na liderança. Qual a probabilidade do treinador 
conseguir atingir essa meta?
Exercício 17