Exercícios de Álgebra I - Anéis Quocientes, Ideais e Equações em Anéis

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 5
1) Em cada item descreva os elementos do anel quociente e monte as
tabelas de operac¸a˜o. Em que casos o anel quociente tem unidade?
(a) A = 2Z, I = 6Z.
(b) A = 3Z, I = 6Z.
(c) A = Z6, I = 2Z6.
(d) A = Z8, I = 3Z8.
(e) A = Z8, I = 2Z8.
2) Considere A = Q[x] e I = 〈x− 2〉. Quem e´ o oposto de [x2 − 2] em
A/I? Esse elemento tem inverso?
3) Em A = Z × Z considere o ideal I = 〈(3, 4)〉. Mostre que A/I na˜o e´
um domı´nio. Agora considere J = {(a, 0) ∈ Z × Z : a ∈ Z}. Verifique
que J e´ um ideal e que A/J e´ um domı´nio (mesmo que Z×Z na˜o seja).
4) Deˆ um exemplo de um domı´nio D e um ideal I de forma que D/I na˜o
seja um domı´nio.
5) Seja A anel comutativo. No exerc´ıcio 15 da lista 4 pede-se para mostrar
que o nilradical de A, isto e´, o conjunto de todos elementos nilpotentes
e´ um ideal. Mostre que A/N(A) na˜o tem elementos nilpotentes na˜o
nulos. Verifique esse resultado diretamente para Z8/N(Z8).
6) Considere A = Z[i] e I = 〈1 + i〉.
(a) Mostre que I = 〈1 + i〉 = {a + bi : a + b e´ par}.
(b) Usando a descric¸a˜o do item (a), mostre que para todo elemento
m + ni ∈ Z[i] existe c ∈ Z tal que [m + ni] = [c].
(c) Conclua que A/I tem apenas dois elementos.
7) Encontre o inverso se poss´ıvel,
(a) 7 em Z28.
(b) 13 em Z28.
(c) 7 em Z101.
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8) Encontre todos elementos nilpotentes de Z24 utilizando os resultados
vistos em aula.
9) Resolva as seguintes equac¸o˜es ou mostre que na˜o tem soluc¸a˜o:
(a) 4 + x = 3 em Z6.
(b) 4x = 3 em Z6.
(c) 4 + x = 3 em Z9.
(d) 4x = 3 em Z9.
10) Em Z e a equac¸a˜o x2 = a so´ tem soluc¸a˜o se a e´ um quadrado perfeito.
Para quais elementos a a equac¸a˜o x2 = a tem soluc¸a˜o em Z7? E em
Z8? E em Z9?
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