Lista11

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 11
1) Sejam D domı´nio e a, b ∈ D e suponha que d e´ um mdc(a, b). Mostre
que todo elemento associado a d tambe´m e´ um mdc(a, b).
2) Sejam D domı´nio e a, b ∈ D. Suponha que d e´ um mdc(a, b) e que para
c ∈ D existam x, y ∈ D tais que ax+ by = c. Mostre que d|c.
3) Mostre que num domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica o mmc sempre existe.
4) Seja D domı´nio principal, mostre que se c ∈ D e´ um mmc(a, b) enta˜o
〈a〉 ∩ 〈b〉 = 〈c〉.
5) Mostre que Z[
√
2] e´ um domı´nio Euclidiano com a func¸a˜o norma de
maneria ana´loga ao feito em sala para Z[i].
6) Calcule o quociente e resto da divisa˜o de 17 + 32
√
2 por 3 − 4√2 em
Z[
√
2].
7) Seja D domı´nio Euclidiano com func¸a˜o Euclidiana v. Mostre que todo
elemento que atinge o menor valor para v e´ invers´ıvel.
8) Aplique o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc em Z[i] entre:
(a) 5 + 133i e 17 + 34i
(b) 85 e 1 + 13i.
9) Ache um gerador para o ideal 〈47− 13i, 53 + 56i〉 de Z[i].
10) Seja a, b ∈ Z, mostre que o mdc entre a e b e´ o mesmo em Z e Z[i] a
menos de multiplicac¸a˜o pelos invers´ıveis de Z[i].
11) Prove que o anel quociente Z[i]/I e´ finito para todo ideal na˜o nulo
I de Z[i]. (Dica: use o fato que I = 〈α〉 para algum α ∈ Z[i] e
aplique o algoritmo da divisa˜o para mostrar que podemos encontrar
um representante de cada classe como um elemento de norma menor
que N(α).)
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