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José do Carmo Toledo
Tendências em Educação Matemática
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UFSJMEC / SEED / UAB2013
Reitora
Valeria Heloisa Kemp
Coordenador UAB
Carlos Alberto Raposo da Cunha 
Coordenadora Geral NEAD/UFSJ
Marise Maria Santana da Rocha
Coordenadora do PACC 
Mirtes Zoé da Silva Moura
Conselho Editorial 
Alexandre Carlos Eduardo
Fábio Alexandre Matos 
Geraldo Roberto de Souza (Presidente)
Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva
José do Carmo Toledo 
José Luiz de Oliveira
Leonardo Cristian Rocha 
Maria do Carmo Santos Neta
Maria Rita Rocha Carmo 
Marise Maria Santana da Rocha 
Rosângela Branca do Carmo 
Terezinha Lombello 
Edição 
Núcleo de Educação a Distância - NEAD/UFSJ
Conselho Editorial NEAD/UFSJ
Capa / Diagramação 
Luciano Alexandre Pinto
Aluízio Sérgio da Silva
Tiragem
000 exemplares
3
Sumário
Para início de conversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Unidade 1 - Tecnologias da Informação e Comunicação. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Unidade 1 - Resolução de Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Unidade 1 - Etnomatemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Unidade 1 - Modelagem Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Unidade 1 - Jogos no ensino de Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Unidade 1 - História da Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Para final de conversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
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Para início de conversa...
... uma pergunta:
•	 Por que uma disciplina como esta num Curso de Graduação em Matemática?
Prezado(a)Aluno(a), como você bem o sabe, o chamado mundo do trabalho vem sofrendo profundas transformações nas últimas décadas. De um modo geral, a obtenção de 
um diploma de graduação não é mais suficiente para garantir a conquista de um bom 
emprego ou a eficiência (e a eficácia) do desempenho profissional. Uma disciplina como esta, além de ajuda-lo(a) em sua formação inicial como educador(a) matemático(a), pode lhe abrir caminhos para estudos de pós-graduação na área de Educação Matemática. É 
importante que você saiba desde já que, no campo da Educação, em particular, está cada 
vez mais evidente que o professor precisa assumir o caráter permanente de sua formação. Queremos dar o pontapé inicial desse processo. 
Assim, a fim de que você se prepare para o contínuo aprimoramento de sua instrução, é 
imprescindível que você tome contato, ainda na graduação, com as Novas Tendências 
em Educação Matemática.Portanto, o propósito desta disciplina é criar um contexto 
propício para que você construa um entendimento sobre
(i) diversas questões que dizem respeito à Educação Matemática como uma área 
de pesquisas;
(ii) as tendências investigativas desse campo científico e suas contribuições para o 
processo de formação do professor de Matemática;
(iii) aspectos do trabalho do educador matemático;
(iv) as potencialidades desse campo científico para o ensino e aprendizagem da Matemática.
Sinceramente, não tenho interesse em transformar esta disciplina em uma mera unidade 
curricular que fará parte apenas formal no seu histórico escolar. O meu desejo é que 
nasça, nas discussões que proporei, uma importantíssima oportunidade para que você 
definitivamente se aproxime da Educação Matemática, uma área de pesquisas ainda 
recente em nosso meio, mas que já oferece condições para auxiliá-lo(a) no exercício de 
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suas funções docentes e, mais tarde, no aprimoramento de sua qualificação profissional. 
Contudo, para que esta seja de fato uma instância significativa de sua formação – e eu 
consiga, assim, sucesso nas minhas pretensões –, dependo de sua inteira lealdade e de 
sua parceria.Além de estudar as Unidades que constituem este Módulo Didático, leia com 
cuidado as referências apontadas, refletindo detidamente sobre as questões pedagógicas nelas abordadas ou indicadas. Procure, por conta própria, novas fontes de consulta e incorpore-as ao seu material de estudo. Seu sucesso na disciplina depende, antes de tudo, 
de seu constante envolvimento. Que você se interessefortemente pelos assuntos aqui discutidos é o meu sincero desejo. Bons estudos!
Prof. José do Carmo Toledo.
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Introdução
Aqui nos propomos a discutir as “Tendências em Educação Matemática”. 
...mas, o que vem a ser isso?
Primeiro, é importante registrar formalmente o significado da palavra “tendência”. De 
acordo com o Novo Dicionário Eletrônico Aurélio, “tendência” significa1. Inclinação, propensão. 2. Vocação, pendor.
3. Força que determina o movimento de um corpo. 4. Intenção, disposição.
Em seguida, é imprescindível observar que, no enfrentamento das questões ligadas ao ensino de Matemática, diversos educadores matemáticos propõem práticas inovadoras 
que acabam por se destacar como tendências. Várias pesquisas na área de Educação 
Matemática têm apontado, ao longo de sua história, caminhos que podem ser adotados por 
aqueles que desejam alcançar mudanças efetivas no processo de ensino e de aprendizagem 
da Matemática. Consequentemente, tais caminhos se consolidam como uma tendência, 
principalmente quando levam à produção de resultados efetivos em sala de aula. Portanto, 
o objetivo precípuo desta disciplina é pontuar algumas das tendências que delimitam o 
campo da Educação Matemática. A intenção é dar a você, que está em processo inicial 
de formação de professor de Matemática, oportunidade de conhecer algumas “vocações” 
das pesquisas desta área. Afinal, elas podem ser decisivas no desenvolvimento do seu trabalho docente, além de lhe abrirem perspectivas para estudos mais avançados em nível de mestrado e doutorado. 
Pra deixar bem claro: quem são os “educadores matemáticos”?
Adotando a definição de Kilpatrick& Silver (2004), educadores matemáticos são todos 
aqueles que lidam profissionalmente com o ensino e a aprendizagem da Matemática, seja 
em que nível for.
E a expressão “Educação Matemática” a que se refere? 
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Ao responder a pergunta “o que é a Educação Matemática?”, Ubiratan D’Ambrosio, um 
pioneiro desta área no Brasil – de renome internacional –, assim se manifesta:
Um ramo da Educação? Sim. Não se pode tirar a Educação Matemática de seu lugar muito natural entre as várias áreas da Educação. Mas não seria 
também uma especialização da Matemática? Claro. Tem tudo a ver com 
Matemática. E por que, então, distingui-la como uma disciplina autônoma? Não 
poderíamos simplesmente falar em Educação Matemática como o estudo 
e o desenvolvimento de técnicas ou modos mais eficientes de se ensinar 
Matemática? Ou como estudos de ensino e aprendizagem da Matemática? 
Ou como metodologia de seu ensino no sentido amplo? Claro, não se pode 
negar que a Educação Matemática aborda todos esses e inúmeros outros desafios 
da Educação e, portanto, é tudo isso. Não obstante, há certas especificidades que 
tornam a Educação Matemática merecedora de um espaço próprio (D’AMBROSIO, 
1993, p. 7 – os grifos são meus).
Jeremy Kilpatrick e Edward Silver, dois conceituados acadêmicos norte-americanos, publicaram, em 2000, um artigo intitulado“Unfinished business: Challenges for 
mathematicseducation in thenextdecades”, que reúne reflexões sobre os grandes desafios da Educação Matemática nos Estados Unidos. No ano de 2004, em Portugal, uma tradução 
desse artigo foi publicada na Revista Educação e Matemática, nº 80, com o título “Uma 
tarefa inacabada: desafios aos educadores matemáticos para as próximas décadas”. 
Assumimos que tais apontamentos são muito apropriados também para uma discussão 
acerca da Educação Matemática brasileira. No referido artigo, Kilpatrick& Silver ponderam o seguinte:
•	 os professores de hoje estão com uma bagagem maior de conhecimentos matemá-
ticos e pedagógicos, se comparados com os docentes do início do século XX;
•	 os currículos escolares de Matemática estão mais completos do que os de um sé-culo atrás.
Apesar dessas vantagens, asseveram esse autores, os alunos não estão aprendendo 
Matemática suficientemente bem e, pior, saem da escola detestando a disciplina. Na 
realidade, os professores, além de não saberem Matemática o suficiente, não sabem como 
a devem ensinar de modo a que os alunos a aprendam. O currículo escolar de Matemática, 
no fim das contas, é superficial, aborrecido e repetitivo, falhando na preparação dos alunos para a usarem na sua vida fora da escola. “Se queremos que mais alunos aprendam e utilizem 
mais Matemática, com mais sucesso do que presentemente acontece, precisamos enfrentar 
esses desafios” (KILPATRICK & SILVER, 2004, p.80). Esse é o contexto adequado para 
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argumentar que a Educação Matemática é uma área de pesquisas que nasceu justamente 
para fazer face a tais desafios; em suas investigações, abordam-se, entre outras questões, 
os problemas que se apresentam no bojo dos processos de ensino e de aprendizagem da 
Matemática. Mas a Educação Matemática não é um produto do atual século. Afinal, como 
bem assevera Ubiratan D’Ambrosio, 
A complexidade da Matemática, sobretudo por suas relações com outras áreas 
de conhecimento e por suas implicações sociais, políticas e econômicas, justifica, 
desde a Antiguidade, reflexões, teorias e estudos sobre seu ensino (D’AMBROSIO, 
1993, p. 9).
De fato, a preocupação com o ensino da Matemática é histórica. Na Grécia antiga, a matemática era ensinada na escola pitagórica como um conhecimento necessário para a 
formação dos filósofos e dos futuros governantes, tendo o papel de definir os “espíritos 
mais talentosos”. Com Platão (~426-~348), houve a implantação definitiva da disciplina 
matemática, agora estendida até ao nível das crianças. Aliás, é bom que se diga, na educação 
infantil daquela época, pregava-se que deveriam ser propostos problemas adequados à 
idade das crianças e que eles deveriam ser desenvolvidos de maneira lúdica, através do 
uso de jogos, evitando-se exercícios puramente mecânicos. Além disso, nenhum tipo de 
castigo corporal deveria ser utilizado, alegando-se que “a coação não seria a forma mais 
adequada para resolver o problema da falta de interesse pelos estudos” (MIORIM, 1998, 
p.18).
Apesar dessas raízes históricas, bem antigas, foi no século XIX que as preocupações com o ensino da Matemática tiveram, efetivamente, grande impulso. Na verdade, foi também 
nessa época – meados do século XIX – que a Educação, de um modo geral, se estabeleceu 
como uma disciplina acadêmica. Com o advento da educação para todos – consequência 
natural do processo de industrialização que marcou aquele século –, e o aparecimento da universidade moderna na Alemanha, surgiram formalmente as primeiras cátedras de 
Educação. Quase ao mesmo tempo, foram iniciadas as reflexões sobre a Matemática como 
um assunto escolar com especificidades tais que se justificavam discussões especializadas sobre seu ensino.
E por falar em Alemanha, é oportuno observar que foi o alemão Felix Klein (1849-1925) que se propôs a desenvolver, em seu país, um currículo de Matemática moderna, incorporando os avanços da época. Naturalmente, assim como acontece hoje, a formação de professores 
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é essencial; afinal, um docente deve dominar o assunto de suas aulas de um ponto de vista 
crítico e mais avançado. Por sua relevância, as ideias de Klein foram publicadas na forma 
de um livro, clássico, que trata a Matemática Elementar de um ponto de vista avançado.
No início do século XX, a preocupação com o ensino da Matemática entre os 
matemáticos se institucionalizava. Em 1908, durante o Congresso Internacional de 
Matemática que se realizou em Roma (Itália), foi fundada a Comissão Internacional de Ensino de Matemática, precursora da atual Comissão Internacional de Instrução Matemática (ICMI: InternationalComissionofMathematicsInstruction). A partir de então, a Comissão tem-se reunido durante todos os Congressos Internacionais 
de Matemática, que se realizam a cada quatro anos. Em 1968, decidiu-se realizar, 
também quadrienalmente, o Congresso Internacional de Educação Matemática (ICME: 
InternationalCongressofMathematicsEducation), organizado sob responsabilidade da 
ICMI. Portanto, desde o início do século passado, pesquisas em Educação Matemática já haviam encontrado repercussão nos meios acadêmicos.
E no Brasil? O que se pode dizer sobre a área de Educação Matemática em nosso meio?
Em 1955, por iniciativa da Professora Martha de Souza Dantas, licenciada em Matemática pela Faculdade da Bahia, realizou-se em Salvador/BA o 1º Congresso de Professores de 
Matemática, tendo a participação ativa do matemático Omar Catunda, professor daquela instituição. Com a preocupação básica de discutir conteúdos e metodologias de ensino, 
foram realizados outros quatro Congressos dessa natureza. No ano de 1964, a discussão 
girava em torno da necessidade de se reformar o ensino de Matemática. O referido congresso teve lugar em São José dos Campos/SP e, como os outros três, foi coordenado 
por Oswaldo Sangiorgi, e, para se ter uma noção da relevância desse encontro, contou 
com a presença de Georges Papy (1920-2011), professor da Universidade de Bruxelas (Bélgica), um dos grandes promotores da chamada Matemática Moderna. Esse é apenas 
um exemplo de movimento em torno de questões ligadas ao ensino de Matemática no Brasil.
Foi somente a partir da década de 1980 que a Educação Matemática ampliou seu espaço 
no cenário educacional. Como fruto desse crescimento, fundou-se, em 1988, a Sociedade 
Brasileira de Educação Matemática – SBEM, que tem como finalidade congregar 
profissionais da área de Educação Matemática ou áreas afins. Atualmente, no País, há vários 
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centros ou grupos de estudos e pesquisa em Educação Matemática, como, por exemplo, na Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) e na Universidade Estadual Paulista (UNESP/Rio Claro). Em Santa Catarina, destacam-se a Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), a Universidade Regional de Blumenau (FURB) e o Núcleo de Estudos em 
Educação Matemática (NEEM) da Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL).
O desafio: ensinar matemática ou educar matematicamente?
A essência da educação é a mudança social em direção a uma sociedade mais justa e mais igualitária. Em particular, entre os objetivos do ensino de Matemática na escola 
inclui-se o desenvolvimento do poder dos alunos e dos indivíduos em sociedade, quer para ultrapassar barreiras do seu desenvolvimento em termos de educação e emprego, 
quer no sentido de aumentar a sua autodeterminação e o seu envolvimento crítico na 
cidadania social. Na prática escolar, isso significa abrir espaços de discussão em que haja 
questionamentos permanentes e sistemáticos, inclusive acerca dos temas matemáticos 
(e da relevância deles). A ideia é permitir (e encorajar) o conflito de opiniões e de pontos 
de vista. O educador matemático, portanto, além de desenvolver materiais e atividades didáticas para o ensino de matemática, deve se lançar na possibilidade de1. repensar, junto com seus alunos, as funçõesda escola;2. avaliar o significado do ensino da matemática escolar;3. criticar a eficácia dos métodos de ensino vigentes;4. refletir continuamente sobre o papel do professor no processo de ensino e apren-
dizagem da Matemática;5. elaborar um olhar crítico sobre sua própria prática pedagógica.
Nesses termos, uma pergunta desafiadora – e sem uma resposta pronta – se põe:
•	 O que significa ensinar e aprender Matemática no mundo em que vivemos?
Um bom começo para abordar essa problemática, de modo consciente e responsável, pode estar na mudança de foco:
•	 em vez da ideia de “ensinar Matemática”, que tal uma proposta de “educar ma-
tematicamente”?
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A pura transmissão de fatos matemáticos às crianças e aos jovens já não faz mais sentido no mundo atual. Embora não seja tão facilmente percebido, a sociedade está regulada 
por modelos matemáticos complexos que, para serem compreendidos, requerem o 
conhecimento de determinados conteúdos da Matemática. É essencial, portanto, que se tenha a capacidade de saber lidar com tais modelos, de perceber as suas presença no dia a dia, de aprender a ser crítico relativamente aos modos como são aceitos na sociedade, 
de identificar suas reais intenções e as formas como são produzidos. Por conta disso, 
acreditamos que a ênfase deve ser dada à educação matemática (dos estudantes) e não ao simples e rotineiro ensino de Matemática. 
Para Matos (2004), ao distinguir entre ensinar Matemática e educar matematicamente, duas perspectivas são confrontadas. Algumas visões atuais sobre a didática da Matemática 
colocam o seu ensino como incidindo essencialmente na tarefa de fazer com que os 
alunos aprendam Matemática e ponto final. Nessa linha, aprender Matemática significa conhecer fatos matemáticos. Portanto, nesse contexto, educar matematicamente parece ser entendido como fornecer aos alunos fatos matemáticos recontextualizados na prática 
escolar, tendo em vista que eles foram desenvolvidos nas práticas dos matemáticos, com 
o argumento de que ou serão úteis noutras disciplinas ou serão úteis alguma vez na vida. 
É o que Skovsmose e Valero (2002) chamam de “ressonância intrínseca”, isto é, a crença 
de que as aprendizagens matemáticas tradicionais farão (algum dia) ressonância no 
desenvolvimento pessoal e social dos jovens e dos adultos. Essa convicção equivocada, 
além de reduzir a importância da Educação Matemática na formação global do 
indivíduo, despreza o fato de que, por diversas razões, uma grande parte dos estudantes 
será tacitamente excluída do acesso às formas mais avançadas de conhecimento e a 
outras posições sociais e empregos, ficando, assim, excluída, por antecipação, de uma 
aprendizagem matemática significativa e significante.
No meio educacional ainda persiste a ideologia – muitas vezes não manifestada de forma 
explícita – de que o conhecimento, embora um produto humano, é neutro, ou seja, existe 
completamente desatrelado das pessoas que o produzem, isento, assim, de valores e de objetivos. Desse modo, a aprendizagem é entendida como descoberta, descrição e 
classificação de fatos estáticos. Contudo, como alerta Matos (2004), o conhecimento 
matemático é continuamente criado e recriado à medida que as pessoas atuam e refletem 
sobre o mundo. O conhecimento matemático não é fixado de modo permanente pelas 
propriedades abstratas dos objetos e ferramentas da Matemática. Adquirir e produzir 
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conhecimento são as duas faces de uma mesma moeda. Nesse âmbito, ele pode ser entendido como resultado do processo de agir e interagir da consciência humana e da 
realidade. Através da ação e da reflexão, produzem-se práticas que recriam a percepção e a descrição da realidade. Porém, como destaca o referido autor, essas práticas não são 
neutras. O conhecimento matemático não existe fora dos modos como ele é usado, alienado 
dos interesses para os quais é formalizado e das razões pelas quais é aplicado. Do mesmo 
modo, a educação matemática ou o ensino da matemática que é oferecido aos alunos não 
existe fora dos modos, interesses e razões que lhe estão subjacentes (tenhamos ou não 
consciência delas). A Matemática, enquanto disciplina, contribui decisivamente para a exclusão escolar e social de um número elevadíssimo de crianças e de jovens. As estatísticas a respeito estão aí para comprovar isso. Não podemos minimizar, nem mesmo ignorar, 
esse filtro social que vem se estabelecendo, ao longo dos séculos, no contexto do ensino 
da matemática nas escolas fundamental e média. O papel do professor de Matemática não é apenas ensinar Matemática. Não se pode desconhecer a dimensão social, ética e política 
no ensino da Matemática e assumir que não existe neutralidade neste ensino. Uma análise 
criteriosa a respeito das mudanças que essa postura impõe na prática docente, na vida dos 
professores – e da escola – vai além dos objetivos desse módulo didático. Limitamo-nos a apenas ponderar sobre o tema.
Numa outra perspectiva, como observa Matos (2004), pode-se entender que a Matemática 
constitui um instrumento que confere uma dimensão muitíssimo potente aos modelos que a sociedade cria e adota. Como tal, a educação deve incluir formas de aprender a lidar com esses modelos. Uma parte dessa aprendizagem pode resultar de educar matematicamente 
os jovens, o que enseja a ideia de levar os alunos a se apropriarem dos modos de entender 
matematicamente as situações do dia a dia, que não pode ser entendido como o que se 
passa necessariamente fora da escola, mas todo o conjunto de atividades que faz parte da vida diária das pessoas.
Diante de tantos desafios, é evidente que educador algum consegue aprimorar sua 
prática de ensino apenas com boa vontade. É aí que podem contribuir as pesquisas da 
área de Educação Matemática. Por isso, vamos refletir, nas unidades seguintes deste livro, sobre algumas de suas tendências. Cada uma delas pode abrir caminhos para uma ação 
pedagógica que ajude a construir novas perspectivas para o ensino de Matemática.
Pra não perder o foco: qual é mesmo o objetivo desta disciplina “Tendências em 
Educação Matemática”?
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Discutir ideias e metodologias inerentes a alguns campos de estudo que se têmdestacado 
na área de pesquisa em Educação Matemática, a saber:1. Tecnologias da Informação e Comunicação2. Resolução de Problemas3. Etnomatemática4. Modelagem Matemática5. Jogos no ensino de Matemática6. História da Matemática
A intenção é oferecer a você, caro(a) Estudante, uma oportunidade de identificar e analisar as principais correntes associadas ao movimento internacional de Educação 
Matemática. Com isso, acreditamos, você enriquece sua formação pedagógica e conhece 
alguns aspectos de uma grande área de pesquisa, no âmbito da qual você poderá realizar estudos mais avançados, em nível de pós-graduação.
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unidade 1
Tecnologias da Informação e Comunicação
Objetivos
•	 Executar uma atividade de ensino usando um software matemático.
•	 Descrever alguns aspectos inerentes ao uso de Tecnologias da Informação e Comu-
nicação no ensino de Matemáwtica.
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De início, quero convidar você para assistir a um vídeo da Internet. Ele nos leva a fazer 
uma reflexão que vem a calhar neste momento. O vídeo pode ser assistido no seguinte 
link: <http://www.youtube.com/watch?v=IJY-NIhdw_4>. Acesso em 12 abril. 2013. (Vídeo n° 1)
Não nos esquecendo jamais do alerta provocado pelo vídeo acima, vamos começar as discussões desta unidade.
Uma coisa é certa: no século presente, vemos a sociedade caminhar para o que denominamos 
de “uma nova ecologia cognitiva”. As tecnologias da informação e comunicação – TIC estão 
sendo determinantes nesta mudança: são os ambientes informatizados que ampliam cada 
vez mais nossas capacidades intelectuais; são as redes de comunicação que nos oferecem 
os mais variados tipos de informação em acesso direto; são os trabalhos cooperativossíncronos e assíncronos, entre pessoas fisicamente distantes, que se tornam uma realidade. 
Os educadores matemáticos precisam considerar esses aspectos quando pensam sobre sua ação pedagógica em sala de aula.
O que está por trás do termo TIC?
O termo TIC refere-se à conjugação da tecnologia computacional ou informática com 
a tecnologia das telecomunicações e tem na Internet – e mais particularmente na 
WorldWide Web (WWW) – a sua mais forte expressão. Essas tecnologias são usadas para apoiar e desenvolver ambientes de aprendizagem. Portanto, as TIC estão associadas aos computadores e a todas as suas interfaces, incluindo
•	 softwares educacionais (matemáticos), como o Winplot, CabriGèométre, GeoGebra 
e Wingeom;
•	 softwares como o Microsoft Excel e Microsoft Word;
•	 webcams, páginas WWW, comunicadores instantâneos, como o MSN Messenger e 
o Skype, redes sociais, como o Twitter e o Facebook;
•	 Calculadoras Gráficas e outras possibilidades associadas à informática.
Para quem olha superficialmente, o uso de tecnologias como essas se restringe a uma mera atividade prática motivadora no contexto do ensino e da aprendizagem da Matemática. 
No entanto, as TIC são mais do que isso. Elas são, efetivamente, uma ferramenta que 
transforma o ser humano que com ela trabalha. Como observa Tikhomirov (1981), os processos mentais no ser humano mudam quando as atividades práticas também 
unidade 1
18
sofrem alterações. O uso do computador provoca a transformação da atividade humana, proporciona novas possibilidades, oferece feedbacks aos professores e, desse modo, 
a produção do conhecimento é modificada. Portanto, as TIC interferem na estrutura da atividade intelectual, reorganizando, assim, os processos de criação, de busca e de armazenamento de informações. 
Vamos clarear essas ideias!
Para Miranda (2007), “a investigação tem demonstrado que a estratégia de acrescentar 
a tecnologia às atividades já existentes na escola e nas salas de aula, sem nada alterar nas práticas habituais de ensinar, não produz bons resultados na aprendizagem dos 
estudantes”. E por que não? Existem várias razões. Duas são muito importantes, a saber:1. A maioria dos professores manifesta falta de habilidade no uso das tecnologias, 
principalmente as computacionais. De acordo com Miranda (2007), “vários estu-
dos têm revelado que a maioria dos professores considera que os dois principais obstáculos ao uso das tecnologias nas práticas pedagógicas são a falta de recursos 
e de formação.”2. A integração inovadora das tecnologias exige um esforço de reflexão e de modifica-
ção de concepções e práticas de ensino que grande parte dos professores não está disponível para fazer. Alterar estes aspectos não é tarefa fácil, pois é necessário esforço, persistência e grande empenho.
Não se pode negar que alguns professores têm uma concepção romântica sobre os 
processos que determinam a aprendizagem e a construção de conhecimento e, ao mesmo 
tempo, do uso das tecnologias no ato de ensinar e aprender. Pensam que é suficiente 
colocar os computadores nas salas de aula, com alguns softwares ligados à Internet, que 
os alunos vão aprender e as práticas serão alteradas. Sabemos que não é assim. Miranda 
(2007) lembra que os resultados mais conclusivos do imenso esforço de investigação que acompanhou a introdução em grande escala das tecnologias computacionais no ensino 
mostram que acrescentar esses recursos às atividades já existentes nas escolas não 
produz efeitos positivos visíveis na aprendizagem dos alunos, na dinâmica da classe e 
no envolvimento do professor. Clark (1994) considera que as mídias educativas por si só 
nunca influenciarão o desempenho dos estudantes. Os efeitos positivos só se verificam 
quando os professores acreditam e se empenham de “corpo e alma” na sua aprendizagem 
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e domínio e desenvolvem atividades desafiadoras e criativas, que explorem ao máximo as 
possibilidades oferecidas pelas tecnologias. E para isso é necessário que os professores as usem com os alunos a) como novos formalismos para tratar e representar a informação, 
b) para apoiar os alunos a construir conhecimento significativo e c) para desenvolver projetos, integrando (e não apenas acrescentando) criativamente as novas tecnologias ao currículo.
De fato, os sistemas informáticos – considerados como novos formalismos para tratar e 
representar a informação –, ancorados nos sistemas convencionais, vão modificar o modo 
como as crianças estão habituadas a aprender e também amplificar o seu desenvolvimento 
cognitivo. Os processadores de texto como o Word for Windows, por exemplo, modificam 
o modo como os usuários estavam habituados a escrever; por isso, estes precisam não só aprender as convenções e procedimentos da escrita no papel, como os procedimentos e 
funções do editor de texto. O mesmo se poderá dizer em face dos softwares matemáticos. Eles alteram, por exemplo, o modo de conceber o desenho, de pensar um gráfico, de 
classificar as coisas, pois se baseiam em formalismos diferentes dos tradicionais. Exigem 
novas aprendizagens e aumentam as antigas. Como afirma Borba (2010), os ambientes 
computacionais condicionam as ações quando se tem que resolver uma atividade ou um problema matemático. Como complemento ao uso do lápis e papel, o uso de softwares matemáticos oferece diferentes estratégias de ação. De acordo com Borba e Villarreal (2005), o principal retorno dado pelos softwares se refere ao aspecto visual. Com o 
Winplot, por exemplo, os estudantes podem inserir uma função e gerar um gráfico que apresenta o seu comportamento. Mediante um processo experimental, com o uso de 
teconologia, eles poderão variar os parâmetros, analisar tal comportamento e confrontar 
com a representação algébrica. Portanto, o educador matemático, quando usa tal software 
em sala de aula, não busca apenas e tão-somente uma atividade dinâmica e motivadora. 
Como no exemplo dado, a elaboração de gráficos tem a finalidade de instigar a “revelação” de características importantes dos dados numéricos. Em geral, os softwares educacionais têm a capacidade de realçar o componente visual da matemática e transformar o ambiente de aprendizagem com computadores. Nesse contexto, professores, alunos, mídia e conteúdos matemáticos precisam estar conectados e se relacionar intensivamente. A 
mídia adquire, assim, outro status, indo além de simplesmente mostrar uma imagem. O 
software torna-se ator no processo de fazer matemática e não apenas um coadjuvante. 
Para isso, o professor tem que dominar as ferramentas tecnológicas por ele incorporadas 
à sala de aula. Só assim será possível levar os alunos a explorar as potencialidades dos 
unidade 1
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novos sistemas de tratamento e representação da informação. Assim como a escrita 
pode exprimir-se de um modo mais flexível e plástico, quando se usa um processador de 
texto, esboçar e transformar gráficos pode ser uma atividade compensadora na educação 
matemática. E o que dizer da construção de bases de dados sobre quase todos os tópicos 
que se possam imaginar? Um aspecto, contudo, precisa ser destacado: as mudanças nos modos de aprender e de organizar cognitivamente a informação não serão visíveis de imediato, pois todos os processos de mudança mental são lentos, levam gerações. Mas a 
aprendizagem de certos sistemas simbólicos – e seus formalismos – deixam “marcas” na 
organização mental e cerebral do usuário, e isso, é óbvio, tem implicações benéficas no processo de aprendizagem.
Enfim, como bem observa Miranda (2007),
O uso efetivo da tecnologia nas escolas, nomeadamente nas salas de aula e no desenvolvimento de ambientes virtuais de aprendizagem, é ainda um privilégio 
de alguns docentes e alunos. As variáveis que parecem ter mais influência neste 
processo são múltiplas, como vimos, mas penso que uma sólida formação técnica e pedagógica dos professores bem como o seuempenhamento são determinantes. 
Será ainda preciso pensar as tecnologias não como “apêndices” das restantes 
atividades curriculares, um prémio que se dá aos alunos bem comportados ou um 
“tique” insólito de alguns docentes, mas como um domínio tão ou mais importante 
que os restantes que existem nas escolas. Só assim se conseguirá generalizar o uso 
das tecnologias no ensino (MIRANDA, 2007, p. 8).
O software CabriGéomètre II
Não há dúvida de que diversos recursos tecnológicos podem e devem ser utilizados no 
contexto educacional. Como assevera Valente (1993), 
Os computadores podem ser usados para ensinar. A quantidade de programas 
educacionais e as diferentes modalidades de uso de computador mostram que a tecnologia pode ser bastante útil no processo de ensino/aprendizagem. E mais: 
para a implementação do computador na educação, são necessários quatro 
ingredientes: o computador, o software educativo, o professor capacitado para 
usar o computador como meio educacional e o aluno. O software é um ingrediente 
tão importante quanto os outros, pois, sem ele, o computador jamais poderia ser 
utilizado na educação. (VALENTE, 1993, p.3)
Contudo, é imprescindível que o professor compreenda o significado do processo de 
aprendizagem através da construção do conhecimento mediado por uma TIC, um software, 
21
por exemplo. De modo inequívoco, ele precisa ter pleno domínio do conteúdo que será 
abordado. Em seguida, é necessário que ele conheça as possibilidades do programa 
computacional que ele incluirá na sala de aula, a fim de que possa acompanhar o aluno 
nesse ambiente e intervir adequadamente quando se fizer necessário. Dependendo do ambiente informatizado escolhido, o professor pode rever o caminho trilhado pelo aluno 
na solução de determinado problema, identificando, assim, o momento em que ele se 
afastou do objetivo pretendido, buscando entender as razões que o levaram a executar determinadas ações, sendo possível, portanto, acompanhá-lo no processo de elaboração do conhecimento.
Portanto, mais uma vez queremos destacar o seguinte aspecto: incluir uma TIC em sala 
de aula não se resume a exibi-la para os alunos e deixar que eles a manuseiem como uma mera diversão. A ideia não é simplesmente levar alegria e descontração para o contexto 
educacional. Sem o planejamento comprometido das atividades que serão desenvolvidas com o uso de um recurso tecnológico não será possível avançar no processo de ensino e de aprendizagem. 
Para deixar mais evidentes, e mais pontuais, algumas questões que se fazem presentes no 
momento em que se decide usar uma TIC em sala de aula, vamos refletir, agora, sobre o 
uso do software Cabri-Géomètre II na Educação Matemática. 
O Cabri-Géomètre – ou, simplesmente, Cabri – é um software1 que permite construir todas 
as figuras da geometria elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e 
de um compasso. Uma vez construídas, as figuras podem se movimentar conservando as 
propriedades que haviam sido atribuídas a elas. Essa possibilidade de deformação permite o acesso rápido e contínuo a todos os casos, constituindo-se numa ferramenta rica de 
validação experimental de fatos geométricos. Ele tem outros aspectos que vão muito além 
da manipulação dinâmica e imediata das figuras.
1 O Cabri-Géomètre éw um software desenvolvido por J. M. Laborde,FranckBellemain e Y.Baulac, no 
Laboratório de Estruturas Discretase de Didática da Universidade de Grenoble. Esteé um laboratórioas-
sociado ao CNRS, instituição francesa equivalente ao CNPqbrasileiro.O Cabri-Géomètre é representado no 
BRASIL desde 1992 pelo PROEM - Programas de Estudos ePesquisas no Ensino daMatemática da PUC-SP.
unidade 1
22
Para os leitores que não conhecem esse software, vale a pena dar uma olhada, por exemplo, nos vídeos disponíveis nos links abaixo:
•	 Vídeo nº 2: uma aula com o Cabri: 
<http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=T1lD69I0pgY&feature=endscreen>. Acesso em 23 fev. 2013.
•	 Vídeo nº 3: tutorial em espanhol sobre o Cabri:
<http://www.youtube.com/watch?v=9_6KJqmtClo>. Acesso em 23 fev. 2013.
•	 Vídeo nº 4: tutorial em português, mostrando recursos básicos do programa:
<http://www.youtube.com/watch?v=kcL39ZmC3KU>. Acesso em 23 fev. 2013.
Para os que desejarem testar o programa, os links abaixo podem ser usados para baixar uma versão de avaliação:
<http://www.cabri.com/download-cabri-2-plus.html>. Acesso em 23 fev. 2013. ou
<http://www.cabri.com.br/index.php>. Acesso em 23 fev. 2013.
As principais características do Cabri-Géomètre são as seguintes:
1. As figuras geométricas desenhadas têm movimento na tela, mantendo as suas proprie-
dades (é o que se denomina de Geometria Dinâmica).2. O aluno executa atividades que lhe permitem construir o seu conhecimento.3. Trata-se de um software aberto, isto é, o professor cria as atividades da maneira que desejar.4. Permite trabalhar conceitos geométricos junto com a construção das figuras.5. Possibilita a exploração das propriedades geométricas dos objetos e suas relações.6. Oferece condições para que sejam feitas comprovações experimentais de resultados teóricos, formulação de hipóteses e conjecturas.7. Disponibiliza, a qualquer tempo, o histórico de uma construção, possibilitando que 
sejam feitas correções ao longo do processo de construção das figuras geométricas.
8. Memoriza uma sequência de construções que poderá ser reproduzida instantanea-mente (chamada macro-construção).
unidade 1
23
O Cabri possui muitos recursos na construção das figuras geométricas possibilitando movê-las e deformá-las, permitindo explorar e investigar desde a geometria elementar até a geometria mais avançada. Ele permite visualizar lugares geométricos e observar 
a evolução em tempo real durante as modificações da figura e ainda mede distâncias 
e ângulos. Para Purificação (1999), quando usados adequadamente, esses recursos tecnológicos facilitam a construção de conhecimentos geométricos de maneira 
significativa. São alguns desses elementos: a interatividade que propiciam, os recursos 
de manipulação e movimento das figuras geométricas que se apresentam na tela do computador e possibilitam explorar as propriedades do objeto levando-o a experimentar, testar hipóteses, desenvolver estratégias, argumentar e deduzir, além de contribuir para o desenvolvimento de habilidades em perceber diferentes representações de uma mesma 
figura, levando-o, dessa maneira, à descoberta e ao entendimento das propriedades das 
figuras geométricas estudadas.
Assim, o Cabri-Géomètre pode ser uma ferramenta pedagógica importante. Para isso, as atividades programadas pelo professor devem levar o estudante a agir sobre os objetos 
matemáticos, observando a diversidade dos desenhos, enriquecendo a concretização 
mental e tendo a oportunidade de refletir sobre o que foi produzido no computador. Além disso, é possível corrigir os próprios erros, repetindo-se as atividades ou procurando outras estratégias de resolução de problemas propostos. Com o software, os alunos podem 
realizar, de maneira mais ágil e consistente, construções geométricas que usualmente são feitas com régua e compasso. A utilização do Cabri permite, também, o desenvolvimento 
de atividades de livre exploração em que o estudante interage com o computador, num 
universo próximo ao do lápis e papel que ele bem conhece. Os próprios Parâmetros 
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, de 1998, destacam a importância desse aspecto experimental na aprendizagem da Geometria, potencializado pelo uso do Cabri. 
Nesse documento, afirma-se:
As atividades de Geometria são muito propícias para que o professor construa 
junto com seus alunos um caminho que a partir de experiências concretas leve-os 
a compreender a importância e a necessidade da prova para legitimar as hipóteses 
levantadas. Para delinear esse caminho, não se deve esquecer a articulação 
apropriada entre os trêsdomínios citados anteriormente: o espaço físico, as figuras 
geométricas e as representações gráficas. (BRASIL, 1998, p. 126)
24
Refletindo, na prática, sobre o uso de uma TIC na Educação Matemática
Se você deseja usar uma tecnologia em sala de aula, comece investigando o potencial das ferramentas digitais. Uma boa estratégia é apoiar-se nas experiências bem-sucedidas de 
professores e de pesquisadores em geral. Por essa razão, é interessante e oportuno que 
você realize a tarefa aqui proposta.
Na página da Internet, cujo linkdisponibilizamos a seguir, estão disponíveis diversas 
atividades de Matemática que fazem uso de um ambiente informatizado para sua resolução. Todos os softwares utilizados em tais atividades estão disponíveis para download, na própria página.
O link é o seguinte:
<http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/tecmat/atividades/sugest.htm>. Acesso em 23 fev. 2013.
ATIVIDADE AVALIATIVA
Escolha uma atividade, entre as propostas no site acima, e faça o seguinte:
•	 baixe em seu computador o programa necessário para o desenvolvimento da 
atividade;
•	 execute a atividade tal como ela está proposta;
•	 elabore um pequeno relatório sobre a realização da atividade escolhida, des-
crevendo os aspectos que julgar mais importantes. Ao final do relatório, res-
ponda a seguinte pergunta, apresentando uma justificativa:
o Por que você, como professor, levaria essa atividade para a sua sala de 
aula? 
unidade
Resolução de Problemas
unidade 2
Objetivo
•	 Elaborar atividades de ensino de Matemática de cinco tipos (exercícios de reco-nhecimento, exercícios algorítmicos, problemas de aplicação, problemas em aber-to e situações-problema). 
unidade 2
27
Como já dissemos, as Tendências em Educação Matemática surgem de movimentos que 
buscam discutir e aprimorar a prática docente de modo a tornar mais eficiente e eficaz o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. A Resolução de Problemas se insere 
nesse contexto. Como Thomas Butts (1997), os pesquisadores dessa área acreditam que 
“o verdadeiro prazer em estudar Matemática é o sentimento de alegria que vem da reso-
lução de um problema”; a propósito, “quanto mais difícil o problema, maior a satisfação.”
Por que os educadores matemáticos investem na Resolução de Problemas?
Os educadores matemáticos assim procedem porque defendem a tese de que os proble-mas são capazes de levar o aluno a
•	 investigar e compreender os conteúdos matemáticos;
•	 desenvolver e aplicar estratégias para suas resoluções;
•	 relacionar a Matemática com situações do dia a dia;
•	 encarar a Matemática como uma disciplina atraente e desafiadora.
Dante (2003) é categórico ao afirmar que o maior objetivo da instrução matemática deve ser o de desenvolver a habilidade de resolver problemas matemáticos. Construir concei-
tos matemáticos, princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habi-lidoso é importante. Contudo, a virtude essencial de aprender os conteúdos matemáticos é a de ser capaz de usá-los para solucionar determinadas situações-problema.
Exercício e Problema são a mesma coisa?Não. Para Silveira (2001), o exercício é uma atividade de adestramento no uso dealguma 
habilidade ou conhecimento matemático, já conhecido por quem resolve, como, por 
exemplo, a aplicação de um algoritmo ou de uma fórmula conhecidos. Enquanto o exercício envolve mera aplicação, o problema necessariamente tem a ver com invençãoe/oucriação 
significativa. Para jogar luz a essa questão, suponha que um aluno do 9º ano do Ensino 
Fundamental – e é importante identificar o sujeito, pois o que pode ser um problema 
para um pode não o ser para outro – esteja em uma sala de aula de Matemática. Veja um 
exemplo de atividade – e sua classificação – que pode ser proposta a esse aluno:
28
Exercício
•	 Usando a fórmula de Bhashara, re-
solva a equação 2x2 – 6x + 2 = 0.
Problema
•	 Prove a fórmula de Bhaskara, que dá as ra-
ízes de uma equação quadrática.
Aqui, supõe-se que tal aluno conheça a 
aludida fórmula.
Nesse caso, supõe-se que o mencionado aluno 
conheça a fórmula, mas nunca tenha visto a sua 
demonstração.
Para Saviani (1999), uma pergunta por si só não caracteriza um problema, mesmo que sua 
resposta seja desconhecida. O que identifica um problema é aquela questão cuja resposta, além de não ser conhecida, deseja-se conhecer. Para que uma situação seja um problema, 
é necessário que a pessoa a quem ela será proposta esteja ciente da mesma, se manifeste 
interessada em resolvê-la e que não conheça os elementos necessários para a sua solução.
Para Charnay (1996), 
[...] só há problema se o aluno percebe uma dificuldade; uma determinadasituação que 
‘provoca problema’ para um determinado aluno pode ser resolvidaimediatamente por outro (e então não será percebida por este último comosendo um problema). Há então, uma ideia de obstáculo a ser superado (p.46).
Além disso, o ambiente em que um problema é proposto é um elemento que o corrobora. 
Portanto, as condições didáticas daresolução (organização da aula, intercâmbio, expectativas explícitas ou implícitas do professor) fazem parte do problema.
Como classificar as questões matemáticas?
Para o desenvolvimento coerente e consistente de uma proposta de ensino via Resolução 
de Problemas, é importante estabelecer uma classificação das questões matemáticas. Desse modo, é possível elaborar uma aula com objetividade e segurança. À luz das ideias 
de Butts (1997), temos
1. Exercícios de reconhecimento
São aqueles pelos quais se deseja que o aluno apenas reconheça, identifique ou relembre 
um dado conceito, um fato específico, uma definição ou um teorema. 
unidade 2
29
Exemplo 1
Identifique, entre as figuras geométricas abaixo, aquelas que são espaciais (tridimensio-nais)
Resposta:1 e 3.
Exemplo 2
Entre as matrizes a seguir, reconheça quais são quadradas.
Resposta: B e C.
Exemplo 3
Entre os números naturais a seguir, assinale os que são ímpares.
 1.037 34 3 477 18 240.810
Resposta: 1.037, 3 e 477.
Exemplo 4
Quais dos números complexos abaixo são imaginários puros?
(a) 1 + 3i (b) 4i (c) 4 (d) –3i
Resposta: (b) e (d).
2. Exercícios algorítmicos
São aqueles que podem ser resolvidos com um algoritmo específico, com uma definição dada ou simplesmente executando-se um procedimento passo a passo.
30
Exemplo 1(a) Obtenha a soma da matriz A com a matriz B no seguinte caso:
, 
(b) Obtenha a matriz diferença C – D no seguinte caso:
Solução:
(a) A + B =(b) Impossível de se obter, uma vez que as matrizes dadas não têm o mesmo tamanho.
Exemplo 2
Encontre todos os números reais x tais que x2 – 2x + 1 = 0.
Solução
Duas soluções possíveis:
•	 Usando-se a fórmula de Bhaskara, temos:
x = Portanto, apenas o número 1 satisfaz a igualdade acima.
•	 Observando-se que x2 – 2x + 1 = (x – 1)2, temos que a equação dada se resume a (x – 1)2 = 0
A fim de que o quadrado de um número seja igual a zero, é preciso que esse número seja nulo. 
Assim, x – 1 = 0, ou seja, x = 1.
Exemplo 3
Resolva a seguinte equação:
6b + 8 = 3b – 3
Solução:
6b – 3b = –8 – 3
3b = –11
b = 
unidade 2
31
Exemplo 4
Some os números 2,345 e 67,62
Solução:
Observação– Como se pode notar, os exercícios de reconhecimento e os algorítmicos não 
permitem a exploração dos conhecimentos que os alunos já possuem e não possibilitam 
o desenvolvimento de suas criatividades. Por conta dessas características, o ideal é que o 
professor somente use essas questões quando desejar averiguar se o aluno conhece fatos 
específicos do conteúdo que está sendo ensinado.
3. Problemas de aplicação
Como a própria expressão indica, são problemas que envolvem a aplicação direta de um 
ou mais algoritmos anteriormente aprendidos, nãoexigindo, pois, qualquer estratégia 
específica. Suas soluções já estão contidas no próprio enunciado, de modo que a tarefa 
básica é transformar oenunciado usual em linguagem matemática identificando as operações ou algoritmos necessários para resolvê-lo. 
Exemplo 1
Uma pessoa comeu 4 maçãs e 3 mexericas. Se a meta é comer 10 frutas, quantas faltam para 
serem comidas?
Solução
•	 Modo 1: 4 maçãs + 3 mexericas = 7 frutas
10 frutas – 7 frutas = 3 frutas
•	 Modo 2: Chamando-se de x a quantidade de frutas que faltam para completar a meta, temos:
x + 4 + 3 = 10
x + 7 = 10
x = 10 – 7
x = 3
Conclusão: faltam 3 frutas. 
32
Exemplo 2
Juntos, Filipe e Miguel têm 7 reais. Se o dobro do que Filipe tem mais o triplo do que Miguel 
possui é 18 reais, quantos reais tem cada um?
Solução
Chamando-se de f a quantia em reais de Filipe e de m a quantia de Miguel, temos:
Multiplicando-se a primeira equação por 2, temos:
Subtraindo-se, membro a membro, as duas equações acima, obtemos:
(2f – 2f) + (2m – 3m) = 14 – 18
–m = 14 – 18
–m = –4
m = 4
Como f + m = 7, então f + 4 = 7, ou seja,
f = 7 – 4 
f = 3
Portanto, Miguel tem 4 reais e Filipe tem 3 reais.
Exemplo 3
O dobro de um número complexo somado com 5 + 7i é igual a 3 + 4i. Encontre esse número.
Solução
Vamos denominar de a + bi o referido número complexo. Portanto, desejamos determinar os 
números reais a e b para encontrar o número complexo em questão.
2(a + bi) + (5 + 7i ) = 3 + 4i
(2a + 2bi) + (5 + 7i ) = 3 + 4i
(2a + 5) + (2b + 7)i = 3 + 4i
O número é 
unidade 2
33
Exemplo 4
São nulos os elementos da diagonal secundária de uma matriz A real, 2x2. Determine A, nos 
seguintes casos:(a) A soma dos elementos da diagonal principal é 5, e o determinante da matriz é 10.(b) A soma dos elementos da diagonal principal é 5, e o determinante da matriz é 6.
Solução(a) Seja a matriz em questão, onde a e b são números reais. (b) Assim, temos que
Da 1ª equação, tiramos que a = 5 – b. Substituindo isso na 2ª equação, temos
(5 – b)b = 10
5b – b2 = 10
b2 – 5b + 10 = 0
Como o discriminante dessa equação quadrática é –25, concluímos que não existem números 
reais a e b que satisfaçam as duas igualdades. Portanto, não existe matriz A com as propriedades 
dadas.
(c) Nesse caso, temos
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos dois valores para a (2 ou 3). Se a = 
2, então b = 3; se a = 3, então b = 2. Portanto, existem duas matrizes, com as propriedades dadas:
Observação – É importante observar que, de um modo geral, os problemas de aplicação 
não aguçam a curiosidade do aluno nem o desafiam. Apesar disso, esse tipo de atividade pode ser necessário ao longo do processo de ensino e de aprendizagem. Portanto, o educador pode lançar mão dele em momentos de sua aula.
34
4. Problemas em aberto
Problemas em aberto são aqueles que não trazem, no enunciado, uma estratégia para as 
suas resoluções. A vantagem é que, num único problema, se abordam diversos conteúdos. 
Especificamente, os problemas em aberto se caracterizam por não terem vínculo com os 
últimosconteúdos estudados; por estarem em umdomínio conceitual familiar, permitem que o aluno tenha condições de resolvê-los. E, sobretudo, por possuírem, em geral, enunciados 
curtos, os problemas em aberto podem permitirao aluno conquistar as primeiras ideias em 
um novo estudo. Isso pode dar a impressão, bem-vinda, que o problema é de fácil solução, 
fazendo com que o aluno viva anecessidade da busca dessa solução.
Um problema em aberto também possui uma ou mais soluções. Para Medeiros (1999), ele pode 
ser trabalhado em grupo, evitando-se, assim, eventuais desencorajamentos. O trabalho realizado de modo coletivo faz diminuir o medo de não se conseguir resolver o problema proposto, e isso aumenta a chance deprodução de conjecturas num intervalo de tempo razoável.
Para tornar mais claras essas características, apresentamos, a seguir, exemplos de problemas 
em aberto, que podem ser propostos numa turma de 6º ano do Ensino Fundamental.
Exemplo1
Comprei três tipos de mercadorias: Q, T e B. Descobri que
•	 o preço de 6 unidades de Q é igual ao preço de 3 unidades de T;
•	 o preço de 2 unidades de T mais o preço de 2 unidades de B é igual ao preço de 
8 unidades de Q.
Pergunta: o preço de 2 unidades de Q mais o preço de 4 unidades de B é igual ao preço de 
quantas unidades de T?
Solução
Sejam q, t e b os preços unitários das mercadorias Q, T e B, respectivamente.
De acordo com as informações dadas, temos
6q = 3t
8q = 2t + 2b
Deseja-se obter 2q + 4b em termos de t.
Da 1ª igualdade acima tiramos que 2q = t. Portanto, resta saber agora quantas vezes t é igual a 
4b.
Já que 8q = 2t + 2b e t = 2q, temos que 4(2q) = 2t + 2b, ou seja, 4t = 2t + 2b, ou seja, 2t = 
2b, ou seja, t = b. Portanto, 4b = 4t. 
Conclusão: 2q + 4b = t + 4t = 5t. Assim, o preço de 2 unidades de Q mais o preço de 4 
unidades de B é igual ao preço de 5 unidades de T.
unidade 2
35
Exemplo 2Num estacionamento há 17 veículos, entre motos e automóveis. Se o total de rodas é 
54,quantos automóveis e quantas motos há nele?
SoluçãoChamando de m o número de motos e de a o número de automóveis, então temos que m + a = 17.
Já que cada moto tem 2 rodas e cada automóvel tem 4 rodas, então 2m + 4a = 54. Portanto, 
faz-se necessário resolver o seguinte sistema de equações:
Nesse caso, m = 7 e a = 10, ou seja, há 7 motos e 10 automóveis no referido estacionamento.
Exemplo 3Com R$3,00 comprei, hoje, seis bombons. Quantos bombons posso comprar, hoje, com 
R$4,00?
Solução
Já que seis bombons custaram R$3,00, então, cada bombom custou R$0,50. Portanto, com 1 real, compram-se 2 bombons.
Logo, com 4 reais (= 3 reais + 1 real) se compram 6 + 2 bombons, ou seja, 8 bombons.
Exemplo 4
Ganhei 40 reais em um período de cinco dias. Em cada dia, ganhei 2 reais a mais que no 
dia anterior. Quantas reais ganheiem cadadia?
SoluçãoChamando de n o número de reais que ganhei no 1º dia, podemos assim descrever a situação dada:
•	 1º dia: ganhei n reais 
•	 2º dia: ganhei n + 2 reais
•	 3º dia: ganhei n + 4 reais
•	 4º dia: ganhei n + 6 reais
•	 5º dia: ganhei n + 8 reais
•	Nos 5 dias, ganhei n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) + (n + 8), ou seja, 5n + 20. Portanto, temos que5n + 20 = 405n = 20
n = 4
36
Portanto,
•	 No 1º dia, ganhei 4reais 
•	 No 2º dia, ganhei 6 reais
•	 No 3º dia, ganhei 8 reais
•	 No 4º dia, ganhei 10reais
•	 No 5º dia, ganhei 12 reais.
Observação – É imprescindível reiterar que a classificação de um problema depende do 
nível de conhecimento de quem vai resolvê-lo. Por exemplo, considere a seguinte situação:
Um político em campanha eleitoral, diante de uma plateia formada por seus eleitores, diz:
– Boa noite, meus mil eleitores.
Imediatamente, a plateia responde em coro:
– Mil eleitores não somos, não. Contudo, mais dois tantos de nós e você dão 1.000 pessoas.
Pergunta: quantos eleitores estão na plateia?
Solução1:
1.000 – 1 = 999 pessoas (tiramos o político).
“Nós e dois tantos de nós” é igual a “três tantos de nós”. Portanto, se dividirmos 999 por 3, 
encontraremos 333. Assim, 333 pessoas estão na plateia.
Solução2:
Chamando de n o número de eleitores na plateia, temos:
n + 2n + 1 = 1.000
3n = 999
n = 
n = 333
Se o aluno que resolver esse problema utilizar a estratégia da solução 2, isso implica que 
ele conhece equações do 1º grau e sabe resolvê-las. Nessa hipótese, o exemplo acima pode ser considerado um problema de aplicação. Se ele usa outra estratégia de solução por ainda 
não conhecer as equações do 1º grau, então o problema, para ele, é do tipo problema em 
aberto. O professor, ao elaborar sua aula, escolhendo determinados tipos de atividades, deve ter isso em mente.
unidade 2
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5. Situações-problema
Segundo Dante (2003),situações-problema
[...] são problemas deaplicação que retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da Matemática para serem resolvidos. Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se matematizar uma situação real, 
organizando os dados em tabelas, traçando gráficos, fazendo operações etc. Em 
geral, são problemas que exigem pesquisa e levantamento de dados. Podem ser apresentados em forma de projetos a serem desenvolvidos, usando conhecimentos 
e princípios de outras áreas que não a Matemática, desde que a resposta se relacione 
a algo que desperte interesse (p. 20).
Assim, nessa categoria de questões matemáticas, estão as situações nas quais um dos passos 
fundamentais é a identificação do problema – a elas inerente – que, num passo seguinte, 
será solucionado. Elas devemser propostas levando-se em conta os conhecimentos que o 
aluno já construiu e os novos que estão sendo elaborados.
Para Meirieu (1998), uma situação-problema
[...] é uma situação didática na qual sepropõe ao sujeito uma tarefa que ele não 
pode realizar sem efetuar uma aprendizagemprecisa. Essa aprendizagem, que constitui o verdadeiro objetivo da situação-problema, se dáao vencer o obstáculo 
na realização da tarefa (p. 192).
Exemplo
(Situação-problema proposta a um aluno que ainda não estudou derivada de uma função 
de uma variável)
A partir de uma folha de papelão quadrada de 1 m de lado, deseja-se construir uma caixa 
retangular. Isso é feito cortando-se pequenos quadrados iguais nos cantos da folha e dobrando-
se as abas resultantes. Se x é a medida do lado dos quadrados a serem cortados, expresse o 
volume da caixa em função de x e responda:
•	 Qual deve ser o valor de x para que a caixa tenha o maior volume possível?
38
A primeira tarefa é imaginar o processo de construção da caixa. Veja a figura:
Em seguida, descrevemos o problema matematicamente:
•	 Sendo V o volume da caixa obtida, então V = x(1 – 2x)(1 – 2x), ou seja,
V = x – 4x2 + 4x3Assim, o problema a ser resolvido passa a ser o seguinte:
•	 Dada a função V(x) = x – 4x2 + 4x3, encontrar o valor de x que resulte no maior va-lor de V .
Para o aluno que ainda não estudou derivada e suas aplicações, essa situação-problema é 
motivadora. Afinal, ele se vê diante de um problema cuja solução só será possível depois do estudo do cálculo diferencial. Quando ele estudar máximos e mínimos de funções, será 
possível voltar à situação-problema para, finalmente, determinar sua solução, que é a seguinte:
V(x) = x – 4x2 + 4x3
V’(x) = 1 – 8x + 12x2
V’(x) = 0 Û 1 – 8x + 12x2 = 0 ⇔x = ou x = 
Com x = , não construímos caixa alguma. Portanto, o único ponto crítico da função V é x = .
V’’(x) = – 8 + 24x
Como = –4 < 0, temos, pelo Teste da Derivada Segunda, que x = é ponto de máximo 
local de V(x). Por ser o único máximo local de V, x = é o seu ponto de máximo absoluto. 
Portanto, o valor de x para que a caixa tenha o maior volume possível é .
unidade 2
39
Observações
•	 A abordagem do ensino de Matemática por intermédio de situações-problemas certamente promove um maior interesse, entusiasmo e motivação pelas aulas, possibilitando a construção de um conhecimento mais significativo, uma vez que o aluno fará parte do processo de levantamento de dados para o desenvolvimento da aplicação. 
•	 Quando os alunos resolvem problemas de aplicação, problemas em aberto ou situ-ações-problema, eles se mostram mais facilmente e isso permite ao professor ter 
uma visão mais abrangente do conhecimento que eles possuem. Por essa razão, 
esses tipos de questões são altamente recomendados como rotina na ambiência do processo de ensino e de aprendizagem da matemática escolar. 
•	 Questões que incentivam reflexões e que levam os alunos a realizarem discussões, 
enquanto as resolve, são as que promovem um aprendizado mais significativo. En-
tre as categorias de questões matemáticas aqui abordadas, os problemas em aber-
to e as situações-problema são aquelas que mais abrem espaços para tais aspectos 
pedagógicos. Portanto, devem ser incorporadas com mais frequência à dinâmica da sala de aula de Matemática. 
Para se obter sucesso na resolução de problemas, há etapas a serem seguidas?
Segundo Polya (1994), há sim, quatro etapas, que sãoI. Compreensão do problema.II. Elaboração de uma estratégia de resolução.III. Execução da estratégia.IV. Revisão.
Em cada etapa, o professor deve fazer questionamentos ou considerações que levem o aluno a obter êxito da resolução do problema proposto. 
Na primeira etapa, por exemplo, o aluno deve ser chamado a ENTENDER O PROBLEMA. 
Para isso, podem auxiliarquestões como estas:(a) Qual é a variável cujo valor se deseja encontrar?(b) Quais são os dados de que dispomos?(c) Quais são as condições impostas?(d) É possível satisfazer tais condições? 
40
Separar as condições em partes e, quando for o caso, fazer um desenho representativo da 
situaçãosão ações que podem ajudar muito nesse processo de compreensão do problema 
que se deseja resolver. 
Na etapa de elaboração de uma estratégia de resolução, um objetivo se impõe: achar 
conexões entre os dados e a incógnita. Se elas não forem encontradas num tempo razoável, 
o professor pode propor problemas auxiliares ou situações particulares que sejam capazes 
de indicar como os dados e a variável se relacionam. Alguns questionamentos adicionais podem ser apresentados pelo professor para viabilizar a elaboração deum plano ou estratégia de resolução do problema. Por exemplo:
•	 Você já se deparou com esse problema ou algum parecido?
•	 Você conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar a resolvê-lo?
•	 Você se lembra de algum outro problema, relacionado com o proposto, que você já 
sabe resolver?
•	 Você consegue enunciar o problema dado de um outro modo? Como?
•	 Você está levando em conta todos os dados? E as condições? Você está considerando 
todas elas?
A etapa de execução da estratégia elaborada é, via de regra, a mais fácil do processo de 
resolução de um problema, desde que a ela não se chegue apressadamente. É importante 
o amadurecimento que se pode obter nas duas etapas anteriores. Outro aspecto a ser 
considerado é o seguinte: a elaboração de uma estratégia inadequada pode dificultar ou mesmo inviabilizar o processo de execução do plano delineado para resolver a situação-problema.
Na etapa de revisão, o que se impõe é examinar a solução obtida. Para isso, é preciso 
verificar o resultado e os argumentos utilizados para obtê-lo. Nesse ponto, o professor pode intervir com perguntas do tipo
•	 Você consegue chegar à resposta obtida de outro modo?
•	 Qual é a essência do problema e do método de resolução empregado?
•	 Você consegue usar o resultado ou o método empregado na soluçãopara resolver 
algum outro problema? 
Respeitando-se essas etapas, a resolução de problemas pode se tornar menos complicada e mais satisfatória para o aluno. Para o professor, o grande ganho é a possibilidade de 
acompanhar, passo a passo, todo o processo de solução das questões propostas.
unidade 2
41
ATIVIDADE AVALIATIVA
Escolha um conteúdo matemático, de algum ano escolar, e elabore duas atividades matemáticas 
de cada tipo aqui abordado, a saber:(a) Exercícios de reconhecimento.(b) Exercícios algorítmicos.(c) Problemas de aplicação.(d) Problemas em aberto.(e) Situações-problema.
Importante: ao fi nal de cada atividade, diga por que ela está sendo classifi cada daquele modo. 
De maneira clara e sucinta, explicite as razões que o(a) levaram a dar aquela classifi cação 
àquela atividade.
Etnomatemática
Objetivo
•	 Descrever aspectos de uma proposta de ação pedagógica baseada na etnomatemá-tica.
unidade 3
44
Você já ouviu falar sobre Ubiratan D’Ambrosio?
Ao introduzir esta Unidade, faz-se necessário registrar que Ubiratan D’Ambrosio, nascido 
na cidade de São Paulo, em 1932, é um matemáticoe professor universitário brasileiro 
que, em 2001, foi laureado pela Comissão Internacional de História da Matemática 
com o Prêmio Kenneth O. May, por contribuições à história da Matemática.Em 2005, 
ganhou da Comissão Internacional de Instrução Matemática a medalha Felix Klein pelo reconhecimento de suas contribuições no campo da educação matemática. É professor emérito de Matemática da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Além disso,
•	 é, atualmente, professor do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da 
Universidade Bandeirante de São Paulo;
•	 lecionou no programa de História da Ciência da Pontifícia Universidade Católica de 
São Paulo (PUC);
•	 éprofessor credenciado no Programa de Pós-Graduação da Faculdade de Educação da 
Universidade de São Paulo;
•	 éprofessor do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática do Instituto de 
Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Fi-
lho (UNESP);
•	 é professor visitante no Programa Sênior da FURB / Universidade Regional de Blumenau.
Por que falar desse professor?
É que ele, doutor em Matemática, é um teórico da Educação Matemática e um dos pioneiros 
no estudo da etnomatemática. Aliás, cumpre lembrar, o próprio termo “etnomatemática”foi 
mencionado pela primeira vez, em 1976, por D’Ambrosio, no 3º Congresso Internacional 
de Educação Matemática (ICME-3), realizado em Karlsruhe, na Alemanha. 
Como definir precisamente o que é etnomatemática?
Em sentido lato, entendemos os estudos etnomatemáticos como aqueles em que se busca 
descrever as práticas matemáticas de grupos culturais(Movimento dos Sem-Terra - MST, 
artesãos, índios,classes profissionais (médicos, dentistas, advogados etc.), entre outros, a 
partir de uma análise das relações entre conhecimento matemático e contexto cultural. Uma 
definição precisa de etnomatemática, contudo, como afirma D’Ambrosio,
unidade 3
45
[..] é muito difícil; por isso uso uma explicação decaráter etimológico. A palavra etnomatemática, como eu a concebo, é composta detrês raízes: etno, e por etno 
entendo os diversos ambientes (o social, o cultural, anatureza, e todo mais); 
matema significando explicar, entender, ensinar, lidar com;tica, que lembra a palavra grega tecné, que se refere a artes, técnicas, maneiras. Portanto,sintetizando 
essas três raízes, temos etno+matema+tica, ou etnomatemática, que,portanto, 
significa o conjunto de artes, técnicas de explicar e de entender, de lidar 
com o ambiente social, cultural e natural, desenvolvido por distintos grupos 
culturais (D’AMBROSIO, 2008, p. 8).(Os grifos são meus.)
E D’Ambrosio acrescenta que
[...] a relação entre Educação Matemática e etnomatemática se dá naturalmente,pois 
etnomatemática é uma forma de se preparar jovens e adultos para um sentido 
de cidadania crítica, para viver em sociedade e ao mesmo tempo desenvolver 
sua criatividade. Ao praticar etnomatemática, o educador estará atingindo os grandesobjetivos da Educação Matemática, com distintos olhares para distintos 
ambientesculturais e sistemas de produção. Justifica-se inserir o aluno no processo de produçãode seu grupo comunitário e social e evidencia a diversidade cultural e 
histórica emdiferentes contextos (D’AMBROSIO, 2008, p. 8).(Os grifos são meus.)
Afinal, a etnomatemática é um programa de pesquisa ou uma proposta para o 
trabalho pedagógico na Educação Matemática?
As duas coisas. No âmbito da investigação científica, a etnomatemática busca conhecer os processos de geração, organização e difusão de conhecimentose ideias matemáticas, 
no interior de grupos culturalmente identificáveis. No campo educacional, os trabalhos em etnomatemática têm como meta principal desenvolver ações na área do ensino de 
Matemática que permitam acontextualização sociocultural dos conteúdos acadêmicos abordados em sala de aula.
Para quem conduz um trabalho em etnomatemática, o que é, de fato, fundamental?
O principal – afirma D’Ambrosio (2008) – “é a capacidadede observar e analisar as práticas de comunidades e populações diferenciadas, não necessariamente indígenas 
ou quilombolas ou de periferia” (p. 8). (Os grifos são meus). A essência do método da 
etnomatemática “é a observação de práticas de grupos culturaisdiferenciados, seguido de 
46
análise do que fazem e o porquê eles fazem. Isso dependemuito, além da observação, de 
uma análise do discurso”2 (D’AMBROSIO, 2008, p. 8).
Quais são as etapas de uma pesquisa em etnomatemática?
Analisando os relatórios dos pesquisadores da área, é possível evidenciar as seguintes 
etapas no processo de condução de uma investigação científica em etnomatemática:
(1ª) Inserção no grupo
É necessário ganhar a confiança dacomunidade ou da população que se deseja estudar. 
Evidentemente, não há uma fórmula para se construir essa inserção, que pode ser, 
inclusive, em muitos casos, exaustiva e cheia de percalços. Afinal, está-se lidando com problemas de relacionamentos humanos em grupos sociais diferenciados. Contudo, 
antes de qualquer passo, o pesquisador precisa, de alguma forma, integrar-se ao grupo 
que vai estudar.
(2ª) Aceitação da comunidade
Quando um pesquisador se insere num grupo, ele pode, até mesmo involuntariamente, 
modificar – ainda que maneira parcial – o diaadia dos membros daquela comunidade. A 
transitoriedade do pesquisador no seio do grupo gera desconfianças e incertezas. Sendo aceito, ele passa a ser envolvido nos problemas do grupo e naturalmente chamado, uma hora ou outra, a dar opinião sobre como resolver problemas diversos. E então surgem os dilemas:
•	 atender ou não aos pedidos de auxílio?
•	 até que ponto se pode envolver com a rotina diária, sem comprometer a natura-
lidade da vida da comunidade? 
•	 como fazer para manter-se aceito no grupo?
2 A linguagem não é mero código que se aprende e aplica, de modo mecânico e/ou automático. Não pode, 
portanto, ser considerada segundo uma visão mecanicista, que leva a uma produção discursiva acrítica e/ou li-
mitada em suas possibilidades. A boa prática discursiva, ao contrário, implica compreender que a linguagem não 
pode ser estudada independentemente de seu contexto sócio-histórico, uma vez que ela traz em si os valores e a 
história social de diferentes grupos.A Análise do Discurso é uma prática da linguística no campo da Comunicação 
e consiste em analisar a estrutura de um texto e, a partir disso, compreender as construções ideológicas presentes 
no mesmo.O discurso, em si, é uma construção linguística atrelada ao contexto social no qual o texto é desenvol-
vido. Portanto, as ideologias presentes em um discurso são diretamente determinadas pelo contexto político-social 
em que vive o seu autor. Mais que uma análise textual, a análise do Discurso é uma análise contextual da estrutura 
discursiva em questão.
unidade 3
47
(3ª) Coleta de dados
Para desenvolver sua investigação, o pesquisador organiza alguns roteiros einstrumentos 
para nortear a sua coleta de dados. Contudo, de forma quasesistemática, depara-se com 
novas situações que exigem muitacriatividade para serem analisadas. Assim, surge novo dilema:
•	 Como reunir informações sobre a rotina diária da comunidade em que se está 
inserido, sem comprometer as ideias própriase demais atividades do grupo?
•	 Quais dados representam, de fato, o grupo estudado?
(4ª) IntervençãoMuitas informações importantes (recheadas de vocábulos desconhecidos) podem estar 
implícitas nas falas e nos procedimentos práticos dos membros do grupo com o qual 
se realiza uma pesquisa. Portanto, para evitar conjecturas inadequadas e indesejáveis, 
alguma intervenção do pesquisador se faz necessária. Para melhor compreender as 
ideias e os objetos matemáticos presentes na vida da comunidade pesquisada, faz-se 
necessário, por exemplo, realizar inquirições que permitam captar o que não foi dito 
nem está expressode modo claro. Acontece que tais tipos de intervenção, de algum 
modo, modificam a rotina do grupo. Portanto, é imprescindível que se avalie, com 
muito cuidado, como intervir no processo da pesquisa, sem influenciar as respostas ou 
provocar ações artificiais. 
Um exemplo vale mais que mil palavras!
Bárbara Anacleto defendeu em 2007 uma dissertação de Mestrado baseada em uma 
pesquisa que ela realizou em Palmares do Sul/RS, cerca de 75 km da capital do Estado, 
Porto Alegre. Aprincipal produção agrícola daquele município é o arroz. Embora o título 
deste trabalho seja “Etnofísica na lavoura de arroz”, ele exemplifica a essência do método 
de pesquisa da etnomatemática, uma vez que Anacleto (2007) estudou as relações entre 
o fazer e o saber na lavoura doarroz. Ela procurou, nastradições e práticas populares, 
asrelações entre o conhecimento científico e o conhecimento prático. A autora resgatou, 
assim, sistemas de conhecimento práticode física (poderia ter sido de matemática) que 
servem de apoio às atividades ligadas à produção de arroz. Como bem observa D’Ambrosio 
(2008), “com a fusão de análises geográficas,etnográficas, históricas e econômicas, a autora traça vários aspectos ligados ao cultivodo arroz e examina o papel importante 
48
dessa produção na economia e nas bases desustento do povo brasileiro, mostrando como 
essa produção se insere na ecologiapolítica do país” (p. 9). Esse é um modelo de pesquisa 
etnocientífica (em que se insere a etnomatemática) que pode ser realizado em outras regiões do País, focalizando variados sistemas de produção.
Um outro exemplo...
No contexto do Movimento dos Sem-Terra, como ajudar os assentados a construir seu sistema 
escolar? Em busca da resposta a esta pergunta, a pesquisadora GelsaKnijnik desenvolveu 
um trabalho em etnomatemática, que acabou provocando repercussão internacional. Ela atuou num programa destinado a capacitar professores de Matemática para lecionarem 
nas escolas das comunidades ligadas a este Movimento, tendo em vista que os profissionais 
dos assentamentos em geralnão têm formação específica. Naturalmente, no âmbito dessa capacitação, é imprescindível avaliar, de maneira sensível, o grau de conhecimento desses 
docentes e criar um programa adequadoque aproveite o que eles já conhecem e reconheça suas experiências. No livro intitulado “Educação Matemática, culturas e conhecimento na 
luta pela terra”, Knijnik(2006) descreve uma estratégia para essa ação. Nele, evidencia-
se que, junto com os avanços e progressos na área da Educação Matemática – ocorridos 
a partir da última década do século passado –, a Etnomatemática afirmou-se como uma opção promissora, tornando clara a interface entre saberes populares e acadêmicos. 
A referida obra, além de mostrar que os movimentos sociais, particularmente aqueles 
envolvidos na perene luta pela terra, adquiriram outra dimensão, evidencia relações 
sociais em vários níveis e elabora respostas às seguintes questões:
•	 Como chegamos a relações entre indivíduos, comunidades e nações, marcadas por 
desigualdade, arrogância e prepotência?
•	 Como o sistema de conhecimentos, atualmente dominante, conduziu a humanidade 
ao grande mal-estar e insegurança que caracterizam tais relações?
•	 Como a Matemática se insere nesse modelo de civilização?
Outros exemplos importantes da vertente pedagógica do Programa Etnomatemática:
No Estadode São Paulo, em 2003, a Secretaria da Educação, em parceria com a Faculdade 
deEducação da USP e a Fundação de Apoio à Faculdade de Educação, elaborou odocumento 
“O Magistério Indígena Novo Tempo: Um caminho do meio (da proposta à interação)”, que 
trata da formação do professorado indígena, com umametodologia especifica para essa 
unidade 3
49
formação. No âmbito desse processo, oque se ensina de Matemática nas comunidades 
indígenas é a “matemática do branco”3, que a comunidade indígenasolicita por reconhecer 
que é necessária e mais eficaz que a sua própria matemática. Para entender questões dessa 
natureza, se fazem imprescindíveis estudos etnomatemáticos. Afinal, como assevera o professor Ubiratan, 
[...] nãose chega às comunidades indígenas com programas feitos por 
administradores e burocratas.Mas é importante usar estratégias para que os 
indígenas percebam que há limitações nosseus métodos, e fiquem motivados para aprender nossos métodos. Não é chegar à prática pedagógica com um 
programa, mas deixar que o programa se desenvolva a partir do contato com 
a comunidade escolar (D’AMBROSIO, 2008, p. 9)(Os grifos são meus.)
A propósito, coisas semelhantes se passam em qualquer sala de aula – inclusive nas 
áreasurbanas –, de classe alta, e em grupos profissionais específicos. Em todos esses contextos, o olhar da etnomatemática pode ser revelador. Para citar mais um exemplo, 
TodShockey, do Departamento de Matemáticae Computação da Universidade de Wisconsin-Stevens Point (EUA), investigou a matemáticapresente nas atividades realizadas peloscirurgiões cardiovasculares,em cirurgias cardíacas de coração aberto. Ele elaborou 
uma tese deetnomatemática(Schockey (2002)), na qual se identifica, por exemplo, que a 
linguagemutilizada por esses profissionais está impregnada de significado matemático e 
que os médicos praticam,constantemente, a resolução mental deproblemas. A partir da 
observaçãoe análise das técnicas utilizadas por esses cirurgiões, Schockey constatou que 
elesusam elementos matemáticos quando tomam decisões durante um procedimento 
cirúrgico, e quando, em particular, fazem uma sutura. 
À guisa de conclusão
É preciso ter muito cuidado. Muitas vezes as matemáticas deoutras culturas são apresentadas como meras curiosidades,jogos, folclore e, pior, completamentedescontextualizadas de 
sua inserção cultural. É justamente essa contextualização que move a etnomatemática. 
Ela representa um caminho para uma educação renovada, em que a matemática pode 
proporcionar questionamentos sobre as situaçõesreais vivenciadas pela sociedade. 
Essa opção não rejeita amatemática acadêmica. Em vez disso – orienta D’Ambrosio – a 
ideia é excluir o que é desinteressante,obsoleto e inútil, mas que infelizmente domina os currículos e programas escolaresvigentes em nossas escolas. Portanto, a etnomatemática 
3 É assim que os indígenas se referem à matemática acadêmica.
50
é um programa de pesquisa que está diretamenteligado ao processo de ensino e de 
aprendizagem da Matemática, buscando ir da realidade à ação, conectandodiferentes 
culturas ao conteúdo matemático e identificando modos de pensar eagir nos grupos 
sociais. Só que “a transferência de conhecimentos é muito mais complexa que a 
mera instrução. Esse é o grande desafio que justifica o Programa Etnomatemática” 
(D’AMBROSIO, 2008, p. 16) – os grifos são meus.
ATIVIDADE AVALIATIVA
Pesquisando na literatura ou na Internet, apresente pelo menos dois exemplos de 
pesquisa em etnomatemática ou de trabalhos que sejam entendidos como uma proposta de ação pedagógica baseada na etnomatemática. Descreva detalhes sobre os exemplos escolhidos, não deixando de mencionar alguns aspectos da metodologia adotada pelos 
pesquisadores. 
Modelagem Matemática
Objetivo
•	 Apresentar, de forma resumida, um trabalho prático de modelagem matemática
unidade 4
unidade 4
53
Um pouco de história
Segundo Gazzeta (1989), os modelos matemáticos são utilizados desde o iníciodo 
desenvolvimento da Matemática. Os conceitos de números, funções,entre outros, são considerados por diferentes autores modelos de alguma realidade.Segundo essa autora, alguns modelos podem ser encontrados até em gravuras e artes decivilizações antigas. 
Contudo, cumpre ressaltar, apenas no século XIX foi introduzido o termo “modelo”na 
Matemática, quando as geometrias não euclidianas de Nikolay Lobachevsky (1792-1856) 
e Georg Riemann (1826-1866) foramaceitas pela comunidadematemática.
Para muitos pesquisadores, como Barbosa (2001), as aplicações da Modelagem noensino da 
Matemática tiveram início no século XX, quando matemáticos puros e aplicadosdiscutiam métodos para se ensinar Matemática. No Brasil, a Modelagem começou aemergir a partir 
da década de 1970. Era utilizada, por exemplo, em disciplinas de MatemáticaAplicada, na 
UNICAMP, Campinas – SP, e também na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro - RJ.
Já nos anos 1980, lembra Malheiros (2004) que
[...] a Modelagem ganhou força através dos Professores da UNICAMPUbiratan 
D’Ambrósio e Rodney Carlos Bassanezi, que ministravam aulas e orientavamtrabalhos no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, UNESP, Rio Claro.Para ambos, a Modelagem surgiu inspirada na etnomatemática [...] (p. 34).
Desde então, estudos sobre aModelagem na Educação Matemática têm surgido e diversos 
autores, como veremos adiante, têm utilizadodiferentes perspectivas para definir o que vem a ser Modelagem Matemática na EducaçãoMatemática.
Um passo atrás!
É oportuno lembrar que a Modelagem começou a ser utilizada em outrasáreas do conhecimento, fora da Matemática, e, posteriormente, na Matemática Pura eAplicada, 
chegando à Educação Matemática. Monteiro (1991), enfatiza a existência de doisgrupos 
que utilizam a Modelagem:
•	 os que a veem como um método de pesquisa em Matemática; e
•	 os que a veem como um método pedagógico no processo de ensino e aprendiza-gem da Matemática.
54
Para o primeiro grupo, observa Malheiros (2004),
[...] a Modelagem é entendida como um processo de abstraçãoonde, a partir de um fato da realidade, são levantadas hipóteses e, com elas, se constrói ummodelo. Este, 
que pode até ser resolvido através de cálculos matemáticos, é testado eanalisado, 
para que sua validade seja verificada. Caso seja constatado que a solução não éválida, novas hipóteses são elaboradas e o processo recomeça (p. 35).
Nesse contexto, estão inseridas, por exemplo, as pesquisasrealizadas em Matemática Aplicada e Pura, onde modelos matemáticos são desenvolvidospara resolver um dado 
problema –sem a finalidade educacional. Segundo Malheiros (2004), a fim de que 
aModelagem seja utilizada como método de pesquisa, 
[...] estudiosos têm buscado interpretarfenômenos que ocorrem ao seu redor e, 
para isso, passam a investigar, através dos recursosdisponíveis em suas pesquisas 
e de ferramentas Matemáticas, fatos e mudanças que estãoocorrendo a sua volta. Muitos deles conseguem encontrar uma representação simbólicapróxima 
da realidade, e, assim, acabam elaborando um modelo matemático que pode serconsiderado como uma aproximação matemática da realidade. De posse destes 
modelos,pesquisadores podem realizar previsões, elaborar hipóteses e conjecturas sobre o fenômenoestudado, dependendo do objetivo do estudo, dos dados e dos materiais disponíveis para isso (p. 35-36).
Para o segundo grupo, citado anteriormente, a Modelagem é encarada como umcaminho 
para o ensino e aprendizagem da Matemática. Observando-se a realidade dos alunos, 
elaboram-se questionamentos, e, assim, torna-se possível propor e solucionar 
problemas “quedevem modificar tanto a sua ação, como sua forma de observar tal 
mundo”(MONTEIRO,1991, p.106).
Afinal, o que se entende por modelagem matemática?Do latim modulus, o vocábulo “modelo” significava, nos primórdios, “pequena medida”. 
Atualmente, a palavra possui diferentes usos, por exemplo, “representação dealguma 
coisa” (Cunha, 1989). De maneira mais ampla, D’Ambrósio (1996) considera modelo 
as representações simplificadas, mentais ou não, que os seres humanos fazem sobre 
a realidade (ou a suposta realidade). De modo simplificado, podemos chamar de 
modelagem ao processo de produzir um modelo. Para Bassanezi (2009), “a modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar problemas da realidade em problemas 
matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real” 
(BASSANEZI, 2009, p. 16).
unidade 4
55
Para Burak (1992), a modelagem matemática envolve
[...] um conjunto de procedimentoscujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente,os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-oa fazer predições e a tomar decisões (p. 62).
Assim, o modelo matemático está sendo entendido como qualquer 
“representaçãomatemática da situação em estudo” (Barbosa, 2007, p.161) ou, em outras 
palavras, como um “conjunto de símbolos e relações matemáticas que procuratraduzir, 
de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real”(Biembengut, 
2009, p. 12). Portanto, amodelagem matemática pode ser entendida como “um ambiente 
de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio 
da Matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade” (Barbosa, 2001, p. 31). 
Para este autor, “indagar significa assumir um incômodo com algo, procurar enunciá-lo e 
buscar uma compreensão ou explicação”, enquanto investigação envolve “busca, seleção, 
organização e manipulação de informações e reflexão sobre elas”. Portanto, a modelagem 
envolve a busca de peças “para ajudar a formar o cenário daquilo que incomoda” (Barbosa, 2001,p. 32).
De que maneira a modelagem matemática se insere no processo de ensino e de 
aprendizagem da matemática?
De imediato, devemos ter mente, como alerta Bassanezi (2009), que “o gosto pela 
matemática se desenvolve com mais facilidade quando é movido por interesses e estímulos 
externos a ela, vindos do ‘mundo real’” (p. 15). Além disso, o referido pesquisador também 
faz alusão ao que ele denomina de “atividades intelectuais da Modelagem Matemática” (p. 
26) que, sem dúvida, fazem parte de qualquer processo educacional. São elas:(1)Experimentação: atividade laboratorial em que se processa a obtenção de dados, ou seja, é o momento de se tomar conhecimento do tema realizando um levantamento dos 
dados da situação pesquisada. Os métodos experimentais quase sempre são ditados pela 
própria natureza do experimento e objetivo da pesquisa.
(2) Abstração: procedimento que conduz à formulação dos modelos matemáticos. Nesta 
fase, procura-se estabelecera “seleção das variáveis” (que devem ser claramente definidas), 
a “problematização” (formulação de problemas, com enunciados claros, compreensíveis 
e operacionais, indicando exatamente o que se pretende resolver), a “formulação de 
56
hipóteses” (através de observação de fatos, comparação com outros estudos, dedução lógica, experiência pessoal, observação de casos singulares da própria teoria, analogia 
de sistemas etc.) e a “simplificação” (muitas vezes, o modelo dá origem a um problema 
matemático muito complexo; neste caso, é necessário voltar ao problema original e 
restringir algumas informações, a fim de se conseguir um problema mais simples que 
possa ser resolvido naquele âmbito de ensino).
(3) Resolução: etapa em que se obtém o modelo matemático, substituindo a linguagem 
natural das hipóteses por uma linguagem matemática coerente (equações, fórmulas, 
gráficos, tabelas etc.). Muitas vezes, o modelo só poderá ser resolvido com a ajuda de 
métodos computacionais; aliás, como destaca Bassanezi (2009), “a resolução de um modelo é uma atividade própria do matemático, podendo ser completamente desvinculada 
da realidade modelada” (Bassanezi, 2009, p. 30).
(4)Validação: processo de aceitação ou não do modelo proposto. As hipóteses e os modelos devem ser testados, comparando suas soluções e previsões com os valores 
obtidos no sistema real. Segundo Bassanezi (2009), “o grau de aproximação desejado 
destas previsões será o fator preponderante para sua validação” (Bassanezi, 2009, p. 30). 
A interpretação dos resultados pode ser feita com o auxílio de gráficos para facilitar as avaliações e sugerir possíveis aperfeiçoamentos dos modelos.
(5)Modificação:momento em que seobserva que o modelo utilizado não produz resultados 
satisfatórios para os dados disponíveis. Nesse caso, o aprofundamento da pesquisa implica 
a sua reformulação. Como bem observa Bassanezi (2009), “nenhum modelo deve ser 
considerado definitivo, podendo sempre ser melhorado” (Bassanezi, 2009, p. 31). Aliás, a reformulação de modelos é, em essência, uma das partes fundamentais do processo de 
modelagem, uma vez que
¬	 os fatos conduzem constantemente a novas situações;
¬	 toda teoria é passível de modificações;
¬	 as observações são acumuladas gradualmente e, portanto, novos fatos suscitam novos 
questionamentos;
¬	 a própria evolução da Matemática vai fornecendo novas ferramentas para se traduzir a realidade.
unidade 4
57
Podem-se delinear etapas para o processo de modelagem matemática?
No desenvolvimento das atividades intelectuais da modelagem matemática, segundo 
Bassanezi (2009), estão implícitas as diversas fases desse processo. De maneira mais 
categórica, Burak (1998 e 2004) descreve a modelagemem cinco etapas, orientadas pelo 
interesse do aluno – ou do grupo – e pelasnecessidades do nível de ensino trabalhado, sendo elas
(1ª) escolha do tema;
(2ª) pesquisa exploratória;
(3ª) levantamento dos problemas;(4ª) resolução dosproblemas e o desenvolvimento do conteúdo matemático, no contexto
dotema; e (5ª) análise crítica das soluções.
É importante ressaltar que, no momento da escolha do tema, o professor apresenta 
aosalunos alguns assuntos que possam causar interesse ou os próprios alunossugerem 
algum tópico. Tal tema pode ser dos mais variados, uma vez que não é imprescindível 
que ele tenha ligação imediata com a matemática ou comconteúdos matemáticos, mas, 
sim, com o que os alunos querem pesquisar. Jánesta fase, é fundamental que o professor assuma a postura de mediador, dando o melhor encaminhamento para que a opção dos alunosseja respeitada.
Na fase de pesquisa exploratória, uma vez escolhido o tema a serinvestigado, os alunos 
devem ser chamados a reunir materiais e subsídios teóricos, osmais diversos, que 
contenham informações e noções prévias sobre oque se quer desenvolver/estudar. A 
pesquisa pode ser bibliográfica ou ser um trabalho de campo que, afinal, é uma rica fonte de informações e de estímulos para a execução da proposta.
A partir dos materiais coletados e da pesquisa desenvolvida, vem a etapa do levantamento 
dos problemas. Os alunos devem ser incentivados a conjecturarem sobre todos os 
aspectos que possam ter relação com a matemática, elaborando problemas simples – ou 
complexos – que permitam vislumbrar a possibilidade de aplicar ou aprender conteúdos 
matemáticos, sempre com o acompanhamento do professor, que não se isenta do processo, mas se torna, ainda mais uma vez, mediador das atividades.
58
Na fase de resolução dos problemas e o desenvolvimento do conteúdo matemático, no 
contexto do tema, busca-se responder às questões levantadas nos problemas propostos, 
com o auxílio do conteúdo matemático pertinente, que deve ser abordado, inicialmente, de modo bastante acessível e informal, para, em um momento posterior, receber um tratamento sistematizado e formal. Usualmente, primeiro se ensina um conteúdo para, ao 
final, falar das aplicações em problemas. Aqui, o propósito é trilhar um caminho inverso 
em que se ensina o conteúdo para responder às necessidades surgidas na pesquisa e no levantamento dos problemas.
Finalmente,chega-se à fase em que é levada a termo a análise crítica das soluções, 
oportunidade em que se criticam não apenas os aspectos relacionados com a matemática, 
em si, mas, também, por exemplo, os ligados à viabilidade e à adequabilidade das soluções apresentadas. Muitas vezes, a maneira de se resolver um problema é lógica e matematicamente coerente, não sendo, contudo, viável para a situação em estudo, seja 
por razões financeiras, técnicas ou operacionais. Nesta etapa, promove-se uma reflexão minuciosa acerca dos resultados obtidos no processo e como eles podem ensejar a melhoria das decisões e ações. Além de ser parte integrante do processo de desenvolvimento da 
pesquisa escolhida, a postura crítica, frente às soluções encontradas, contribui para a 
formação de cidadãos participativos, que auxiliem na transformação da comunidade em 
que vivem.
Um exemplo vale mais que mil palavras!
Rangel (2011), em sua dissertação de Mestrado, defendida na Universidade Federal de 
Ouro Preto/MG, apresenta o passo a passo de um projeto de modelagem matemática que 
ele próprio desenvolveu, em 2010, com os alunos da disciplina “Matemática Básica III”, 
obrigatória do curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade Pereira de Freitas, na cidade de Ipatinga/MG. Esse exemplo dá uma boa ideia a respeito dessa Tendência em 
Educação Matemática, que é a Modelagem Matemática.
Passos de um projeto de modelagem matemática
1º PASSO: ESCOLHA DO TEMA CENTRAL A SER DESENVOLVIDO 
Os referidos alunos optaram por pesquisar sobre a “Perda de peso (calorias) em 
academias de ginástica”.
unidade 4
59
Pergunta inicial: o que é o Índice de Massa Corporal?
O índice de Massa Corporal (IMC) é uma fórmula que indica se um adulto está acima do peso, 
se está obeso ou abaixo do peso ideal considerado saudável. A fórmula para calcular o índice 
de massa corporal é IMC= peso/ (altura)².
A Organização Mundial de Saúde usa um critério simples: 
Condição IMC em adultos
Abaixo do peso Abaixo de 18,5
No peso normal Entre 18,5 e 25
Acima do peso Entre 25 e 30
Obeso Acima de 30
Fonte: <www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/Diss_Walter_Servulo.pdf>. Acesso em 22 mar. 
2013
2º PASSO: COLETA DE DADOS GERAIS E QUANTITATIVOS PARA AUXILIAR NA ELABORA-
ÇÃO DE HIPÓTESES
Pesquisa com um profissional (Gustavo – Academia Korpus)1. Existe uma fórmula adequada que é utilizada para calcular a perda de peso para 
cada pessoa?
A fórmula mais precisa para se calcular a perda de peso é sabendo exatamente quantas 
calorias são ingeridas e quantas calorias são gastos durantes dia, que seria (calorias 
gastas menos calorias ingeridas que é igual calorias perdidas no dia) 1 kg de gordura 
tem 7700 calorias dependendo do resultado da formula anterior é possível saber quantos 
dias demora para perder 1kg de gordura.2. Quais os dados específicos e necessários para formular o cálculo?
Calorias ingeridas, calorias gastas, quantidade de calorias.3. Qual é o aparelho mais adequado para a perda de peso?
Existem vários. Todo aparelho capaz de elevar e manter a frequência cardíaca por um 
período mínimo de 30 minutos é uma excelente opção, tais como: esteira, bicicleta, aulas 
de aeróbica, corrida etc.
60
4. Qual o tempo médio por dia pode praticar exercícios físicos?
30 minutos seria o mínimo.
5. Quais benefícios os exercícios físicos podem nos proporcionar?
Aumento da resistência física (Volume de oxigênio máximo), diminuição do % de gordura 
corporal, melhora a vasculação entre outros.
6. Em caso da esteira elétrica, em qual velocidade é melhor para se exercitar?
Isso vai depender de cada indivíduo. O importante não é a velocidade, mas, sim, a frequência 
cardíaca alcançada, que deve ser em média de 70% da sua frequência cardíaca máxima, 
cada pessoa necessita de uma velocidade diferente para alcançar esta frequência cardíaca, 
alguns andando, outros correndo.
7. Quanto tempo é necessário para que uma pessoa comece a perder peso?
Cada organismo reage de maneira diferente ao estímulo dos exercícios, mas a média de um 
resultado começa a ser visível dentro de 3 meses.
8. Qual é a reação do metabolismo com esses exercícios?
Com a elevação da frequência cardíaca e o gasto calórico que os músculos proporcionam o 
metabolismo acelera ocasionando mais fome para suprir uma necessidade nutricional de 
que a atividade física necessita.
3º PASSO: ELABORAÇÃO DE PROBLEMAS CONFORME O INTERESSE DA EQUIPEPergunta:Qual é a quantidade de calorias que uma pessoa perde em um programa de 
ginástica, considerando-se as modalidades caminhar, correr e andar de bicicleta?
Situação-problema
Ester, Ruthy e Laura são amigas que querem emagrecer por meio de um programa de 
exercícios físicos. Após consultar a tabela 1, elas montaram o programa de exercícios na tabela 2.
Tabela 1 – CALORIAS QUEIMADAS POR HORA
Peso Atividade esportiva
Caminhar a 3 km/h Correr a 9 km/h Andar de bicicleta a 9 
km/h
unidade 4
61
Ester 69 213 650 304
Ruthy 73 225 688 321
Laura 77 237 726 338
Fonte: <www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/Diss_Walter_Servulo.pdf>. Acesso em 22 mar. 2013
Tabela 2 – HORAS POR DIA PARA CADA ATIVIDADE
Caminhar Correr Andar de bicicleta
Segunda-feira 1 2 0,5
Terça-feira 1,5 1 0,5
Sexta-feira 1 1 1
Fonte: <www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/Diss_Walter_Servulo.pdf>. Acesso em 22 mar. 2013
Selecionar as variáveis envolvidas no problema e elaborar hipóteses
Variáveis envolvidas:
•	 peso (massa);
•	 tempo de cada atividade:
•	 quantidade de calorias perdidas; e
•	 modalidade da atividade física.* modalidade da atividade: caminhar(x), corrida(y) e andar de bicicleta (z),perda total de calorias (PTC).
Hipótese:
Considerando-se o tempo das atividades físicas propostas, é possível calcular quantas calorias 
a pessoa irá perder e, através da proporção, podemos definir, em quilogramas, quantos quilos 
a pessoa irá perder.
7.700 calorias equivalem a 1 kg de gordura.
4º PASSO: SISTEMATIZAR OS CONCEITOS QUE SERÃO UTILIZADOS PARA RESOLUÇÃO 
DOS MODELOS QUE FAZEM PARTE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Sistemas Lineares e Matrizes.
5º PASSO: INTERPRETAR A SOLUÇÃO
Quando se obtém o produto A.X, as respectivas linhasrepresentam as calorias que cada 
amiga vai queimar, respectivamente, na segunda-feira, na quarta-feira e na sexta-feira.
62
Ester:
Total de calorias perdidas semanalmente por Ester: 
1.665 + 1.121,5 + 1.167 = 3953,5 calorias.Gorduras perdidas semanalmente por Ester:
Calorias Perda de Gorduras (kg)
7.700 1
3.953 x
x = 3.953,5 / 7.700 ≅0,52 kg.
Ruthy:
Total de calorias perdidas semanalmente por Ruthy: 
1.761,5 + 1.186,5 + 1.234 = 4.181,5 calorias.Gorduras perdidas semanalmente por Ruthy:
Calorias Perda de Gorduras (kg)
7.700 1
4.181,5 x
x = 4.181,5 / 7.700 ≅0,54 kg.
Laura:
Total de calorias perdidas semanalmente por Laura: 
1.858 + 1.250,5 + 1.301 = 4.409,5 calorias.
Gorduras perdidas semanalmente por Laura:
Calorias Perda de Gorduras (kg)
7.700 1
4.409,5 x
x = 4.409,5 / 7.700 ≅0,57 kg.
unidade 4
63
6º PASSO: VALIDAÇÃODOS MODELOS.Considerando, por exemplo, os dados da matriz de Ester e colocando-os em forma de sistemas lineares, obtemos:
ou seja:
Resolvendo, encontramos
x = 213 y = 650 z = 304 OK!
Nesse exemplo é possível notar, como o faz Chaves (2000), que a modelagem se traduz como 
um ambiente de aprendizagem no qual oprofessor e os alunos assumem determinadas responsabilidades e obrigaçõespela construção do conhecimento matemático e pela conversão entre osconhecimentos matemáticos tácito e explícito�, a partir de situações oriundas,preferencialmente, de suas realidades. De acordo com Moretto (2003), tal ambiente de aprendizagem tem como objetivo preparar os alunos para secomportarem como geradores da informação e não como meros expectadores do processo de ensino. Nessa 
perspectiva, Nonaka e Takeuchi (1997) afirmam que ainformação adquirida, aprendida 
e apreendida nesse ambiente de aprendizagem, é transformada em conhecimento que 
é utilizado pelos alunos, em muitas situações, até mesmo para modificar as estruturas 
institucionais nas quais se encontram inseridos, tornando-os, consequentemente, aptos 
para executar ações mais efetivas de transformação social. Por essas razões é que a Modelagem Matemática se mostra como uma forte Tendência em Educação Matemática.
ATIVIDADE AVALIATIVA
A dissertação de Mestrado de Ana Paula Malheiros, intitulada “A produção matemática 
dos alunos em um ambiente de modelagem” (Malheiros (2004)), traz, em seu Capítulo IV, 
uma apresentação dos trabalhos de modelagem desenvolvidos pelos estudantes da disciplina 
Matemática Aplicada do Curso de Ciências Biológicas da Universidade Estadual Paulista 
(Unesp), campus de Rio Claro/SP. 
 4 Ver Rosa e Orey (2012, p. 265).
64
Faça o que se pede
•	 Escolha um desses trabalhos e elabore um resumo da apresentação dele, feita pela referida autora.
(A mencionada dissertação está disponível no seguinte sítio da Internet:
<http://www.rc.unesp.br/gpimem/downloads/dissetacoes/malheiros_aps_me_rcla.pdf>.
Acesso em 10 mar. 2013)
Observação – Repare que, no link acima, a palavra “dissertações” está escrita sem a letra 
“r” e com “c”, em vez de “ç”. Digite tal como está e terá acesso ao trabalho em referência.
Jogos no ensino de Matemática
Objetivo
•	 Avaliar um jogo no âmbito de uma atividade de ensino de Matemática.
unidade 5
unidade 5
67
De imediato, uma questão:
•	 Que aspectos fazem dos jogos uma tendência em Educação Matemática?
Podemos afirmar – como o faz Smole (2007) – que, 
[...] por sua dimensão lúdica, o jogar pode ser visto como uma das bases sobre a qual se desenvolve o espírito construtivo, a imaginação, a capacidade de sistematizar e 
abstrair e a capacidade de interagir socialmente. Isso ocorre porque a dimensão 
lúdica envolve desafio, surpresa, possibilidade de fazer o novo, de querer superar os obstáculos e o incômodo por não controlar todos os resultados (p. 10).Assim, o trabalho com jogos nas aulas de Matemática amplia habilidades como a observação, 
a reflexão e a busca de hipóteses, desenvolvendo, consequentemente, o raciocínio lógico. Além disso, propicia a interação entre os alunos, favorecendo a socialização entre eles. De 
acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), as crianças, durante um jogo, 
além de repetirem situações, são também levadas a criar – e a discutir – regras e explicações. Ao participarem de jogos, os alunos trabalham o emocional e o social, desenvolvendo o seu 
raciocínio lógico matemático. Por isso, é evidente o quanto a utilização de jogos em sala de 
aula é proveitosa. Na medida em que o professor contextualiza esse método, certamente provocará maior interesse pelas aulas de Matemática.
Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática
[...] é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos 
alunos que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la. Dentro da situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a motivação é grande, 
notamos que, ao mesmo tempo que estes alunos falam Matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes mais positivas frente a seus processos 
de aprendizagem (BORIN,1996, p.9).
Como levar um jogo para a sala de aula de Matemática?
Primeiramente, deve-se destacar que o trabalho com jogos não deve ser esporádico e sua 
execução precisa ser cuidadosamente planejada. É recomendável que esta atividade se 
faça presente ao longo de todo o ano letivo e que funcione, de fato, como uma estratégia 
aliada à construção do conhecimento (Starepravo, 1999). Afinal, o objetivo primeiro de 
um jogo é fazer com que os alunos se interessem pela Matemática e passem a gostar de 
68
aprender os conteúdos desta disciplina. Enquanto joga, o aluno reflete, analisa, levanta e testa hipóteses para conseguir vencer. Por essa razão, uma atividade como essa deve ser 
utilizada como um complemento às aulas diárias. O professor, ao preparar suas aulas com a utilização de jogos, deve escolher técnicas para uma exploração de todo o potencial do 
jogo; também deve analisar as metodologias adequadas ao tipo de trabalho que pretende, 
tais como a melhor maneira de organizar os grupos e a seleção de jogos quesejam 
adequados ao conteúdo que se pretende trabalhar. 
Smole, Diniz e Milani (2007) sugerem formas de utilização dos jogos. Segundo eles, é 
imprescindível que se realize o mesmo jogo várias vezes a fim de que o aluno tenha tempo de aprender as regras e consiga construir os conhecimentos matemáticos envolvidos 
na atividade. É, pois, necessário que, de antemão, os discentes realizem a leitura, a 
interpretação e a discussão das regras do jogo. Outro aspecto a ser considerado é que, tão 
importante quanto jogar, é o ato de registrar as jogadas e as estratégias utilizadas, sendo, 
também, extremamente oportuno propor aos alunos a criação de novos jogos que utilizem 
os conteúdos estudados nos jogos de que eles participaram. Essas, certamente, não são 
tarefas triviais. Mas, sem essas preocupações, os jogos não serão eficazes no âmbito do processo de ensino e aprendizagem da Matemática, tornando-se apenas uma atividade recreativa.
Para se incluir o jogo como um procedimento metodológico, deve-se ter em mente, como 
bem ressalta Gandro (2000), que o jogo exercita a capacidade de resolver problemas, na 
medida em que possibilita a investigação de um conceito através da estrutura matemática a ele subjacente. Durante a realização da atividade, o aluno tem a possibilidade de elaborar 
estratégias que precisam ser sempre testadas com a finalidade de obter a vitória.
O educador matemático, ao incluir jogos em suas aulas, precisa construir, como destaca 
Borin (1996), um ambiente onde haja reflexão a partir da observação e da análise cuidadosa 
das estratégias de ação. É essencial que, no desenvolvimento da atividade lúdica, haja 
troca de opiniões e que se estimule a capacidade de argumentação com o colega, de modo 
organizado. Enfim, segundo este autor, é fundamental que os alunos saibam trabalhar em grupo.
No momento em que propõe um jogo, o professor também deve estar preparado para 
trabalhar com os erros. Borin (1996) nos leva a concluir que, ao resolverem problemas, os 
unidade 5
69
alunos não deveriam apagar as soluções que julgassem erradas, pois estas serviriam para 
chegarem à resposta correta, através da análise dos erros cometidos. Neste caso, é importante 
que se registrem as jogadas realizadas não apenas para uma posterior análise, como também 
para que se não sejam esquecidos os lances efetuados. Os registros matemáticos têm um 
papel relevante na aprendizagem, uma vez que permitem que o aluno relate o que aprendeu 
no momento do jogo e que explicite tais ideias aos colegas e ao professor. Escrever pode 
ajudá-lo a aprimorar suas percepções e levá-lo a uma reflexão acerca dos conhecimentos 
adquiridos. Smoleet al. (2007) observam que “os registros sobre matemática ajudam a 
aprendizagem dos alunos de muitas formas, encorajando a reflexão, clareando as ideias e 
agindo como um catalisador para as discussões em grupo” (p.12).
Para um trabalho sistemático com jogos é necessário que os mesmos sejam escolhidos e trabalhados com o intuito de fazer o aluno ultrapassar a fase da mera tentativa e erro ou 
de jogar apenas por diversão. O ato de planejar uma aula diferenciada também deve levar em consideração alguns cuidados adicionais, como, por exemplo,
•	 estudar o jogo antes de aplicá-lo, ou seja, jogá-lo antes;
•	 nãotornar o jogo uma atividade obrigatória;
•	 escolher os jogos em que o fator sorte não interfira nas jogadas, permitindo que vença 
aquele que descobrir as melhores estratégias;
•	 cuidar para que o jogo escolhido envolva dois ou mais alunos, de modo a oportunizar 
a interação social; e
•	 que as regras do jogo sejam explicitadas e reiteradas.
Desse modo, o jogo na Educação Matemática
[...] passa a ter o caráter de material de ensino quando considerado promotor de aprendizagem. A criança, colocada diante de situações lúdicas, apreende a estrutura lógica da brincadeira e, deste modo, apreende também a estrutura matemática 
presente (MOURA, 1996, p.80).
No Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (1998), do Ministério 
de Educação e Cultura (MEC), em relação à inserção de jogos no ensino de Matemática, 
pontuam que estes
[...] constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem 
que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução de problemas e busca de soluções. Propiciam 
70
a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações [...] (p. 46).
Um exemplo vale mais que mil palavras!
Na atividade avaliativa, a seguir, você terá oportunidade de conhecer um jogo e refletir sobre seus usos didáticos em uma sala de aula de Matemática. Aproveite o momento para 
pesquisar outros exemplos de atividades como esta e avaliar, à luz do que discutimos nesta Unidade, as potencialidades dos jogos na Educação Matemática.
ATIVIDADE AVALIATIVA
Leia o artigo intitulado “Jogo do termômetro maluco como instrumento lúdico no ensino de 
números inteiros”, disponível em
<http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/RE/RE_Cruz_Clayson.pdf>.Acesso em 29 
abr. 2013.
Construa as peças do jogo, jogue-o com alguém, registre as jogadas realizadas e informe 
quem foi o ganhador e por quê. Avalie o jogo.
História da Matemática
Objetivo
•	 Analisar diversos aspectos da área de História da Matemática e avaliar as potencia-lidades de seu uso no ensino de Matemática.
unidade 6
unidade 6
73
Quem foi Hans Freudenthal?
Hans Freudenthal (1905-1990), alemão, é considerado como um importante matemático 
que ofereceu contribuições substanciais a uma área da Matemática chamada de Topologia 
Algébrica. Também trabalhou com Literatura, Filosofia, História e Educação Matemática. 
Segundo D’Ambrosio (2008), Freudenthal foi, de fato, um dos mais importantes matemáticos do século XX. Num certo momento de sua vida, já passados seus sessenta anos, dedicou-
se intensamente à Educação Matemática, tendo criado o Instituto de Pesquisas em 
Didática da Matemática, na Universidade de Utrecht, na Holanda, hoje chamado “Instituto 
Freudenthal”.
Por que falar de Freudenthal aqui?
É que Freudenthal propõe um programa de História da Matemática que possibilita 
compreender esta área como uma Tendência da Educação Matemática. Afinal, ele nos 
propõe cinco questões que devem nortear nossas reflexões a respeito da História da Matemática. Assim, dado um conceito ou conteúdo matemático, cabe indagar, segundo Freudenthal: 
Ao responder a essas perguntas, estaremos entendendo a essência dos tópicos de 
Matemática que estão no currículo escolar. Além disso, estaremos examinando as razões 
da geração desse conhecimento, o que na sociedade motivou seu aparecimento e sua inclusão nos sistemas escolares. 
Freudenthal reconhece que a história da Matemática deveria ser um conhecimento 
integrado, guiado mais pela História Geral do que pelo conteúdo matemático, e deveria 
analisar mais os processos de natureza social, emocional e cognitivo do que os produtos. Um 
fato isolado, descontextualizado, geralmente dá uma impressão falsa. Freudenthal (1981) 
1. Por que isso não foi descoberto antes?2. A partir de que problemas esse tema se desenvolveu?3. Quais eram as forças que o impulsionavam?4. Por que foi essa descoberta tão importante?5. Por que ela foi ou deixou de ser notada pelos seus contemporâneos (não matemáti-
cos)? E por que, em certos casos, continua assim até hoje?
74
também alerta para o perigo de se fazer uma história de anedotas, quando diz que “notas 
históricas em livros escolares muitas vezes são pequenas histórias, isoladas, muitas vezes 
enganadoras e mais entretenimentos que verdades.” Porém, é possível fazer uma história 
da matemática interessante e atrativa, evitando todas essas distorções; contextualizando, 
sem evidentemente fazer umtexto menos rigoroso, impreciso e “aliviado” de matemática correta.
Mas... o que faz dos estudos em História da Matemática uma tendência em Educação 
Matemática?
Inicialmente, é preciso levar em conta – como o faz Garnica (2005) – que diversos objetivos perseguidos pela Educação como um todo também fazem parte da agenda da História. Entre tais objetivos destacamos
•	 pensar a contemporaneidade plasmada num processo histórico;
•	 conhecer elementos desse processo para viabilizar formas de ação alternativas em 
nossas experiências cotidianas;
•	 auxiliar a formação de nossa visão de mundo e interferir no projeto humano de vir-a-ser;
•	 balizar a luta pela atribuição de significados.
É inegável que, ao olhar para a História da Matemática estamos a olhar para a própria 
Matemática. Mas mais aspectos podem ser considerados. Seguindo D. J. Struik podemos 
dizer que a História da Matemática é muito importante porque(i) satisfaz o desejo de saber como é que os conceitos matemáticos apareceram e 
se desenvolveram; (ii) o estudo dos autores clássicos pode oferecer grande satisfação em si, mas tam-
bém pode servir de guia no trabalho matemático; (iii) ajuda a compreender a nossa herança cultural, não só através das aplicações 
que a matemática teve e ainda tem à Astronomia, Física e outras ciências, mas 
também através da relação que teve e ainda tem com campos tão variados como 
a arte, a religião, a filosofia e os ofícios; (iv) oferece um campo de discussão comum com estudantes e professores de ou-
tras áreas;(v) fornece um pano de fundo para se compreenderem as tendências no Ensino da 
Matemática no passado e no presente;(vi) pode-se temperar o ensino com conversas e anedotas. 
unidade 6
75
Portanto, há uma nítida interface entre Educação (em particular, Educação Matemática) e 
História (em particular, História da Matemática). Nesse sentido, os estudos que se valem 
da História da Matemática para nortear ações referentes ao ensino e à aprendizagem de 
Matemática são, decididamente, uma tendência em Educação Matemática. Afinal, fica cada 
vez mais evidente que “à medida que busca compreender a realidade histórica na atividade investigatória, o aluno estará construindo para si informações matemáticas contidas na 
realidade investigada” (Mendes, 2001, p. 34). 
A história da Matemática já ocupa o devido espaço no processo de ensino e de 
aprendizagem de matemática?
Infelizmente, não. Ainda é muito comum não se dar o devido valor à história da Matemática, no processo de formação inicial do educador matemático. Se o futuro 
professor de Matemática não lidar, na graduação, com esta disciplina, como garantir que 
ele vai incorporá-la à sua prática pedagógica? Beatriz S. D’Ambrosio, renomada educadora 
matemática da Miami University (Ohio – Estados Unidos), dá o seguinte depoimento:
Iniciei meus estudos de matemática sem entender nada da história da matemática 
e sem me interessar muito por ela; aliás, eu achava o estudo de história muito 
chato e de pouca motivação. Estudando para ser professora de matemática, 
nunca me preocupei com a história do conhecimento matemático; apenas 
aceitava a matemática, como todos os jovens que estudavam comigo, uma disciplina 
bonita, intrigante, desafiadora e completa (D’AMBROSIO, 2007, p. 399). (Os grifos são meus).
E acrescenta: Para muitos indivíduos, como para mim no início de meus estudos universitários, a atividade matemática se resume em encontrar regras e procedimentos para resolver problemas não reais propostos em livros escolares. A matemática escolar 
se torna obsoleta quando esses mesmos indivíduos enfrentam problemas na vida real. Muitos dos nossos futuros professores começam seus estudos universitários com essa percepção da natureza da matemática reforçada durante onze anos de 
estudos pré-universitários (D’AMBROSIO, 2007, p. 400).
Apesar disso, a própria Beatriz D’Ambrosio, com suas reflexões e maturidade profissional, 
nos ajuda a encontrar as razões pelas quais podemos considerar o estudo da História 
da Matemática como essencial para modificar a visão precária de muitos alunos quanto 
à natureza da disciplina. Quando os futuros professores se envolvem com o estudo da História da Matemática, eles têm a possibilidade de entender os seguintes aspectos:
76
1. a evolução da matemática como processo sociocultural de construção humana;2. o processo construtivista como a ação humana que leva à aprendizagem;3. a semelhança entre o processo histórico e a aprendizagem das crianças;4. a álgebra como processo geométrico e a importância da geometria na fundamentação 
matemática;5. os problemas motivadores para a construção da matemática e como tais problemas 
levaram ao desenvolvimento de diferentes áreas da Matemática;6. a compreensão de soluções alternativas para problemas que são triviais quando se 
utiliza a matemática moderna; e7. a evolução do rigor lógico e de provas matemáticas.
Com isso, a condução do processo de ensino da Matemática pode se tornar dinâmica e 
significativa. Nesse sentido, vale a pena analisar, com mais profundidade, tais aspectos. É 
o que faremos a seguir.
Evolução da matemática como processo sociocultural
Os estudos de História da Matemática levam o futuro professor a entender a evolução da Matemática como parte de um processo sociocultural e a compreendê-la como uma 
atividade ligada à cultura humana. Para que a matemática escolar seja percebida como 
resultado da ação humana de entender e explicar o mundo – e suas experiências nele –, o 
ensino da Matemática nas escolas teria que enfatizar a natureza contextual da disciplina. Para propiciar aos seus alunos experiências de natureza contextual, o professor deve 
entender a evolução da Matemática dessa maneira. “Exemplos de contextos históricos, 
acessíveis aos alunos, que motivaram a construção matemática incluem a divisão de terras, o pagamento de taxas, a divisão de pão, a construção de obras (incluindo altares 
religiosos), dentre muitos outros” (D’AMBROSIO, 2007, p. 400-401).
A História da Matemática, nessa perspectiva, se coloca como uma tendência em educação 
matemática. Afinal, professores que têm uma perspectiva histórica da evolução da matemática como processo de construção humana, são capazes de
•	 aproveitar a experiência e a realidade cultural dos seus alunos para escolher proble-
mas motivadores e contextualizados;
•	 trabalhar a proposta etnomatemática, como sugerida por Ubiratan D’Ambrosio;
•	 utilizar a Matemática como instrumento para desenvolver uma crítica às injustiças 
unidade 6
77
sociais;
•	 se apropriarem de problemas cotidianos para incentivar a construção de conhecimen-to matemático dos alunos, simulando com eles o processo histórico de construção de conhecimento pela humanidade.
Construtivismo na ação humana de aprender
Como bem observa D’Ambrosio (2007),
Examinando o que existe hoje recuperado da matemática antiga, como a egípcia, a grega, a babilônica, a hindu ou a chinesa, encontramos problemas conceitualmente acessíveis aos alunos dos primeiro ou segundo graus. Porém, o objetivo em utilizá-los na preparação de futuros professores vão além de sua utilidade na futura prática de ensino do mesmo. Servem como exemplos da participação humana no processo de construção do conhecimento. Talvez sejam os exemplos mais efetivos ao explicarmos 
o construtivismo humano aos alunos universitários (D’AMBROSIO, 2007, p.401).
Quando se trabalha com problemas históricos, é imprescindível que os alunos procurem 
resolvê-los usando apenas os conceitos que já existiam na época em que foram propostos. À guisa de exemplo, consideremos o problema histórico proposto e resolvido por Heron 
de Alexandria, que viveu na Grécia por volta do ano 100 d.C.:
•	 dividir 25 por 13.
Frações comuns eram usadas com certa frequência pelos gregos antigos. Mas Heron, escrevendo para o homem prático, parece ter preferido as fraçõesunitárias (com denominador igual a 1), tal como faziam os antigos egípcios. Ele escreveu a resposta 
do problema acima como (Boyer, 1996, p. 119). Portanto, é aconselhável que se peça ao 
aluno que resolva esse problema, utilizando-se apenas frações unitárias. O pensamento 
simples, quando já se conhece um conceito mais avançado, é um grande desafio. A falta de 
sofisticação torna problemas antigos mais difíceis para o homem moderno. Além disso, 
como enfatiza D’Ambrosio (2007), 
[...] o uso de frações unitárias, como elemento básico na resolução de problemas envolvendo frações não unitárias, assemelha-se ao processo utilizado por crianças ao resolverem o mesmo problema. A construção de frações não unitárias pelas 
crianças é um processo que ocorre depois de uma fundamentação profunda 
no uso de frações unitárias (p. 401). (Os grifos são meus).
78
A propósito, como destaca Bertoni (2009),
Nas experiências realizadas sobre o ensino-aprendizagem das frações, destacamos, entre outros pontos observados: [...]
- Constatação de que trabalhar com famílias de frações interrelacionadas, como 
meio/quarto/oitavo, terço/sexto/nono, quinto/décimo/vinte avo4, permitia que 
a criança estabelecesse relações e atribuísse significado a operações iniciais com esses números (p. 17).Sabendo-se, pela História da Matemática, da velha preferência egípcia pelas frações unitárias, torna-se possível compreender o processo inicial de construção do conceito de 
fração pela criança. Reforçando essa ideia, D’Ambrosio (2007) observa que
[...] alguns currículos modernos colocam problemas semelhantes aos históricos 
para serem resolvidos pelos alunos. Os guias dos professores mostram possíveis soluções realizadas pelos alunos. Sem experiência com a história da matemática 
e sem uma reflexão sobre o processo de construção do conhecimento, os 
professores estranharão a solução comumente proposta pelas crianças (p. 
401). (Os grifos são meus).
Processo histórico e a construção do conhecimento
O estudo da História da Matemática pode ajudar a esclarecer aspectos importantes do processo de aprendizagem de determinados conceitos matemáticos. Por outro lado, o 
estudo das questões afetas à aprendizagem pode levar o historiador a novas interpretações 
do desenvolvimento de conceitos através dos séculos. Por essa razão, D’Ambrosio (2007) 
nos chama a atenção para o fato de que
[...] o estudo da história matemática se apresenta como uma oportunidade para 
entender tanto problemas que possam motivar a construção de novos conceitos 
matemáticos quanto a sequência de esquemas desenvolvidos pelos indivíduos ao 
procurar uma solução significativa para um problema (p. 402).
Geometria como fundamentação da álgebra e das operações numéricas
Conhecimentos históricos podem ser utilizados para romper com certas crenças e mitos 
sobre a matemática. Por exemplo, há quem se considere bom na Álgebra – e nas operações 
numéricas – mas que tenha muitas dificuldades com a geometria. Com isso, a Álgebra e a 
5 Um meio, um quarto, um oitavo, um terço, um sexto, um nono, um quinto, um décimo, um vinteavo são 
frações unitárias.
unidade 6
79
Geometria ficam compartimentalizadas, como se fossem conjuntos de ideias isoladas. É um 
equívoco não compreender que há uma sinergia entre as ideias algébricas e geométricas. 
O estudo da História da Matemática permite-nos perceber que a Geometria estabelece 
o alicerce do que conhecemos como Álgebra hoje, e que há uma base geométrica para as operações numéricas. No livro Elementos de Euclides de Alexandria (360 a.C. – 295 a.C.), alguns algoritmos rotineiros da álgebra se tornam explicados geometricamente. Por 
exemplo, como destaca Ávila (2001), a Proposição 4 do Livro II dos Elementos
[...] é o equivalente, em linguagem geométrica, da propriedade que hoje conhecemos 
como “quadrado da soma” (igual ao quadrado do primeiro, mais o quadrado do segundo, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo). Euclides enuncia isso 
geometricamente assim: “se um segmento de reta é dividido em dois, o quadrado 
construído sobre o segmento inteiro é igual aos quadrados construídos sobre os 
segmentos parciais e duas vezes o retângulo construído com esses segmentos”. 
Euclides não fala, mas ele está se referindo a áreas, quando diz “... é igual...” (p. 4).
Outro exemplo que mostra a interação Álgebra/Geometria pode ser tirado do Papiro de Rhind5, quando se pede para encontrar as dimensões de um retângulo, sabendo-se que 
metade do perímetro é igual a e a área igual a . Katz (2003) informa como o escriba Ahmes descreve a solução, fornecendo os seguintes passos para sua obtenção:
•	 Encontra-se metade de que é .
•	 Eleva-se ao quadrado, encontrando-se .
•	 Subtrai-se de , obtendo-se .
•	 Encontra-se a raiz quadrada de , que é .
•	 O comprimento do retângulo é 
•	 A largura do retângulo é
Usando notação moderna, podemos assim descrever esse problema e sua respectiva 
solução, destacando que o método usado é o completamento de quadrado, para resolver 
uma equação quadrática (afinal, ainda não existe a Fórmula de Bhaskara, nesse contexto):
6 Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um documento egípcio de cerca de 1650 a.C., onde um escriba, 
de nome Ahmes, detalha a solução de 85 problemas de aritmética, frações, cálculo de áreas, volumes, progres-
sões, repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares,trigonometria básica e Geometria. É um 
dos mais famosos antigos documentos matemáticos que chegaram aos dias de hoje, juntamente com o Papiro de 
Moscou.
80
Problema: Encontrar as dimensões e de um retângulo, sabendo-se que
Solução. Da primeira equação, tiramos que . Substituindo isso na segunda equação, obtemos
Lembrando que concluímos:
unidade 6
81
É oportuno notar que, de acordo com D’Ambrosio (2007),
Mais uma vez, o que para um aluno da idade moderna parece um problema de manipulação simbólica trivial (simplesmente resolvido com a fórmula de resolução 
de equações do segundo grau), na antiguidade o problema seria resolvido geometricamente. A existência de um desenho geométrico ilustrativo do processo 
algébrico de completar o quadrado é muito interessante para o futuro professor. Esse desenho geométrico torna-se uma ferramenta alternativa para se trabalhar a 
compreensão das ideias com seus futuros alunos. O desenho da solução dada pelo 
escriba [Ahmes] explica bem porque atribuímos o nome de completar o quadrado a esse processo aritmético e geométrico da antiguidade, hoje um processo algébrico (p. 402-403).
Com isso, aponta D’Ambrosio (2007), é possível perceber que
[...] a análise de estratégias de solução de problemas diversos se assemelha a uma das 
práticas diárias de qualquer professor de matemática. O professor com prática de 
refletir sobre o pensamento dos matemáticos da história e analisar como seu modo 
de pensar se encontra modificado na era atual tem melhores oportunidades para apoiar os seus alunos no seu processo individual de construção de conhecimento matemático. Esses professores conseguem se liberar do seu método de resolver um problema e aceitar a solução alternativa proposta por outros, incluindo soluções propostas por seus alunos. Seu repertório de soluções é muito mais rico e repleto de conexões e relações entre ideias (p. 403).
Soluções históricas não triviais comparadas às soluções de hoje
Como sabemos, algoritmos tornam trivial a solução de diversos problemas. Através da 
História, torna-se possível verificar a dificuldade em se construirem esses algoritmos e 
a criatividade envolvida na tarefa de desenvolvê-los. Esse aspecto é de grande relevância 
para o processo educativo. Nessa mesma linha, também é importante que, em sala de 
aula, se busque compreender a criação e o uso dos diversos símbolos e representações matemáticas. Sem pressa de avançar seus alunos ao uso de notaçãomoderna, o professor pode auxiliar, e muito, o processo de compreensão de uma nova ideia pelos seus alunos. 
A compreensão profunda requer um processo de invenção pessoal para notações e representações de conceitos novos. A invenção de algoritmos próprios faz parte importante 
do aprendizado com compreensão. Pela História, torna-se perceptível que a evolução de diversas ideias não foi fácil, nem trivial. São o caso, por exemplo,
82
•	 da simbologia da Álgebra;
•	 da notação para números decimais;
•	 das igualdades e frações;
•	 da aceitação de números negativos e raízes negativas,
que se deram de maneira lenta e gradual.
Com importante implicação para o ensino de Matemática, é muito desejável que os 
professores compreendam a dificuldade de se aperfeiçoar um sistema matemático. Só assim eles podem dar maiores oportunidades aos seus alunos de construírem seus sistemas 
próprios, que poderão ser aperfeiçoados pela comunidade de alunos, provocando, assim, 
aulas dinâmicas e significativas para o processo de construção de conhecimento. Outro 
resultado importante da análise histórica da evolução de algoritmos é de se desmitificar a 
ideia de que um algoritmo seja muito superior a outros. Analisando o processo histórico, 
verificamos que, no âmbito mundial, diferentes povos criaram distintos algoritmos para 
resolverem os mesmos problemas ou para lidarem com ideias difíceis. E isso precisa estar presente nas discussões de sala de aula.
Evolução do rigor lógico e de provas matemáticas
Através da História da Matemática torna-se possível analisar a evolução da prova 
matemática e do rigor matemático. O critério de rigor, a necessidade de provar teoremas 
e conclusões, evolui de forma interessante, historicamente. O professor, treinado para 
aceitar apenas provas rigorosas de acordo com o critério moderno, sente dificuldades com as narrativas utilizadas nas provas de teoremas apresentadas na Antiguidade e de fato, demonstrações registradas até o período da Renascença (em torno de 1500). Textos históricos geram discussões importantes entre os futuros professores ao avaliarem até 
que ponto eles aceitam os trabalhos históricos como provas matemáticas. Por exemplo, os 
textos de GirolamoCardano (1501-1576) – ainda muito textuais – são motivo de grande discussão. Em sala de aula, é importante discutir as provas produzidas pelos alunos, num 
contexto de aceitação ou não, de provas históricas. Como pontua D’Ambrosio (2007),
A discussão sobre as características modernas de provas matemáticas versus os 
critérios antigos são um contexto rico para a reflexão dos futuros professores sobre 
o que se aceita como prova matemática. Discussões sobre como a comunidade 
determina os critérios, como os critérios se modificam com o tempo e como os 
critérios evoluíram para o que conhecemos hoje, criam oportunidades para 
unidade 6
83
os professores refletirem sobre o que seja uma prova matemática e qual sua 
importância no processo de construção do conhecimento (p. 404).Analisando trabalhos de alunos dos ensinos fundamental e médio, constata-se uma 
tendência a se explicar e justificar ideias através da explanação narrativa. A prova formal 
matemática parece uma forma forçada de justificativa, desviando muito de como os 
alunos justificam seus pensamentos. Por essa razão, o conhecimento a respeito de como 
se desenvolveu, ao longo do tempo, o rigor lógico da Matemática – e as provas de seus 
teoremas – pode provocar ricas reflexões no processo de ensino e de aprendizagem de determinados tópicos da Matemática. 
Questões para refletirmos sobre os modos de escrever uma história da matemática
Até aqui, nos limitamos a apresentar a História da Matemática como um importante 
instrumento de ação no processo de ensino e de aprendizagem da disciplina – o que a põe 
como uma tendência nos estudos e pesquisas da área de Educação Matemática. Acontece 
que não podemos ser ingênuos quando estudamos História. Afinal, como destaca Nobre (2004),
Muitos elementos que fornecem informações para a escrita da história apresentam direcionamentos representativos de uma forma de pensamento, seja ela política, 
filosófica ou de cunho social. Esses elementos são trabalhados para que se tenha 
uma visão específica da história (p. 531).
A leitura de textos históricos só faz sentido quando acompanhada de reflexões sobre quem 
os escreveu, quando, em que contexto, com que intenções e baseados em quê. Essa, sem dúvida, não é uma tarefa fácil. É preciso experiência e dedicação. Contudo, é importante 
termos em mente que não há “A” História da Matemática, mas, sim, “UMA” História da 
Matemática. Tanto alunos quanto professores devem ser treinados para questionar fatos 
históricos, buscando, quando for o caso, várias versões para um mesmo assunto. Para deixar clara essa preocupação, é bastante ilustrativa a observação feita por Anglin (2001), 
quando ele lembra que Hipácia, uma matemática do século V, foi assassinada por uma 
quadrilha de rua em Alexandria. Acontece que 
Hipácia era uma pagã e alguns membros da quadrilha eram “cristãos”. Um historiador anti-Matemática poderia descrever a morte de Hipácia como a remoção 
de uma reacionária arrogante que representava um obstáculo para a construção da nova sociedade cristã. Contudo, o historiador pró-Matemática, invariavelmente, 
beatifica Hipácialamentando sua morte como um sinal do declínio da Razão no 
Ocidente (ANGLIN, 2001, apud VIANNA, 2010, p. 500).
84
É oportuno observar que os historiadores da Matemática costumam ser anacrônicos e 
pouco críticos quando se referem à matemática grega. Isso gera interpretações equivocadas cujos desacertos tendem a crescer enormemente. Para muitos matemáticos e professores de Matemática, o contato com a História da Matemática acaba por acontecer de modo 
intermitente, quer pela leitura de um único livro sobre o assunto, quer pelos comentários 
ocasionais de seus professores. Isso contribui para que essa visão distorcida se propague 
e ganhe moldes de verdade inatacável. Só para citar um exemplo, veja o que o historiador E. H. Carr nos lembra: 
Nossa imagem da Grécia no século V a. C. é incompleta não porque tantas partes se 
perderam por acaso, mas porque é, em grande parte, o retrato feito por um pequeno grupo de pessoas de Atenas. Nós bem sabemos como a Grécia do século V (a. C.) era vista por um cidadão ateniense, mas não sabemos praticamente nada de como era vista por um espartano, um corintiano ou um tebano - para não mencionar um persa, ou um escravo ou outro não-cidadão residente em Atenas. Nossa imagem foi pré-
selecionada e pré-determinada para nós (CARR, 1978 apud VIANNA, 2010, p. 501). 
Com o propósito de chamar a atenção para a necessidade de uma leitura crítica da História, 
em particular da História da Matemática, também vale a pena registar que, para se chegar 
a um resultado matemático, há todo um processo que envolve diferentes pessoas com suas respectivas contribuições. Há, no entanto, algumas distorções na história. Em alguns 
desses “batismos” foram contemplados erroneamente alguns personagens. Por exemplo:
1. O Princípio de Cavalieri (devido ao matemático italiano BonaventuraCavalieiri (1598-1647) não deveria ser assim chamado, pois, embora não utilizando as ideias relativas aos indivisíveis, os chineses tinham os conceitos relativos a esse Princípio por volta do século VI da era cristã.2. o Triângulo de Pascal não é de Pascal porque, também, é oriundo da tradição milenar 
chinesa e é conhecido, nesse contexto, como Triângulo de Yanghui.3. O Binômio de Newton não pode ser atribuído a Isaac Newton. Tendo relações com o Tri-
ângulo de Pascal, esse binômio é conhecido por professores de Matemática dos ensinos 
fundamental e médio como sendo o desenvolvimento da soma (a+x) n, com n ∈ N. Acon-
tece que, segundo Nobre (2004), há uma falsa interpretação. Isaac Newton (1643-1727) ocupou-secom esse tipo de problema, mas o resultado acima, atribuído a ele, não foi sua 
conquista. A igualdade 
n
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85
que é conhecida como sendo o desenvolvimento do Binômio de Newton – já havia sido 
trabalhada por outros matemáticos, como o alemão Michael Stifel (1487-1567) e o francês Blaise Pascal (1623-1662) algumas décadas antes e era considerado um pro-
blema trivial para a época de Newton. Seus estudos em respeito a esse assunto foram 
mais profundos e o verdadeiro binômio com o qual Newton se ocupou foi relativo ao desenvolvimento de expressões mais complexas como , pois seu propósito 
era o trabalho com o desenvolvimento de séries infinitas.4. O Teorema de L’Hôspital não pertence ao francês Marquês de L’Hôspital (1661-1704). 
A comunidade científica, ao constatar que havia um contrato entre o suíço Johann 
Bernoulli (1667-1748) – quem de fato chegou ao resultado do teorema – e o Marquês 
de L’Hôspital, que pagou para ser encaminhado em seus estudos em Matemática, con-
siderou que seria justo manter o nome deste último no famoso teorema.5. O Princípio de Convergência de Séries, conhecido como Princípio de Cauchy, na verda-de não pode ser chamado assim, pois, pelo menos 20 anos antes o matemático portu-guês José Anastácio da Cunha havia chegado a esse resultado.6. O plano coordenado utilizado hoje em dia, conhecido como Coordenadas Cartesianas, 
não poderia ser atribuído ao francês Renè Descartes (1596-1650), pois, na verdade, 
ele não utilizou este sistema da forma como lhe é atribuído. O primeiro a usar a repre-sentação em forma de um sistema de coordenadas foi o alemão Gottfried Wilhelm von 
Leibniz (1646-1716).De acordo com Nobre (2004),
[...] por trás de cada um desses exemplos há uma história a ser revista, assim como 
há muitas outras histórias a serem reescritas sobre outros assuntos ligados à 
Ciência em geral, e à Matemática em especial. A questão em relação a este tema é 
saber se tais “equívocos históricos” foram feitos apenas por falta de conhecimento, 
ou se são interpretações conduzidas. Para se amenizar o impacto da “interpretação” 
é que o movimento historiográfico em geral, e o da Ciência em específico, possui necessidade de atualização (p. 533).
E ainda tem outra questão: 
Existem elementos da História da Ciência que sempre estarão sob suspeita, pois muito pouco há de concreto sobre algumas informações prestadas por terceiros, 
que, muitas vezes, viveram séculos após a ocorrência do evento mencionado. 
86
Exemplo a isso é encontrado na história antiga da Matemática. A não existência de documentos comprovatórios relativos a fatos relevantes na História da Ciência levou os historiadores a juntar informações para se reconstruir a história de 
forma aproximada àquilo que de fato possa ter acontecido. São raros os textos 
que discorrem sobre assuntos científicos que aconteceram antes da Era Cristã. Como exemplo reporto-me a um dos primeiros personagens da Grécia Antiga, 
Thales de Mileto, cujas informações dizem que viveu entre os anos 625 e 547, ou seja, nos séculos VII e VI antes da Era Cristã. A ele são atribuídos alguns feitos 
que deram grandes contribuições ao desenvolvimento da Ciência e da Matemática. Efetivamente sobre ele só existem algumas menções feitas a partir de um século após sua morte (p. 534).
Além disso, é oportuno trazer à baila a forma como a história é apresentada, muitas vezes, 
isola o grande pensador do mundo do qual ele fez parte, mas não se pode esquecer de que, nesse mundo, estavam presentes a família, o ambiente social, os amigos, a escola e seus 
professores. Por isso, Nobre (2004) caracteriza “como ingenuidade histórica a afirmação 
de que nada disso teria contribuído para que o grande gênio chegasse aos seus resultados” 
(Nobre, 2004, p. 539).
Inclusive, para o professor que planeja utilizar História da Matemática no ambiente escolar, uma coisa é certa:
O papel do historiador é sempre estar atento à origem das informações que 
recebe e à diversidade dos caminhos que levaram à concepção do fato histórico consumado. Informações históricas são, naturalmente, oriundas de interpretações 
e somente com uma análise crítica, a partir de elementos quantitativos, mas com 
base qualitativa, é que se pode ter clareza sobre a informação adquirida. Elementos 
qualitativos para a análise do fato histórico levam ao historiador a uma melhor e 
aprofundada concepção do objeto estudado. E isso pode fazer com que ele tenha 
maior propriedade sobre interpretação histórica concebida (NOBRE, 2004, p. 541).
Em geral, é preciso ter sempre em mente que a escrita da história passa pelas seguintes situações:
•	 há casos em que há falta de informações concretas;
•	 há tópicos sobre os quais há informações, mas estas são distorcidas;
•	 há contextos sobre os quais também há informações, mas estas não são completas.
Outros casos ainda poderiam ilustrar e complementar este assunto. Porém, para o objetivo 
inicial deste item, creio que os exemplos aqui apresentados demonstram, pelo menos 
de forma introdutória, a necessidade de o historiador – e o leitor de História – estarem 
unidade 6
87
atentos às informações que lhes são fornecidas. Não basta ter a História da Matemática como ferramenta didática para o ensino de Matemática. É preciso provocar discussões e 
reflexões sobre a escrita da história. É essa perspectiva que, no final das contas, contribui 
efetivamente para a formação pessoal e profissional de um aluno.
ATIVIDADE AVALIATIVA
1. Leia o artigo intitulado “Leitura crítica da história: reflexões sobre a história da ma-
temática”, de Sergio Nobre, disponível no seguinte sítio da Internet:<http://www.
scielo.br/pdf/ciedu/v10n3/15.pdf>. Acesso em 02 abr. 2013.
Responda agora às seguintes questões:(a) Baseado em que argumentos, Nobre levanta suspeitas sobre as informações que se 
têm a respeito de Thales de Mileto?(b) O que Nobre comenta a respeito do famoso Teorema de Thales?(c) De acordo com Nobre, é duvidosa também a existência de um personagem de nome 
Pitágoras? Por quê?(d) O que Nobre nos faz refletir com esses exemplos?
2. Leia o artigo intitulado “História da Matemática, Educação Matemática: entre o 
Nada e o Tudo”, de Carlos Roberto Vianna, que pode ser baixado no seguinte sítio da Internet: <http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/
view/3764/3164>. Acesso em 22 abr. 2013.
Responda também:
O que você acha que Vianna quis que refl etíssemos com esse artigo?
3. Leia o artigo “Concepções de professores de matemática sobre a utilização da história 
da matemática no processo de ensino-aprendizagem”, de Marger da Conceição Ventu-
ra Viana e Célia Maria da Silva, disponível no seguinte sítio da Internet: <http://limc.
ufrj.br/htem4/papers/15.pdf>. Acesso em 23 abr. 2013.
Responda mais:
Que pontos do artigo você destaca? (Faça um breve comentário sobre cada um deles)
88
Para final de conversa...
A produção científica na área de Educação Matemática teve um crescimento substancial nos últimos anos. Neste módulo, minha intenção foi apresentar, de forma sucinta, as 
diversas tendências que se consolidam nesse campo de pesquisa. O meu desejo é que você 
possa levar as reflexões aqui realizadas para a sua prática pedagógica, elaborando suas 
próprias estratégias didáticas para aplicação em sala de aula. Não se limite às leituras aqui propostas. Invista na sua formação inicial de professor de Matemática e abra, também, perspectivas para estudos mais avançados, em nível de mestrado e doutorado. Há, no 
Brasil, diversos Programas de Pós-graduação em Educação Matemática que podem ser 
para vocêuma porta de entrada no mundo das pesquisas dessa área. Sinceramente, espero 
ter despertado em você o interesse pelas tendências aqui abordadas e torço fortemente 
para que você construa uma sólida carreira docente. Além de lutarmos pela valorizaçãoefetiva do Magistério no nosso País, temos a obrigação de nos tornarmos profissionais cada 
vez mais bem qualificados e dispostos a enfrentar – e solucionar – os graves problemas de ensino de Matemática. Sucesso para você!
89
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