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Tendências em Educacao Matematica

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José do Carmo Toledo
Tendências em Educação Matemática
.
UFSJMEC / SEED / UAB2013
Reitora
Valeria Heloisa Kemp
Coordenador UAB
Carlos Alberto Raposo da Cunha 
Coordenadora Geral NEAD/UFSJ
Marise Maria Santana da Rocha
Coordenadora do PACC 
Mirtes Zoé da Silva Moura
Conselho Editorial 
Alexandre Carlos Eduardo
Fábio Alexandre Matos 
Geraldo Roberto de Souza (Presidente)
Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva
José do Carmo Toledo 
José Luiz de Oliveira
Leonardo Cristian Rocha 
Maria do Carmo Santos Neta
Maria Rita Rocha Carmo 
Marise Maria Santana da Rocha 
Rosângela Branca do Carmo 
Terezinha Lombello 
Edição 
Núcleo de Educação a Distância - NEAD/UFSJ
Conselho Editorial NEAD/UFSJ
Capa / Diagramação 
Luciano Alexandre Pinto
Aluízio Sérgio da Silva
Tiragem
000 exemplares
3
Sumário
Para início de conversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Unidade 1 - Tecnologias da Informação e Comunicação. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Unidade 1 - Resolução de Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Unidade 1 - Etnomatemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Unidade 1 - Modelagem Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Unidade 1 - Jogos no ensino de Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Unidade 1 - História da Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Para final de conversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
4
Para início de conversa...
... uma pergunta:
•	 Por que uma disciplina como esta num Curso de Graduação em Matemática?
Prezado(a)Aluno(a), como você bem o sabe, o chamado mundo do trabalho vem sofrendo profundas transformações nas últimas décadas. De um modo geral, a obtenção de 
um diploma de graduação não é mais suficiente para garantir a conquista de um bom 
emprego ou a eficiência (e a eficácia) do desempenho profissional. Uma disciplina como esta, além de ajuda-lo(a) em sua formação inicial como educador(a) matemático(a), pode lhe abrir caminhos para estudos de pós-graduação na área de Educação Matemática. É 
importante que você saiba desde já que, no campo da Educação, em particular, está cada 
vez mais evidente que o professor precisa assumir o caráter permanente de sua formação. Queremos dar o pontapé inicial desse processo. 
Assim, a fim de que você se prepare para o contínuo aprimoramento de sua instrução, é 
imprescindível que você tome contato, ainda na graduação, com as Novas Tendências 
em Educação Matemática.Portanto, o propósito desta disciplina é criar um contexto 
propício para que você construa um entendimento sobre
(i) diversas questões que dizem respeito à Educação Matemática como uma área 
de pesquisas;
(ii) as tendências investigativas desse campo científico e suas contribuições para o 
processo de formação do professor de Matemática;
(iii) aspectos do trabalho do educador matemático;
(iv) as potencialidades desse campo científico para o ensino e aprendizagem da Matemática.
Sinceramente, não tenho interesse em transformar esta disciplina em uma mera unidade 
curricular que fará parte apenas formal no seu histórico escolar. O meu desejo é que 
nasça, nas discussões que proporei, uma importantíssima oportunidade para que você 
definitivamente se aproxime da Educação Matemática, uma área de pesquisas ainda 
recente em nosso meio, mas que já oferece condições para auxiliá-lo(a) no exercício de 
5
suas funções docentes e, mais tarde, no aprimoramento de sua qualificação profissional. 
Contudo, para que esta seja de fato uma instância significativa de sua formação – e eu 
consiga, assim, sucesso nas minhas pretensões –, dependo de sua inteira lealdade e de 
sua parceria.Além de estudar as Unidades que constituem este Módulo Didático, leia com 
cuidado as referências apontadas, refletindo detidamente sobre as questões pedagógicas nelas abordadas ou indicadas. Procure, por conta própria, novas fontes de consulta e incorpore-as ao seu material de estudo. Seu sucesso na disciplina depende, antes de tudo, 
de seu constante envolvimento. Que você se interessefortemente pelos assuntos aqui discutidos é o meu sincero desejo. Bons estudos!
Prof. José do Carmo Toledo.
7
Introdução
Aqui nos propomos a discutir as “Tendências em Educação Matemática”. 
...mas, o que vem a ser isso?
Primeiro, é importante registrar formalmente o significado da palavra “tendência”. De 
acordo com o Novo Dicionário Eletrônico Aurélio, “tendência” significa1. Inclinação, propensão. 2. Vocação, pendor.
3. Força que determina o movimento de um corpo. 4. Intenção, disposição.
Em seguida, é imprescindível observar que, no enfrentamento das questões ligadas ao ensino de Matemática, diversos educadores matemáticos propõem práticas inovadoras 
que acabam por se destacar como tendências. Várias pesquisas na área de Educação 
Matemática têm apontado, ao longo de sua história, caminhos que podem ser adotados por 
aqueles que desejam alcançar mudanças efetivas no processo de ensino e de aprendizagem 
da Matemática. Consequentemente, tais caminhos se consolidam como uma tendência, 
principalmente quando levam à produção de resultados efetivos em sala de aula. Portanto, 
o objetivo precípuo desta disciplina é pontuar algumas das tendências que delimitam o 
campo da Educação Matemática. A intenção é dar a você, que está em processo inicial 
de formação de professor de Matemática, oportunidade de conhecer algumas “vocações” 
das pesquisas desta área. Afinal, elas podem ser decisivas no desenvolvimento do seu trabalho docente, além de lhe abrirem perspectivas para estudos mais avançados em nível de mestrado e doutorado. 
Pra deixar bem claro: quem são os “educadores matemáticos”?
Adotando a definição de Kilpatrick& Silver (2004), educadores matemáticos são todos 
aqueles que lidam profissionalmente com o ensino e a aprendizagem da Matemática, seja 
em que nível for.
E a expressão “Educação Matemática” a que se refere? 
8
Ao responder a pergunta “o que é a Educação Matemática?”, Ubiratan D’Ambrosio, um 
pioneiro desta área no Brasil – de renome internacional –, assim se manifesta:
Um ramo da Educação? Sim. Não se pode tirar a Educação Matemática de seu lugar muito natural entre as várias áreas da Educação. Mas não seria 
também uma especialização da Matemática? Claro. Tem tudo a ver com 
Matemática. E por que, então, distingui-la como uma disciplina autônoma? Não 
poderíamos simplesmente falar em Educação Matemática como o estudo 
e o desenvolvimento de técnicas ou modos mais eficientes de se ensinar 
Matemática? Ou como estudos de ensino e aprendizagem da Matemática? 
Ou como metodologia de seu ensino no sentido amplo? Claro, não se pode 
negar que a Educação Matemática aborda todos esses e inúmeros outros desafios 
da Educação e, portanto, é tudo isso. Não obstante, há certas especificidades que 
tornam a Educação Matemática merecedora de um espaço próprio (D’AMBROSIO, 
1993, p. 7 – os grifos são meus).
Jeremy Kilpatrick e Edward Silver, dois conceituados acadêmicos norte-americanos, publicaram, em 2000, um artigo intitulado“Unfinished business: Challenges for 
mathematicseducation in thenextdecades”, que reúne reflexões sobre os grandes desafios da Educação Matemática nos Estados Unidos. No ano de 2004, em Portugal, uma tradução 
desse artigo foi publicada na Revista Educação e Matemática, nº 80, com o título “Uma 
tarefa inacabada: desafios aos educadores matemáticos para as próximas décadas”. 
Assumimos que tais apontamentos são muito apropriados também para uma discussão 
acerca da Educação Matemática brasileira. No referido artigo, Kilpatrick& Silver ponderam o seguinte:
•	 os professores de hoje estão com uma bagagem maior de conhecimentos matemá-
ticos e pedagógicos, se comparados com os docentes do início do século XX;
•	 os currículos escolares de Matemática estão mais completos do que os de um sé-culo atrás.
Apesar dessas vantagens, asseveram esse autores, os alunos não estão aprendendo 
Matemática suficientemente bem e, pior, saem da escola detestando a disciplina. Na 
realidade, os professores, além de não saberem Matemática o suficiente, não sabem como 
a devem ensinar de modo a que os alunos a aprendam. O currículo escolar de Matemática, 
no fim das contas, é superficial, aborrecido e repetitivo, falhando na preparação dos alunos para a usarem na sua vida fora da escola. “Se queremos que mais alunos aprendam e utilizem 
mais Matemática, com mais sucesso do que presentemente acontece, precisamos enfrentar 
esses desafios” (KILPATRICK & SILVER, 2004, p.80). Esse é o contexto adequado para 
9
argumentar que a Educação Matemática é uma área de pesquisas que nasceu justamente 
para fazer face a tais desafios; em suas investigações, abordam-se, entre outras questões, 
os problemas que se apresentam no bojo dos processos de ensino e de aprendizagem da 
Matemática. Mas a Educação Matemática não é um produto do atual século. Afinal, como 
bem assevera Ubiratan D’Ambrosio, 
A complexidade da Matemática, sobretudo por suas relações com outras áreas 
de conhecimento e por suas implicações sociais, políticas e econômicas, justifica, 
desde a Antiguidade, reflexões, teorias e estudos sobre seu ensino (D’AMBROSIO, 
1993, p. 9).
De fato, a preocupação com o ensino da Matemática é histórica. Na Grécia antiga, a matemática era ensinada na escola pitagórica como um conhecimento necessário para a 
formação dos filósofos e dos futuros governantes, tendo o papel de definir os “espíritos 
mais talentosos”. Com Platão (~426-~348), houve a implantação definitiva da disciplina 
matemática, agora estendida até ao nível das crianças. Aliás, é bom que se diga, na educação 
infantil daquela época, pregava-se que deveriam ser propostos problemas adequados à 
idade das crianças e que eles deveriam ser desenvolvidos de maneira lúdica, através do 
uso de jogos, evitando-se exercícios puramente mecânicos. Além disso, nenhum tipo de 
castigo corporal deveria ser utilizado, alegando-se que “a coação não seria a forma mais 
adequada para resolver o problema da falta de interesse pelos estudos” (MIORIM, 1998, 
p.18).
Apesar dessas raízes históricas, bem antigas, foi no século XIX que as preocupações com o ensino da Matemática tiveram, efetivamente, grande impulso. Na verdade, foi também 
nessa época – meados do século XIX – que a Educação, de um modo geral, se estabeleceu 
como uma disciplina acadêmica. Com o advento da educação para todos – consequência 
natural do processo de industrialização que marcou aquele século –, e o aparecimento da universidade moderna na Alemanha, surgiram formalmente as primeiras cátedras de 
Educação. Quase ao mesmo tempo, foram iniciadas as reflexões sobre a Matemática como 
um assunto escolar com especificidades tais que se justificavam discussões especializadas sobre seu ensino.
E por falar em Alemanha, é oportuno observar que foi o alemão Felix Klein (1849-1925) que se propôs a desenvolver, em seu país, um currículo de Matemática moderna, incorporando os avanços da época. Naturalmente, assim como acontece hoje, a formação de professores 
10
é essencial; afinal, um docente deve dominar o assunto de suas aulas de um ponto de vista 
crítico e mais avançado. Por sua relevância, as ideias de Klein foram publicadas na forma 
de um livro, clássico, que trata a Matemática Elementar de um ponto de vista avançado.
No início do século XX, a preocupação com o ensino da Matemática entre os 
matemáticos se institucionalizava. Em 1908, durante o Congresso Internacional de 
Matemática que se realizou em Roma (Itália), foi fundada a Comissão Internacional de Ensino de Matemática, precursora da atual Comissão Internacional de Instrução Matemática (ICMI: InternationalComissionofMathematicsInstruction). A partir de então, a Comissão tem-se reunido durante todos os Congressos Internacionais 
de Matemática, que se realizam a cada quatro anos. Em 1968, decidiu-se realizar, 
também quadrienalmente, o Congresso Internacional de Educação Matemática (ICME: 
InternationalCongressofMathematicsEducation), organizado sob responsabilidade da 
ICMI. Portanto, desde o início do século passado, pesquisas em Educação Matemática já haviam encontrado repercussão nos meios acadêmicos.
E no Brasil? O que se pode dizer sobre a área de Educação Matemática em nosso meio?
Em 1955, por iniciativa da Professora Martha de Souza Dantas, licenciada em Matemática pela Faculdade da Bahia, realizou-se em Salvador/BA o 1º Congresso de Professores de 
Matemática, tendo a participação ativa do matemático Omar Catunda, professor daquela instituição. Com a preocupação básica de discutir conteúdos e metodologias de ensino, 
foram realizados outros quatro Congressos dessa natureza. No ano de 1964, a discussão 
girava em torno da necessidade de se reformar o ensino de Matemática. O referido congresso teve lugar em São José dos Campos/SP e, como os outros três, foi coordenado 
por Oswaldo Sangiorgi, e, para se ter uma noção da relevância desse encontro, contou 
com a presença de Georges Papy (1920-2011), professor da Universidade de Bruxelas (Bélgica), um dos grandes promotores da chamada Matemática Moderna. Esse é apenas 
um exemplo de movimento em torno de questões ligadas ao ensino de Matemática no Brasil.
Foi somente a partir da década de 1980 que a Educação Matemática ampliou seu espaço 
no cenário educacional. Como fruto desse crescimento, fundou-se, em 1988, a Sociedade 
Brasileira de Educação Matemática – SBEM, que tem como finalidade congregar 
profissionais da área de Educação Matemática ou áreas afins. Atualmente, no País, há vários 
11
centros ou grupos de estudos e pesquisa em Educação Matemática, como, por exemplo, na Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) e na Universidade Estadual Paulista (UNESP/Rio Claro). Em Santa Catarina, destacam-se a Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), a Universidade Regional de Blumenau (FURB) e o Núcleo de Estudos em 
Educação Matemática (NEEM) da Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL).
O desafio: ensinar matemática ou educar matematicamente?
A essência da educação é a mudança social em direção a uma sociedade mais justa e mais igualitária. Em particular, entre os objetivos do ensino de Matemática na escola 
inclui-se o desenvolvimento do poder dos alunos e dos indivíduos em sociedade, quer para ultrapassar barreiras do seu desenvolvimento em termos de educação e emprego, 
quer no sentido de aumentar a sua autodeterminação e o seu envolvimento crítico na 
cidadania social. Na prática escolar, isso significa abrir espaços de discussão em que haja 
questionamentos permanentes e sistemáticos, inclusive acerca dos temas matemáticos 
(e da relevância deles). A ideia é permitir (e encorajar) o conflito de opiniões e de pontos 
de vista. O educador matemático, portanto, além de desenvolver materiais e atividades didáticas para o ensino de matemática, deve se lançar na possibilidade de1. repensar, junto com seus alunos, as funçõesda escola;2. avaliar o significado do ensino da matemática escolar;3. criticar a eficácia dos métodos de ensino vigentes;4. refletir continuamente sobre o papel do professor no processo de ensino e apren-
dizagem da Matemática;5. elaborar um olhar crítico sobre sua própria prática pedagógica.
Nesses termos, uma pergunta desafiadora – e sem uma resposta pronta – se põe:
•	 O que significa ensinar e aprender Matemática no mundo em que vivemos?
Um bom começo para abordar essa problemática, de modo consciente e responsável, pode estar na mudança de foco:
•	 em vez da ideia de “ensinar Matemática”, que tal uma proposta de “educar ma-
tematicamente”?
12
A pura transmissão de fatos matemáticos às crianças e aos jovens já não faz mais sentido no mundo atual. Embora não seja tão facilmente percebido, a sociedade está regulada 
por modelos matemáticos complexos que, para serem compreendidos, requerem o 
conhecimento de determinados conteúdos da Matemática. É essencial, portanto, que se tenha a capacidade de saber lidar com tais modelos, de perceber as suas presença no dia a dia, de aprender a ser crítico relativamente aos modos como são aceitos na sociedade, 
de identificar suas reais intenções e as formas como são produzidos. Por conta disso, 
acreditamos que a ênfase deve ser dada à educação matemática (dos estudantes) e não ao simples e rotineiro ensino de Matemática. 
Para Matos (2004), ao distinguir entre ensinar Matemática e educar matematicamente, duas perspectivas são confrontadas. Algumas visões atuais sobre a didática da Matemática 
colocam o seu ensino como incidindo essencialmente na tarefa de fazer com que os 
alunos aprendam Matemática e ponto final. Nessa linha, aprender Matemática significa conhecer fatos matemáticos. Portanto, nesse contexto, educar matematicamente parece ser entendido como fornecer aos alunos fatos matemáticos recontextualizados na prática 
escolar, tendo em vista que eles foram desenvolvidos nas práticas dos matemáticos, com 
o argumento de que ou serão úteis noutras disciplinas ou serão úteis alguma vez na vida. 
É o que Skovsmose e Valero (2002) chamam de “ressonância intrínseca”, isto é, a crença 
de que as aprendizagens matemáticas tradicionais farão (algum dia) ressonância no 
desenvolvimento pessoal e social dos jovens e dos adultos. Essa convicção equivocada, 
além de reduzir a importância da Educação Matemática na formação global do 
indivíduo, despreza o fato de que, por diversas razões, uma grande parte dos estudantes 
será tacitamente excluída do acesso às formas mais avançadas de conhecimento e a 
outras posições sociais e empregos, ficando, assim, excluída, por antecipação, de uma 
aprendizagem matemática significativa e significante.
No meio educacional ainda persiste a ideologia – muitas vezes não manifestada de forma 
explícita – de que o conhecimento, embora um produto humano, é neutro, ou seja, existe 
completamente desatrelado das pessoas que o produzem, isento, assim, de valores e de objetivos. Desse modo, a aprendizagem é entendida como descoberta, descrição e 
classificação de fatos estáticos. Contudo, como alerta Matos (2004), o conhecimento 
matemático é continuamente criado e recriado à medida que as pessoas atuam e refletem 
sobre o mundo. O conhecimento matemático não é fixado de modo permanente pelas 
propriedades abstratas dos objetos e ferramentas da Matemática. Adquirir e produzir 
13
conhecimento são as duas faces de uma mesma moeda. Nesse âmbito, ele pode ser entendido como resultado do processo de agir e interagir da consciência humana e da 
realidade. Através da ação e da reflexão, produzem-se práticas que recriam a percepção e a descrição da realidade. Porém, como destaca o referido autor, essas práticas não são 
neutras. O conhecimento matemático não existe fora dos modos como ele é usado, alienado 
dos interesses para os quais é formalizado e das razões pelas quais é aplicado. Do mesmo 
modo, a educação matemática ou o ensino da matemática que é oferecido aos alunos não 
existe fora dos modos, interesses e razões que lhe estão subjacentes (tenhamos ou não 
consciência delas). A Matemática, enquanto disciplina, contribui decisivamente para a exclusão escolar e social de um número elevadíssimo de crianças e de jovens. As estatísticas a respeito estão aí para comprovar isso. Não podemos minimizar, nem mesmo ignorar, 
esse filtro social que vem se estabelecendo, ao longo dos séculos, no contexto do ensino 
da matemática nas escolas fundamental e média. O papel do professor de Matemática não é apenas ensinar Matemática. Não se pode desconhecer a dimensão social, ética e política 
no ensino da Matemática e assumir que não existe neutralidade neste ensino. Uma análise 
criteriosa a respeito das mudanças que essa postura impõe na prática docente, na vida dos 
professores – e da escola – vai além dos objetivos desse módulo didático. Limitamo-nos a apenas ponderar sobre o tema.
Numa outra perspectiva, como observa Matos (2004), pode-se entender que a Matemática 
constitui um instrumento que confere uma dimensão muitíssimo potente aos modelos que a sociedade cria e adota. Como tal, a educação deve incluir formas de aprender a lidar com esses modelos. Uma parte dessa aprendizagem pode resultar de educar matematicamente 
os jovens, o que enseja a ideia de levar os alunos a se apropriarem dos modos de entender 
matematicamente as situações do dia a dia, que não pode ser entendido como o que se 
passa necessariamente fora da escola, mas todo o conjunto de atividades que faz parte da vida diária das pessoas.
Diante de tantos desafios, é evidente que educador algum consegue aprimorar sua 
prática de ensino apenas com boa vontade. É aí que podem contribuir as pesquisas da 
área de Educação Matemática. Por isso, vamos refletir, nas unidades seguintes deste livro, sobre algumas de suas tendências. Cada uma delas pode abrir caminhos para uma ação 
pedagógica que ajude a construir novas perspectivas para o ensino de Matemática.
Pra não perder o foco: qual é mesmo o objetivo desta disciplina “Tendências em 
Educação Matemática”?
14
Discutir ideias e metodologias inerentes a alguns campos de estudo que se têmdestacado 
na área de pesquisa em Educação Matemática, a saber:1. Tecnologias da Informação e Comunicação2. Resolução de Problemas3. Etnomatemática4. Modelagem Matemática5. Jogos no ensino de Matemática6. História da Matemática
A intenção é oferecer a você, caro(a) Estudante, uma oportunidade de identificar e analisar as principais correntes associadas ao movimento internacional de Educação 
Matemática. Com isso, acreditamos, você enriquece sua formação pedagógica e conhece 
alguns aspectos de uma grande área de pesquisa, no âmbito da qual você poderá realizar estudos mais avançados, em nível de pós-graduação.
15
unidade 1
Tecnologias da Informação e Comunicação
Objetivos
•	 Executar uma atividade de ensino usando um software matemático.
•	 Descrever alguns aspectos inerentes ao uso de Tecnologias da Informação e Comu-
nicação no ensino de Matemáwtica.
17
De início, quero convidar você para assistir a um vídeo da Internet. Ele nos leva a fazer 
uma reflexão que vem a calhar neste momento. O vídeo pode ser assistido no seguinte 
link: <http://www.youtube.com/watch?v=IJY-NIhdw_4>. Acesso em 12 abril. 2013. (Vídeo n° 1)
Não nos esquecendo jamais do alerta provocado pelo vídeo acima, vamos começar as discussões desta unidade.
Uma coisa é certa: no século presente, vemos a sociedade caminhar para o que denominamos 
de “uma nova ecologia cognitiva”. As tecnologias da informação e comunicação – TIC estão 
sendo determinantes nesta mudança: são os ambientes informatizados que ampliam cada 
vez mais nossas capacidades intelectuais; são as redes de comunicação que nos oferecem 
os mais variados tipos de informação em acesso direto; são os trabalhos cooperativossíncronos e assíncronos, entre pessoas fisicamente distantes, que se tornam uma realidade. 
Os educadores matemáticos precisam considerar esses aspectos quando pensam sobre sua ação pedagógica em sala de aula.
O que está por trás do termo TIC?
O termo TIC refere-se à conjugação da tecnologia computacional ou informática com 
a tecnologia das telecomunicações e tem na Internet – e mais particularmente na 
WorldWide Web (WWW) – a sua mais forte expressão. Essas tecnologias são usadas para apoiar e desenvolver ambientes de aprendizagem. Portanto, as TIC estão associadas aos computadores e a todas as suas interfaces, incluindo
•	 softwares educacionais (matemáticos), como o Winplot, CabriGèométre, GeoGebra 
e Wingeom;
•	 softwares como o Microsoft Excel e Microsoft Word;
•	 webcams, páginas WWW, comunicadores instantâneos, como o MSN Messenger e 
o Skype, redes sociais, como o Twitter e o Facebook;
•	 Calculadoras Gráficas e outras possibilidades associadas à informática.
Para quem olha superficialmente, o uso de tecnologias como essas se restringe a uma mera atividade prática motivadora no contexto do ensino e da aprendizagem da Matemática. 
No entanto, as TIC são mais do que isso. Elas são, efetivamente, uma ferramenta que 
transforma o ser humano que com ela trabalha. Como observa Tikhomirov (1981), os processos mentais no ser humano mudam quando as atividades práticas também 
unidade 1
18
sofrem alterações. O uso do computador provoca a transformação da atividade humana, proporciona novas possibilidades, oferece feedbacks aos professores e, desse modo, 
a produção do conhecimento é modificada. Portanto, as TIC interferem na estrutura da atividade intelectual, reorganizando, assim, os processos de criação, de busca e de armazenamento de informações. 
Vamos clarear essas ideias!
Para Miranda (2007), “a investigação tem demonstrado que a estratégia de acrescentar 
a tecnologia às atividades já existentes na escola e nas salas de aula, sem nada alterar nas práticas habituais de ensinar, não produz bons resultados na aprendizagem dos 
estudantes”. E por que não? Existem várias razões. Duas são muito importantes, a saber:1. A maioria dos professores manifesta falta de habilidade no uso das tecnologias, 
principalmente as computacionais. De acordo com Miranda (2007), “vários estu-
dos têm revelado que a maioria dos professores considera que os dois principais obstáculos ao uso das tecnologias nas práticas pedagógicas são a falta de recursos 
e de formação.”2. A integração inovadora das tecnologias exige um esforço de reflexão e de modifica-
ção de concepções e práticas de ensino que grande parte dos professores não está disponível para fazer. Alterar estes aspectos não é tarefa fácil, pois é necessário esforço, persistência e grande empenho.
Não se pode negar que alguns professores têm uma concepção romântica sobre os 
processos que determinam a aprendizagem e a construção de conhecimento e, ao mesmo 
tempo, do uso das tecnologias no ato de ensinar e aprender. Pensam que é suficiente 
colocar os computadores nas salas de aula, com alguns softwares ligados à Internet, que 
os alunos vão aprender e as práticas serão alteradas. Sabemos que não é assim. Miranda 
(2007) lembra que os resultados mais conclusivos do imenso esforço de investigação que acompanhou a introdução em grande escala das tecnologias computacionais no ensino 
mostram que acrescentar esses recursos às atividades já existentes nas escolas não 
produz efeitos positivos visíveis na aprendizagem dos alunos, na dinâmica da classe e 
no envolvimento do professor. Clark (1994) considera que as mídias educativas por si só 
nunca influenciarão o desempenho dos estudantes. Os efeitos positivos só se verificam 
quando os professores acreditam e se empenham de “corpo e alma” na sua aprendizagem 
19
e domínio e desenvolvem atividades desafiadoras e criativas, que explorem ao máximo as 
possibilidades oferecidas pelas tecnologias. E para isso é necessário que os professores as usem com os alunos a) como novos formalismos para tratar e representar a informação, 
b) para apoiar os alunos a construir conhecimento significativo e c) para desenvolver projetos, integrando (e não apenas acrescentando) criativamente as novas tecnologias ao currículo.
De fato, os sistemas informáticos – considerados como novos formalismos para tratar e 
representar a informação –, ancorados nos sistemas convencionais, vão modificar o modo 
como as crianças estão habituadas a aprender e também amplificar o seu desenvolvimento 
cognitivo. Os processadores de texto como o Word for Windows, por exemplo, modificam 
o modo como os usuários estavam habituados a escrever; por isso, estes precisam não só aprender as convenções e procedimentos da escrita no papel, como os procedimentos e 
funções do editor de texto. O mesmo se poderá dizer em face dos softwares matemáticos. Eles alteram, por exemplo, o modo de conceber o desenho, de pensar um gráfico, de 
classificar as coisas, pois se baseiam em formalismos diferentes dos tradicionais. Exigem 
novas aprendizagens e aumentam as antigas. Como afirma Borba (2010), os ambientes 
computacionais condicionam as ações quando se tem que resolver uma atividade ou um problema matemático. Como complemento ao uso do lápis e papel, o uso de softwares matemáticos oferece diferentes estratégias de ação. De acordo com Borba e Villarreal (2005), o principal retorno dado pelos softwares se refere ao aspecto visual. Com o 
Winplot, por exemplo, os estudantes podem inserir uma função e gerar um gráfico que apresenta o seu comportamento. Mediante um processo experimental, com o uso de 
teconologia, eles poderão variar os parâmetros, analisar tal comportamento e confrontar 
com a representação algébrica. Portanto, o educador matemático, quando usa tal software 
em sala de aula, não busca apenas e tão-somente uma atividade dinâmica e motivadora. 
Como no exemplo dado, a elaboração de gráficos tem a finalidade de instigar a “revelação” de características importantes dos dados numéricos. Em geral, os softwares educacionais têm a capacidade de realçar o componente visual da matemática e transformar o ambiente de aprendizagem com computadores. Nesse contexto, professores, alunos, mídia e conteúdos matemáticos precisam estar conectados e se relacionar intensivamente. A 
mídia adquire, assim, outro status, indo além de simplesmente mostrar uma imagem. O 
software torna-se ator no processo de fazer matemática e não apenas um coadjuvante. 
Para isso, o professor tem que dominar as ferramentas tecnológicas por ele incorporadas 
à sala de aula. Só assim será possível levar os alunos a explorar as potencialidades dos 
unidade 1
20
novos sistemas de tratamento e representação da informação. Assim como a escrita 
pode exprimir-se de um modo mais flexível e plástico, quando se usa um processador de 
texto, esboçar e transformar gráficos pode ser uma atividade compensadora na educação 
matemática. E o que dizer da construção de bases de dados sobre quase todos os tópicos 
que se possam imaginar? Um aspecto, contudo, precisa ser destacado: as mudanças nos modos de aprender e de organizar cognitivamente a informação não serão visíveis de imediato, pois todos os processos de mudança mental são lentos, levam gerações. Mas a 
aprendizagem de certos sistemas simbólicos – e seus formalismos – deixam “marcas” na 
organização mental e cerebral do usuário, e isso, é óbvio, tem implicações benéficas no processo de aprendizagem.
Enfim, como bem observa Miranda (2007),
O uso efetivo da tecnologia nas escolas, nomeadamente nas salas de aula e no desenvolvimento de ambientes virtuais de aprendizagem, é ainda um privilégio 
de alguns docentes e alunos. As variáveis que parecem ter mais influência neste 
processo são múltiplas, como vimos, mas penso que uma sólida formação técnica e pedagógica dos professores bem como o seuempenhamento são determinantes. 
Será ainda preciso pensar as tecnologias não como “apêndices” das restantes 
atividades curriculares, um prémio que se dá aos alunos bem comportados ou um 
“tique” insólito de alguns docentes, mas como um domínio tão ou mais importante 
que os restantes que existem nas escolas. Só assim se conseguirá generalizar o uso 
das tecnologias no ensino (MIRANDA, 2007, p. 8).
O software CabriGéomètre II
Não há dúvida de que diversos recursos tecnológicos podem e devem ser utilizados no 
contexto educacional. Como assevera Valente (1993), 
Os computadores podem ser usados para ensinar. A quantidade de programas 
educacionais e as diferentes modalidades de uso de computador mostram que a tecnologia pode ser bastante útil no processo de ensino/aprendizagem. E mais: 
para a implementação do computador na educação, são necessários quatro 
ingredientes: o computador, o software educativo, o professor capacitado para 
usar o computador como meio educacional e o aluno. O software é um ingrediente 
tão importante quanto os outros, pois, sem ele, o computador jamais poderia ser 
utilizado na educação. (VALENTE, 1993, p.3)
Contudo, é imprescindível que o professor compreenda o significado do processo de 
aprendizagem através da construção do conhecimento mediado por uma TIC, um software, 
21
por exemplo. De modo inequívoco, ele precisa ter pleno domínio do conteúdo que será 
abordado. Em seguida, é necessário que ele conheça as possibilidades do programa 
computacional que ele incluirá na sala de aula, a fim de que possa acompanhar o aluno 
nesse ambiente e intervir adequadamente quando se fizer necessário. Dependendo do ambiente informatizado escolhido, o professor pode rever o caminho trilhado pelo aluno 
na solução de determinado problema, identificando, assim, o momento em que ele se 
afastou do objetivo pretendido, buscando entender as razões que o levaram a executar determinadas ações, sendo possível, portanto, acompanhá-lo no processo de elaboração do conhecimento.
Portanto, mais uma vez queremos destacar o seguinte aspecto: incluir uma TIC em sala 
de aula não se resume a exibi-la para os alunos e deixar que eles a manuseiem como uma mera diversão. A ideia não é simplesmente levar alegria e descontração para o contexto 
educacional. Sem o planejamento comprometido das atividades que serão desenvolvidas com o uso de um recurso tecnológico não será possível avançar no processo de ensino e de aprendizagem. 
Para deixar mais evidentes, e mais pontuais, algumas questões que se fazem presentes no 
momento em que se decide usar uma TIC em sala de aula, vamos refletir, agora, sobre o 
uso do software Cabri-Géomètre II na Educação Matemática. 
O Cabri-Géomètre – ou, simplesmente, Cabri – é um software1 que permite construir todas 
as figuras da geometria elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e 
de um compasso. Uma vez construídas, as figuras podem se movimentar conservando as 
propriedades que haviam sido atribuídas a elas. Essa possibilidade de deformação permite o acesso rápido e contínuo a todos os casos, constituindo-se numa ferramenta rica de 
validação experimental de fatos geométricos. Ele tem outros aspectos que vão muito além 
da manipulação dinâmica e imediata das figuras.
1 O Cabri-Géomètre éw um software desenvolvido por J. M. Laborde,FranckBellemain e Y.Baulac, no 
Laboratório de Estruturas Discretase de Didática da Universidade de Grenoble. Esteé um laboratórioas-
sociado ao CNRS, instituição francesa equivalente ao CNPqbrasileiro.O Cabri-Géomètre é representado no 
BRASIL desde 1992 pelo PROEM - Programas de Estudos ePesquisas no Ensino daMatemática da PUC-SP.
unidade 1
22
Para os leitores que não conhecem esse software, vale a pena dar uma olhada, por exemplo, nos vídeos disponíveis nos links abaixo:
•	 Vídeo nº 2: uma aula com o Cabri: 
<http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=T1lD69I0pgY&feature=endscreen>. Acesso em 23 fev. 2013.
•	 Vídeo nº 3: tutorial em espanhol sobre o Cabri:
<http://www.youtube.com/watch?v=9_6KJqmtClo>. Acesso em 23 fev. 2013.
•	 Vídeo nº 4: tutorial em português, mostrando recursos básicos do programa:
<http://www.youtube.com/watch?v=kcL39ZmC3KU>. Acesso em 23 fev. 2013.
Para os que desejarem testar o programa, os links abaixo podem ser usados para baixar uma versão de avaliação:
<http://www.cabri.com/download-cabri-2-plus.html>. Acesso em 23 fev. 2013. ou
<http://www.cabri.com.br/index.php>. Acesso em 23 fev. 2013.
As principais características do Cabri-Géomètre são as seguintes:
1. As figuras geométricas desenhadas têm movimento na tela, mantendo as suas proprie-
dades (é o que se denomina de Geometria Dinâmica).2. O aluno executa atividades que lhe permitem construir o seu conhecimento.3. Trata-se de um software aberto, isto é, o professor cria as atividades da maneira que desejar.4. Permite trabalhar conceitos geométricos junto com a construção das figuras.5. Possibilita a exploração das propriedades geométricas dos objetos e suas relações.6. Oferece condições para que sejam feitas comprovações experimentais de resultados teóricos, formulação de hipóteses e conjecturas.7. Disponibiliza, a qualquer tempo, o histórico de uma construção, possibilitando que 
sejam feitas correções ao longo do processo de construção das figuras geométricas.
8. Memoriza uma sequência de construções que poderá ser reproduzida instantanea-mente (chamada macro-construção).
unidade 1
23
O Cabri possui muitos recursos na construção das figuras geométricas possibilitando movê-las e deformá-las, permitindo explorar e investigar desde a geometria elementar até a geometria mais avançada. Ele permite visualizar lugares geométricos e observar 
a evolução em tempo real durante as modificações da figura e ainda mede distâncias 
e ângulos. Para Purificação (1999), quando usados adequadamente, esses recursos tecnológicos facilitam a construção de conhecimentos geométricos de maneira 
significativa. São alguns desses elementos: a interatividade que propiciam, os recursos 
de manipulação e movimento das figuras geométricas que se apresentam na tela do computador e possibilitam explorar as propriedades do objeto levando-o a experimentar, testar hipóteses, desenvolver estratégias, argumentar e deduzir, além de contribuir para o desenvolvimento de habilidades em perceber diferentes representações de uma mesma 
figura, levando-o, dessa maneira, à descoberta e ao entendimento das propriedades das 
figuras geométricas estudadas.
Assim, o Cabri-Géomètre pode ser uma ferramenta pedagógica importante. Para isso, as atividades programadas pelo professor devem levar o estudante a agir sobre os objetos 
matemáticos, observando a diversidade dos desenhos, enriquecendo a concretização 
mental e tendo a oportunidade de refletir sobre o que foi produzido no computador. Além disso, é possível corrigir os próprios erros, repetindo-se as atividades ou procurando outras estratégias de resolução de problemas propostos. Com o software, os alunos podem 
realizar, de maneira mais ágil e consistente, construções geométricas que usualmente são feitas com régua e compasso. A utilização do Cabri permite, também, o desenvolvimento 
de atividades de livre exploração em que o estudante interage com o computador, num 
universo próximo ao do lápis e papel que ele bem conhece. Os próprios Parâmetros 
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, de 1998, destacam a importância desse aspecto experimental na aprendizagem da Geometria, potencializado pelo uso do Cabri. 
Nesse documento, afirma-se:
As atividades de Geometria são muito propícias para que o professor construa 
junto com seus alunos um caminho que a partir de experiências concretas leve-os 
a compreender a importância e a necessidade da prova para legitimar as hipóteses 
levantadas. Para delinear esse caminho, não se deve esquecer a articulação 
apropriada entre os trêsdomínios citados anteriormente: o espaço físico, as figuras 
geométricas e as representações gráficas. (BRASIL, 1998, p. 126)
24
Refletindo, na prática, sobre o uso de uma TIC na Educação Matemática
Se você deseja usar uma tecnologia em sala de aula, comece investigando o potencial das ferramentas digitais. Uma boa estratégia é apoiar-se nas experiências bem-sucedidas de 
professores e de pesquisadores em geral. Por essa razão, é interessante e oportuno que 
você realize a tarefa aqui proposta.
Na página da Internet, cujo linkdisponibilizamos a seguir, estão disponíveis diversas 
atividades de Matemática que fazem uso de um ambiente informatizado para sua resolução. Todos os softwares utilizados em tais atividades estão disponíveis para download, na própria página.
O link é o seguinte:
<http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/tecmat/atividades/sugest.htm>. Acesso em 23 fev. 2013.
ATIVIDADE AVALIATIVA
Escolha uma atividade, entre as propostas no site acima, e faça o seguinte:
•	 baixe em seu computador o programa necessário para o desenvolvimento da 
atividade;
•	 execute a atividade tal como ela está proposta;
•	 elabore um pequeno relatório sobre a realização da atividade escolhida, des-
crevendo os aspectos que julgar mais importantes. Ao final do relatório, res-
ponda a seguinte pergunta, apresentando uma justificativa:
o Por que você, como professor, levaria essa atividade para a sua sala de 
aula? 
unidade
Resolução de Problemas
unidade 2
Objetivo
•	 Elaborar atividades de ensino de Matemática de cinco tipos (exercícios de reco-nhecimento, exercícios algorítmicos, problemas de aplicação, problemas em aber-to e situações-problema). 
unidade 2
27
Como já dissemos, as Tendências em Educação Matemática surgem de movimentos que 
buscam discutir e aprimorar a prática docente de modo a tornar mais eficiente e eficaz o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. A Resolução de Problemas se insere 
nesse contexto. Como Thomas Butts (1997), os pesquisadores dessa área acreditam que 
“o verdadeiro prazer em estudar Matemática é o sentimento de alegria que vem da reso-
lução de um problema”; a propósito, “quanto mais difícil o problema, maior a satisfação.”
Por que os educadores matemáticos investem na Resolução de Problemas?
Os educadores matemáticos assim procedem porque defendem a tese de que os proble-mas são capazes de levar o aluno a
•	 investigar e compreender os conteúdos matemáticos;
•	 desenvolver e aplicar estratégias para suas resoluções;
•	 relacionar a Matemática com situações do dia a dia;
•	 encarar a Matemática como uma disciplina atraente e desafiadora.
Dante (2003) é categórico ao afirmar que o maior objetivo da instrução matemática deve ser o de desenvolver a habilidade de resolver problemas matemáticos. Construir concei-
tos matemáticos, princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habi-lidoso é importante. Contudo, a virtude essencial de aprender os conteúdos matemáticos é a de ser capaz de usá-los para solucionar determinadas situações-problema.
Exercício e Problema são a mesma coisa?Não. Para Silveira (2001), o exercício é uma atividade de adestramento no uso dealguma 
habilidade ou conhecimento matemático, já conhecido por quem resolve, como, por 
exemplo, a aplicação de um algoritmo ou de uma fórmula conhecidos. Enquanto o exercício envolve mera aplicação, o problema necessariamente tem a ver com invençãoe/oucriação 
significativa. Para jogar luz a essa questão, suponha que um aluno do 9º ano do Ensino 
Fundamental – e é importante identificar o sujeito, pois o que pode ser um problema 
para um pode não o ser para outro – esteja em uma sala de aula de Matemática. Veja um 
exemplo de atividade – e sua classificação – que pode ser proposta a esse aluno:
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Exercício
•	 Usando a fórmula de Bhashara, re-
solva a equação 2x2 – 6x + 2 = 0.
Problema
•	 Prove a fórmula de Bhaskara, que dá as ra-
ízes de uma equação quadrática.
Aqui, supõe-se que tal aluno conheça a 
aludida fórmula.
Nesse caso, supõe-se que o mencionado aluno 
conheça a fórmula, mas nunca tenha visto a sua 
demonstração.
Para Saviani (1999), uma pergunta por si só não caracteriza um problema, mesmo que sua 
resposta seja desconhecida. O que identifica um problema é aquela questão cuja resposta, além de não ser conhecida, deseja-se conhecer. Para que uma situação seja um problema, 
é necessário que a pessoa a quem ela será proposta esteja ciente da mesma, se manifeste 
interessada em resolvê-la e que não conheça os elementos necessários para a sua solução.
Para Charnay (1996), 
[...] só há problema se o aluno percebe uma dificuldade; uma determinadasituação que 
‘provoca problema’ para um determinado aluno pode ser resolvidaimediatamente por outro (e então não será percebida por este último comosendo um problema). Há então, uma ideia de obstáculo a ser superado (p.46).
Além disso, o ambiente em que um problema é proposto é um elemento que o corrobora. 
Portanto, as condições didáticas daresolução (organização da aula, intercâmbio, expectativas explícitas ou implícitas do professor) fazem parte do problema.
Como classificar as questões matemáticas?
Para o desenvolvimento coerente e consistente de uma proposta de ensino via Resolução 
de Problemas, é importante estabelecer uma classificação das questões matemáticas. Desse modo, é possível elaborar uma aula com objetividade e segurança. À luz das ideias 
de Butts (1997), temos
1. Exercícios de reconhecimento
São aqueles pelos quais se deseja que o aluno apenas reconheça, identifique ou relembre 
um dado conceito, um fato específico, uma definição ou um teorema. 
unidade 2
29
Exemplo 1
Identifique, entre as figuras geométricas abaixo, aquelas que são espaciais (tridimensio-nais)
Resposta:1 e 3.
Exemplo 2
Entre as matrizes a seguir, reconheça quais são quadradas.
Resposta: B e C.
Exemplo 3
Entre os números naturais a seguir, assinale os que são ímpares.
 1.037 34 3 477 18 240.810
Resposta: 1.037, 3 e 477.
Exemplo 4
Quais dos números complexos abaixo são imaginários puros?
(a) 1 + 3i (b) 4i (c) 4 (d) –3i
Resposta: (b) e (d).
2. Exercícios algorítmicos
São aqueles que podem ser resolvidos com um algoritmo específico, com uma definição dada ou simplesmente executando-se um procedimento passo a passo.
30
Exemplo 1(a) Obtenha a soma da matriz A com a matriz B no seguinte caso:
, 
(b) Obtenha a matriz diferença C – D no seguinte caso:
Solução:
(a) A + B =(b) Impossível de se obter, uma vez que as matrizes dadas não têm o mesmo tamanho.
Exemplo 2
Encontre todos os números reais x tais que x2 – 2x + 1 = 0.
Solução
Duas soluções possíveis:
•	 Usando-se a fórmula de Bhaskara, temos:
x = Portanto, apenas o número 1 satisfaz a igualdade acima.
•	 Observando-se que x2 – 2x + 1 = (x – 1)2, temos que a equação dada se resume a (x – 1)2 = 0
A fim de que o quadrado de um número seja igual a zero, é preciso que esse número seja nulo. 
Assim, x – 1 = 0, ou seja, x = 1.
Exemplo 3
Resolva a seguinte equação:
6b + 8 = 3b – 3
Solução:
6b – 3b = –8 – 3
3b = –11
b = 
unidade 2
31
Exemplo 4
Some os números 2,345 e 67,62
Solução:
Observação– Como se pode notar, os exercícios de reconhecimento e os algorítmicos não 
permitem a exploração dos conhecimentos que os alunos já possuem e não possibilitam 
o desenvolvimento de suas criatividades. Por conta dessas características, o ideal é que o 
professor somente use essas questões quando desejar averiguar se o aluno conhece fatos 
específicos do conteúdo que está sendo ensinado.
3. Problemas de aplicação
Como a própria expressão indica, são problemas que envolvem a aplicação direta de um 
ou mais algoritmos anteriormente aprendidos, nãoexigindo, pois, qualquer estratégia 
específica. Suas soluções já estão contidas no próprio enunciado, de modo que a tarefa 
básica é transformar oenunciado usual em linguagem matemática identificando as operações ou algoritmos necessários para resolvê-lo. 
Exemplo 1
Uma pessoa comeu 4 maçãs e 3 mexericas. Se a meta é comer 10 frutas, quantas faltam para 
serem comidas?
Solução
•	 Modo 1: 4 maçãs + 3 mexericas = 7 frutas
10 frutas – 7 frutas = 3 frutas
•	 Modo 2: Chamando-se de x a quantidade de frutas que faltam para completar a meta, temos:
x + 4 + 3 = 10
x + 7 = 10
x = 10 – 7
x = 3
Conclusão: faltam 3 frutas. 
32
Exemplo 2
Juntos, Filipe e Miguel têm 7 reais. Se o dobro do que Filipe tem mais o triplo do que Miguel 
possui é 18 reais, quantos reais tem cada um?
Solução
Chamando-se de f a quantia em reais de Filipe e de m a quantia de Miguel, temos:
Multiplicando-se a primeira equação por 2, temos:
Subtraindo-se, membro a membro, as duas equações acima, obtemos:
(2f – 2f) + (2m – 3m) = 14 – 18
–m = 14 – 18
–m = –4
m = 4
Como f + m = 7, então f + 4 = 7, ou seja,
f = 7 – 4 
f = 3
Portanto, Miguel tem 4 reais e Filipe tem 3 reais.
Exemplo 3
O dobro de um número complexo somado com 5 + 7i é igual a 3 + 4i. Encontre esse número.
Solução
Vamos denominar de a + bi o referido número complexo. Portanto, desejamos determinar os 
números reais a e b para encontrar o número complexo em questão.
2(a + bi) + (5 + 7i ) = 3 + 4i
(2a + 2bi) + (5 + 7i ) = 3 + 4i
(2a + 5) + (2b + 7)i = 3 + 4i
O número é 
unidade 2
33
Exemplo 4
São nulos os elementos da diagonal secundária de uma matriz A real, 2x2. Determine A, nos 
seguintes casos:(a) A soma dos elementos da diagonal principal é 5, e o determinante da matriz é 10.(b) A soma dos elementos da diagonal principal é 5, e o determinante da matriz é 6.
Solução(a) Seja a matriz em questão, onde a e b são números reais. (b) Assim, temos que
Da 1ª equação, tiramos que a = 5 – b. Substituindo isso na 2ª equação, temos
(5 – b)b = 10
5b – b2 = 10
b2 – 5b + 10 = 0
Como o discriminante dessa equação quadrática é –25, concluímos que não existem números 
reais a e b que satisfaçam as duas igualdades. Portanto, não existe matriz A com as propriedades 
dadas.
(c) Nesse caso, temos
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos dois valores para a (2 ou 3). Se a = 
2, então b = 3; se a = 3, então b = 2. Portanto, existem duas matrizes, com as propriedades dadas:
Observação – É importante observar que, de um modo geral, os problemas de aplicação 
não aguçam a curiosidade do aluno nem o desafiam. Apesar disso, esse tipo de atividade pode ser necessário ao longo do processo de ensino e de aprendizagem. Portanto, o educador pode lançar mão dele em momentos de sua aula.
34
4. Problemas em aberto
Problemas em aberto são aqueles que não trazem, no enunciado, uma estratégia para as 
suas resoluções. A vantagem é que, num único problema, se abordam diversos conteúdos. 
Especificamente, os problemas em aberto se caracterizam por não terem vínculo com os 
últimosconteúdos estudados; por estarem em umdomínio conceitual familiar, permitem que o aluno tenha condições de resolvê-los. E, sobretudo, por possuírem, em geral, enunciados 
curtos, os problemas em aberto podem permitirao aluno conquistar as primeiras ideias em 
um novo estudo. Isso pode dar a impressão, bem-vinda, que o problema é de fácil solução, 
fazendo com que o aluno viva anecessidade da busca dessa solução.
Um problema em aberto também possui uma ou mais soluções. Para Medeiros (1999), ele pode 
ser trabalhado em grupo, evitando-se, assim, eventuais desencorajamentos. O trabalho realizado de modo coletivo faz diminuir o medo de não se conseguir resolver o problema proposto, e isso aumenta a chance deprodução de conjecturas num intervalo de tempo razoável.
Para tornar mais claras essas características, apresentamos, a seguir, exemplos de problemas 
em aberto, que podem ser propostos numa turma de 6º ano do Ensino Fundamental.
Exemplo1
Comprei três tipos de mercadorias: Q, T e B. Descobri que
•	 o preço de 6 unidades de Q é igual ao preço de 3 unidades de T;
•	 o preço de 2 unidades de T mais o preço de 2 unidades de B é igual ao preço de 
8 unidades de Q.
Pergunta: o preço de 2 unidades de Q mais o preço de 4 unidades de B é igual ao preço de 
quantas unidades de T?
Solução
Sejam q, t e b os preços unitários das mercadorias Q, T e B, respectivamente.
De acordo com as informações dadas, temos
6q = 3t
8q = 2t + 2b
Deseja-se obter 2q + 4b em termos de t.
Da 1ª igualdade acima tiramos que 2q = t. Portanto, resta saber agora quantas vezes t é igual a 
4b.
Já que 8q = 2t + 2b e t = 2q, temos que 4(2q) = 2t + 2b, ou seja, 4t = 2t + 2b, ou seja, 2t = 
2b, ou seja, t = b. Portanto, 4b = 4t. 
Conclusão: 2q + 4b = t + 4t = 5t. Assim, o preço de 2 unidades de Q mais o preço de 4 
unidades de B é igual ao preço de 5 unidades de T.
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Exemplo 2Num estacionamento há 17 veículos, entre motos e automóveis. Se o total de rodas é 
54,quantos automóveis e quantas motos há nele?
SoluçãoChamando de m o número de motos e de a o número de automóveis, então temos que m + a = 17.
Já que cada moto tem 2 rodas e cada automóvel tem 4 rodas, então 2m + 4a = 54. Portanto, 
faz-se necessário resolver o seguinte sistema de equações:
Nesse caso, m = 7 e a = 10, ou seja, há 7 motos e 10 automóveis no referido estacionamento.
Exemplo 3Com R$3,00 comprei, hoje, seis bombons. Quantos bombons posso comprar, hoje, com 
R$4,00?
Solução
Já que seis bombons custaram R$3,00, então, cada bombom custou R$0,50. Portanto, com 1 real, compram-se 2 bombons.
Logo, com 4 reais (= 3 reais + 1 real) se compram 6 + 2 bombons, ou seja, 8 bombons.
Exemplo 4
Ganhei 40 reais em um período de cinco dias. Em cada dia, ganhei 2 reais a mais que no 
dia anterior. Quantas reais ganheiem cadadia?
SoluçãoChamando de n o número de reais que ganhei no 1º dia, podemos assim descrever a situação dada:
•	 1º dia: ganhei n reais 
•	 2º dia: ganhei n + 2 reais
•	 3º dia: ganhei n + 4 reais
•	 4º dia: ganhei n + 6 reais
•	 5º dia: ganhei n + 8 reais
•	Nos 5 dias, ganhei n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) + (n + 8), ou seja, 5n + 20. Portanto, temos que5n + 20 = 405n = 20
n = 4
36
Portanto,
•	 No 1º dia, ganhei 4reais 
•	 No 2º dia, ganhei 6 reais
•	 No 3º dia, ganhei 8 reais
•	 No 4º dia, ganhei 10reais
•	 No 5º dia, ganhei 12 reais.
Observação – É imprescindível reiterar que a classificação de um problema depende do 
nível de conhecimento de quem vai resolvê-lo. Por exemplo, considere a seguinte situação:
Um político em campanha eleitoral, diante de uma plateia formada por seus eleitores, diz:
– Boa noite, meus mil eleitores.
Imediatamente, a plateia responde em coro:
– Mil eleitores não somos, não. Contudo, mais dois tantos de nós e você dão 1.000 pessoas.
Pergunta: quantos eleitores estão na plateia?
Solução1:
1.000 – 1 = 999 pessoas (tiramos o político).
“Nós e dois tantos de nós” é igual a “três tantos de nós”. Portanto, se dividirmos 999 por 3, 
encontraremos 333. Assim, 333 pessoas estão na plateia.
Solução2:
Chamando de n o número de eleitores na plateia, temos:
n + 2n + 1 = 1.000
3n = 999
n = 
n = 333
Se o aluno que resolver esse problema utilizar a estratégia da solução 2, isso implica que 
ele conhece equações do 1º grau e sabe resolvê-las. Nessa hipótese, o exemplo acima pode ser considerado um problema de aplicação. Se ele usa outra estratégia de solução por ainda 
não conhecer as equações do 1º grau, então o problema, para ele, é do tipo problema em 
aberto. O professor, ao elaborar sua aula, escolhendo determinados tipos de atividades, deve ter isso em mente.
unidade 2
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5. Situações-problema
Segundo Dante (2003),situações-problema
[...] são problemas deaplicação que retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da Matemática para serem resolvidos. Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se matematizar uma situação real, 
organizando os dados em tabelas, traçando gráficos, fazendo operações etc. Em 
geral, são problemas que exigem pesquisa e levantamento de dados. Podem ser apresentados em forma de projetos a serem desenvolvidos, usando conhecimentos 
e princípios de outras áreas que não a Matemática, desde que a resposta se relacione 
a algo que desperte interesse (p. 20).
Assim, nessa categoria de questões matemáticas, estão as situações nas quais um dos passos 
fundamentais é a identificação do problema – a elas inerente – que, num passo seguinte, 
será solucionado. Elas devemser propostas levando-se em conta os conhecimentos que o 
aluno já construiu e os novos que estão sendo elaborados.
Para Meirieu (1998), uma situação-problema
[...] é uma situação didática na qual sepropõe ao sujeito uma tarefa que ele não 
pode realizar sem efetuar uma aprendizagemprecisa. Essa aprendizagem, que constitui o verdadeiro objetivo da situação-problema, se dáao vencer o obstáculo 
na realização da tarefa (p. 192).
Exemplo
(Situação-problema proposta a um aluno que ainda não estudou derivada de uma função 
de uma variável)
A partir de uma folha de papelão quadrada de 1 m de lado, deseja-se construir uma caixa 
retangular. Isso é feito cortando-se pequenos quadrados iguais nos cantos da folha e dobrando-
se as abas resultantes. Se x é a medida do lado dos quadrados a serem cortados, expresse o 
volume da caixa em função de x e responda:
•	 Qual deve ser o valor de x para que a caixa tenha o maior volume possível?
38
A primeira tarefa é imaginar o processo de construção da caixa. Veja a figura:
Em seguida, descrevemos o problema matematicamente:
•	 Sendo V o volume da caixa obtida, então V = x(1 – 2x)(1 – 2x), ou seja,
V = x – 4x2 + 4x3Assim, o problema a ser resolvido passa a ser o seguinte:
•	 Dada a função V(x) = x – 4x2 + 4x3, encontrar o valor de x que resulte no maior va-lor de V .
Para o aluno que ainda não estudou derivada e suas aplicações, essa situação-problema é 
motivadora. Afinal, ele se vê diante de um problema cuja solução só será possível depois do estudo do cálculo diferencial. Quando ele estudar máximos e mínimos de funções, será 
possível voltar à situação-problema para, finalmente, determinar sua solução, que é a seguinte:
V(x) = x – 4x2 + 4x3
V’(x) = 1 – 8x + 12x2
V’(x) = 0 Û 1 – 8x + 12x2 = 0 ⇔x = ou x = 
Com x = , não construímos caixa alguma. Portanto, o único ponto crítico da função V é x = .
V’’(x) = – 8 + 24x
Como = –4 < 0, temos, pelo Teste da Derivada Segunda, que x = é ponto de máximo 
local de V(x). Por ser o único máximo local de V, x = é o seu ponto de máximo absoluto. 
Portanto, o valor de x para que a caixa tenha o maior volume possível é .
unidade 2
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Observações
•	 A abordagem do ensino de Matemática por intermédio de situações-problemas certamente promove um maior interesse, entusiasmo e motivação pelas aulas, possibilitando a construção de um conhecimento mais significativo, uma vez que o aluno fará parte do processo de levantamento de dados para o desenvolvimento da aplicação. 
•	 Quando os alunos resolvem problemas de aplicação, problemas em aberto ou situ-ações-problema, eles se mostram mais facilmente e isso permite ao professor ter 
uma visão mais abrangente do conhecimento que eles possuem. Por essa razão, 
esses tipos de questões são altamente recomendados como rotina na ambiência do processo de ensino e de aprendizagem da matemática escolar. 
•	 Questões que incentivam reflexões e que levam os alunos a realizarem discussões, 
enquanto as resolve, são as que promovem um aprendizado mais significativo. En-
tre as categorias de questões matemáticas aqui abordadas, os problemas em aber-
to e as situações-problema são aquelas que mais abrem espaços para tais aspectos 
pedagógicos. Portanto, devem ser incorporadas com mais frequência à dinâmica da sala de aula de Matemática. 
Para se obter sucesso na resolução de problemas, há etapas a serem seguidas?
Segundo Polya (1994), há sim, quatro etapas, que sãoI. Compreensão do problema.II. Elaboração de uma estratégia de resolução.III. Execução da estratégia.IV. Revisão.
Em cada etapa, o professor deve fazer questionamentos ou considerações que levem o aluno a obter êxito da resolução do problema proposto. 
Na primeira etapa, por exemplo, o aluno deve ser chamado a ENTENDER O PROBLEMA. 
Para isso, podem auxiliarquestões como estas:(a) Qual é a variável cujo valor se deseja encontrar?(b) Quais são os dados de que dispomos?(c) Quais são as condições impostas?(d) É possível satisfazer tais condições? 
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Separar as condições em partes e, quando for o caso, fazer um desenho representativo da 
situaçãosão ações que podem ajudar muito nesse processo de compreensão do problema 
que se deseja resolver. 
Na etapa de elaboração de uma estratégia de resolução, um objetivo se impõe: achar 
conexões entre os dados e a incógnita. Se elas não forem encontradas num tempo razoável, 
o professor pode propor problemas auxiliares ou situações particulares que sejam capazes 
de indicar como os dados e a variável se relacionam. Alguns questionamentos adicionais podem ser apresentados pelo professor para viabilizar a elaboração deum plano ou estratégia de resolução do problema. Por exemplo:
•	 Você já se deparou com esse problema ou algum parecido?
•	 Você conhece teoremas ou fórmulas que possam ajudar a resolvê-lo?
•	 Você se lembra de algum outro problema, relacionado com o proposto, que você já 
sabe resolver?
•	 Você consegue enunciar o problema dado de um outro modo? Como?
•	 Você está levando em conta todos os dados? E as condições? Você está considerando 
todas elas?
A etapa de execução da estratégia elaborada é, via de regra, a mais fácil do processo de 
resolução de um problema, desde que a ela não se chegue apressadamente. É importante 
o amadurecimento que se pode obter nas duas etapas anteriores. Outro aspecto a ser 
considerado é o seguinte: a elaboração de uma estratégia inadequada pode dificultar ou mesmo inviabilizar o processo de execução do plano delineado para resolver a situação-problema.
Na etapa de revisão, o que se impõe é examinar a solução obtida. Para isso, é preciso 
verificar o resultado e os argumentos utilizados para obtê-lo. Nesse ponto, o professor pode intervir com perguntas do tipo
•	 Você consegue chegar à resposta obtida de outro modo?
•	 Qual é a essência do problema e do método de resolução empregado?
•	 Você consegue usar o resultado ou o método empregado na soluçãopara resolver 
algum outro problema? 
Respeitando-se essas etapas, a resolução de problemas pode se tornar menos complicada e mais satisfatória para o aluno. Para o professor, o grande ganho é a possibilidade de 
acompanhar, passo a passo, todo o processo de solução das questões propostas.
unidade 2
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ATIVIDADE AVALIATIVA
Escolha um conteúdo matemático, de algum ano escolar, e elabore duas atividades matemáticas 
de cada tipo aqui abordado, a saber:(a) Exercícios de reconhecimento.(b) Exercícios algorítmicos.(c) Problemas de aplicação.(d) Problemas em aberto.(e) Situações-problema.
Importante: ao fi nal de cada atividade, diga por que ela está sendo classifi cada daquele modo. 
De maneira clara e sucinta, explicite as razões que o(a) levaram a dar aquela classifi cação 
àquela atividade.
Etnomatemática
Objetivo
•	 Descrever aspectos de uma proposta de ação pedagógica baseada na etnomatemá-tica.
unidade 3
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Você já ouviu falar sobre Ubiratan D’Ambrosio?
Ao introduzir esta Unidade, faz-se necessário registrar que Ubiratan D’Ambrosio, nascido 
na cidade de São Paulo, em 1932, é um matemáticoe professor universitário brasileiro 
que, em 2001, foi laureado pela Comissão Internacional de História da Matemática 
com o Prêmio Kenneth O. May, por contribuições à história da Matemática.Em 2005, 
ganhou da Comissão Internacional de Instrução Matemática a medalha Felix Klein pelo reconhecimento de suas contribuições no campo da educação matemática. É professor emérito de Matemática da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Além disso,
•	 é, atualmente, professor do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da 
Universidade Bandeirante de São Paulo;
•	 lecionou no programa de História da Ciência da Pontifícia Universidade Católica de 
São Paulo (PUC);
•	 éprofessor credenciado no Programa de Pós-Graduação da Faculdade de Educação da 
Universidade de São Paulo;
•	 éprofessor do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática do Instituto de 
Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Fi-
lho (UNESP);
•	 é professor visitante no Programa Sênior da FURB / Universidade Regional de Blumenau.
Por que falar desse professor?
É que ele, doutor em Matemática, é um teórico da Educação Matemática e um dos pioneiros 
no estudo da etnomatemática. Aliás, cumpre lembrar, o próprio termo “etnomatemática”foi 
mencionado pela primeira vez, em 1976, por D’Ambrosio, no 3º Congresso Internacional 
de Educação Matemática (ICME-3), realizado em Karlsruhe, na Alemanha. 
Como definir precisamente o que é etnomatemática?
Em sentido lato, entendemos os estudos etnomatemáticos como aqueles em que se busca 
descrever as práticas matemáticas de grupos culturais(Movimento dos Sem-Terra - MST, 
artesãos, índios,classes profissionais (médicos, dentistas, advogados etc.), entre outros, a 
partir de uma análise das relações entre conhecimento matemático e contexto cultural. Uma 
definição precisa de etnomatemática, contudo, como afirma D’Ambrosio,
unidade 3
45
[..] é muito difícil; por isso uso uma explicação decaráter etimológico. A palavra etnomatemática, como eu a concebo, é composta detrês raízes: etno, e por etno 
entendo os diversos ambientes (o social, o cultural, anatureza, e todo mais); 
matema significando explicar, entender, ensinar, lidar com;tica, que lembra a palavra grega tecné, que se refere a artes, técnicas, maneiras. Portanto,sintetizando 
essas três raízes, temos etno+matema+tica, ou etnomatemática, que,portanto, 
significa o conjunto de artes, técnicas de explicar e de entender, de lidar 
com o ambiente social, cultural e natural, desenvolvido por distintos grupos 
culturais (D’AMBROSIO, 2008, p. 8).(Os grifos são meus.)
E D’Ambrosio acrescenta que
[...] a relação entre Educação Matemática e etnomatemática se dá naturalmente,pois 
etnomatemática é uma forma de se preparar jovens e adultos para um sentido 
de cidadania crítica, para viver em sociedade e ao mesmo tempo desenvolver 
sua criatividade. Ao praticar etnomatemática, o educador estará atingindo os grandesobjetivos da Educação Matemática, com distintos olhares para distintos 
ambientesculturais e sistemas de produção. Justifica-se inserir o aluno no processo de produçãode seu grupo comunitário e social e evidencia a diversidade cultural e 
histórica emdiferentes contextos (D’AMBROSIO, 2008, p. 8).(Os grifos são meus.)
Afinal, a etnomatemática é um programa de pesquisa ou uma proposta para o 
trabalho pedagógico na Educação Matemática?
As duas coisas. No âmbito da investigação científica, a etnomatemática busca conhecer os processos de geração, organização e difusão de conhecimentose ideias matemáticas, 
no interior de grupos culturalmente identificáveis. No campo educacional, os trabalhos em etnomatemática têm como meta principal desenvolver ações na área do ensino de 
Matemática que permitam acontextualização sociocultural dos conteúdos acadêmicos abordados em sala de aula.
Para quem conduz um trabalho em etnomatemática, o que é, de fato, fundamental?
O principal – afirma D’Ambrosio (2008) – “é a capacidadede observar e analisar as práticas de comunidades e populações diferenciadas, não necessariamente indígenas 
ou quilombolas ou de periferia” (p. 8). (Os grifos são meus). A essência do método da 
etnomatemática “é a observação de práticas de grupos culturaisdiferenciados, seguido de 
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análise do que fazem e o porquê eles fazem. Isso dependemuito, além da observação, de 
uma análise do discurso”2 (D’AMBROSIO, 2008, p. 8).
Quais são as etapas de uma pesquisa em etnomatemática?
Analisando os relatórios dos pesquisadores da área, é possível evidenciar as seguintes 
etapas no processo de condução de uma investigação científica em etnomatemática:
(1ª) Inserção no grupo
É necessário ganhar a confiança dacomunidade ou da população que se deseja estudar. 
Evidentemente, não há uma fórmula para se construir essa inserção, que pode ser, 
inclusive, em muitos casos, exaustiva e cheia de percalços. Afinal, está-se lidando com problemas de relacionamentos humanos em grupos sociais diferenciados. Contudo, 
antes de qualquer passo, o pesquisador precisa, de alguma forma, integrar-se ao grupo 
que vai estudar.
(2ª) Aceitação da comunidade
Quando um pesquisador se insere num grupo, ele pode, até mesmo involuntariamente, 
modificar – ainda que maneira parcial – o diaadia dos membros daquela comunidade. A 
transitoriedade do pesquisador no seio do grupo gera desconfianças e incertezas. Sendo aceito, ele passa a ser envolvido nos problemas do grupo e naturalmente chamado, uma hora ou outra, a dar opinião sobre como resolver problemas diversos. E então surgem os dilemas:
•	 atender ou não aos pedidos de auxílio?
•	 até que ponto se pode envolver com a rotina diária, sem comprometer a natura-
lidade da vida da comunidade? 
•	 como fazer para manter-se aceito no grupo?
2 A linguagem não é mero código que se aprende e aplica, de modo mecânico e/ou automático. Não pode, 
portanto, ser considerada segundo uma visão mecanicista, que leva a uma produção discursiva acrítica e/ou li-
mitada em suas possibilidades. A boa prática discursiva, ao contrário, implica compreender que a linguagem não 
pode ser estudada independentemente de seu contexto sócio-histórico, uma vez que ela traz em si os valores e a 
história social de diferentes grupos.A Análise do Discurso é uma prática da linguística no campo da Comunicação 
e consiste em analisar a estrutura de um texto e, a partir disso, compreender as construções ideológicas presentes 
no mesmo.O discurso, em si, é uma construção linguística atrelada ao contexto social no qual o texto é desenvol-
vido. Portanto, as ideologias presentes em um discurso são diretamente determinadas pelo contexto político-social 
em que vive o seu autor. Mais que uma análise textual, a análise do Discurso é uma análise contextual da estrutura 
discursiva em questão.
unidade 3
47
(3ª) Coleta de dados
Para desenvolver sua investigação, o pesquisador organiza alguns roteiros einstrumentos 
para nortear a sua coleta de dados. Contudo, de forma quasesistemática, depara-se com 
novas situações que exigem muitacriatividade para serem analisadas. Assim, surge novo dilema:
•	 Como reunir informações sobre a rotina diária da comunidade em que se está 
inserido, sem comprometer as ideias própriase demais atividades do grupo?
•	 Quais dados representam, de fato, o grupo estudado?
(4ª) IntervençãoMuitas informações importantes (recheadas de vocábulos desconhecidos) podem estar 
implícitas nas falas e nos procedimentos práticos dos membros do grupo com o qual 
se realiza uma pesquisa. Portanto, para evitar conjecturas inadequadas e indesejáveis, 
alguma intervenção do pesquisador se faz necessária. Para melhor compreender as 
ideias e os objetos matemáticos presentes na vida da comunidade pesquisada, faz-se 
necessário, por exemplo, realizar inquirições que permitam captar o que não foi dito 
nem está expressode modo claro. Acontece que tais tipos de intervenção, de algum 
modo, modificam a rotina do grupo. Portanto, é imprescindível que se avalie, com 
muito cuidado, como intervir no processo da pesquisa, sem influenciar as respostas ou 
provocar ações artificiais. 
Um exemplo vale mais que mil palavras!
Bárbara Anacleto defendeu em 2007 uma dissertação de Mestrado baseada em uma 
pesquisa que ela realizou em Palmares do Sul/RS, cerca de 75 km da capital do Estado, 
Porto Alegre. Aprincipal produção agrícola daquele município é o arroz. Embora o título 
deste trabalho seja “Etnofísica na lavoura de arroz”, ele exemplifica a essência do método 
de pesquisa da etnomatemática, uma vez que Anacleto (2007) estudou as relações entre 
o fazer e o saber na lavoura doarroz. Ela procurou, nastradições e práticas populares, 
asrelações entre o conhecimento científico e o conhecimento prático. A autora resgatou, 
assim, sistemas de conhecimento práticode física (poderia ter sido de matemática) que 
servem de apoio às atividades ligadas à produção de arroz. Como bem observa D’Ambrosio 
(2008), “com a fusão de análises geográficas,etnográficas, históricas e econômicas, a autora traça vários aspectos ligados ao cultivodo arroz e examina o papel importante 
48
dessa produção na economia e nas bases desustento do povo brasileiro, mostrando como 
essa produção se insere na ecologiapolítica do país” (p. 9). Esse é um modelo de pesquisa 
etnocientífica (em que se insere a etnomatemática) que pode ser realizado em outras regiões do País, focalizando variados sistemas de produção.
Um outro exemplo...
No contexto do Movimento dos Sem-Terra, como ajudar os assentados a construir seu sistema 
escolar? Em busca da resposta a esta pergunta, a pesquisadora GelsaKnijnik desenvolveu 
um trabalho em etnomatemática, que acabou provocando repercussão internacional. Ela atuou num programa destinado a capacitar professores de Matemática para lecionarem 
nas escolas das comunidades ligadas a este Movimento, tendo em vista que os profissionais 
dos assentamentos em geralnão têm formação específica. Naturalmente, no âmbito dessa capacitação, é imprescindível avaliar, de maneira sensível, o grau de conhecimento desses 
docentes e criar um programa adequadoque aproveite o que eles já conhecem e reconheça suas experiências. No livro intitulado “Educação Matemática, culturas e conhecimento na 
luta pela terra”, Knijnik(2006) descreve uma estratégia para essa ação. Nele, evidencia-
se que, junto com os avanços e progressos na área da Educação Matemática – ocorridos 
a partir da última década do século passado –, a Etnomatemática afirmou-se como uma opção promissora, tornando clara a interface entre saberes populares e acadêmicos. 
A referida obra, além de mostrar que os movimentos sociais, particularmente aqueles 
envolvidos na perene luta pela terra, adquiriram outra dimensão, evidencia relações 
sociais em vários níveis e elabora respostas às seguintes questões:
•	 Como chegamos a relações entre indivíduos, comunidades e nações, marcadas por 
desigualdade, arrogância e prepotência?
•	 Como o sistema de conhecimentos, atualmente dominante, conduziu a humanidade 
ao grande mal-estar e insegurança que caracterizam tais relações?
•	 Como a Matemática se insere nesse modelo de civilização?
Outros exemplos importantes da vertente pedagógica do Programa Etnomatemática:
No Estadode São Paulo, em 2003, a Secretaria da Educação, em parceria com a Faculdade 
deEducação da USP e a Fundação de Apoio à Faculdade de Educação, elaborou odocumento 
“O Magistério Indígena Novo Tempo: Um caminho do meio (da proposta à interação)”, que 
trata da formação do professorado indígena, com umametodologia especifica para essa 
unidade 3
49
formação. No âmbito desse processo, oque se ensina de Matemática nas comunidades 
indígenas é a “matemática do branco”3, que a comunidade indígenasolicita por reconhecer 
que é necessária e mais eficaz que a sua própria matemática. Para entender questões dessa 
natureza, se fazem imprescindíveis estudos etnomatemáticos. Afinal, como assevera o professor Ubiratan, 
[...] nãose chega às comunidades indígenas com programas feitos por 
administradores e burocratas.Mas é importante usar estratégias para que os 
indígenas percebam que há limitações nosseus métodos, e fiquem motivados para aprender nossos métodos. Não é chegar à prática pedagógica com um 
programa, mas deixar que o programa se desenvolva a partir do contato com 
a comunidade escolar (D’AMBROSIO, 2008, p. 9)(Os grifos são meus.)
A propósito, coisas semelhantes se passam em qualquer sala de aula – inclusive nas 
áreasurbanas –, de classe alta, e em grupos profissionais específicos. Em todos esses contextos, o olhar da etnomatemática pode ser revelador. Para citar mais um exemplo, 
TodShockey, do Departamento de Matemáticae Computação da Universidade de Wisconsin-Stevens Point (EUA), investigou a matemáticapresente nas atividades realizadas peloscirurgiões cardiovasculares,em cirurgias cardíacas de coração aberto. Ele elaborou 
uma tese deetnomatemática(Schockey (2002)), na qual se identifica, por exemplo, que a 
linguagemutilizada por esses profissionais está impregnada de significado matemático e 
que os médicos praticam,constantemente, a resolução mental deproblemas. A partir da 
observaçãoe análise das técnicas utilizadas por esses cirurgiões, Schockey constatou que 
elesusam elementos matemáticos quando tomam decisões durante um procedimento 
cirúrgico, e quando, em particular, fazem uma sutura. 
À guisa de conclusão
É preciso ter muito cuidado. Muitas vezes as matemáticas deoutras culturas são apresentadas como meras curiosidades,jogos, folclore e, pior, completamentedescontextualizadas de 
sua inserção cultural. É justamente essa contextualização que move a etnomatemática. 
Ela representa um caminho para uma educação renovada, em que a matemática pode 
proporcionar questionamentos sobre as situaçõesreais vivenciadas pela sociedade. 
Essa opção não rejeita amatemática acadêmica. Em vez disso – orienta D’Ambrosio – a 
ideia é excluir o que é desinteressante,obsoleto e inútil, mas que infelizmente domina os currículos e programas escolaresvigentes em nossas escolas. Portanto, a etnomatemática 
3 É assim que os indígenas se referem à matemática acadêmica.
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é um programa de pesquisa que está diretamenteligado ao processo de ensino e de 
aprendizagem da Matemática, buscando ir da realidade à ação, conectandodiferentes 
culturas ao conteúdo matemático e identificando modos de pensar eagir nos grupos 
sociais. Só que “a transferência de conhecimentos é muito mais complexa que a 
mera instrução. Esse é o grande desafio que justifica o Programa Etnomatemática” 
(D’AMBROSIO, 2008, p. 16) – os grifos são meus.
ATIVIDADE AVALIATIVA
Pesquisando na literatura ou na Internet, apresente pelo menos dois exemplos de 
pesquisa em etnomatemática ou de trabalhos que sejam entendidos como uma proposta de ação pedagógica baseada na etnomatemática. Descreva detalhes sobre os exemplos escolhidos, não deixando de mencionar alguns aspectos da metodologia adotada pelos 
pesquisadores. 
Modelagem Matemática
Objetivo
•	 Apresentar, de forma resumida, um trabalho prático de modelagem matemática
unidade 4
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Um pouco de história
Segundo Gazzeta (1989), os modelos matemáticos são utilizados desde o iníciodo 
desenvolvimento da Matemática. Os conceitos de números, funções,entre outros, são considerados por diferentes autores modelos de alguma realidade.Segundo essa autora, alguns modelos podem ser encontrados até em gravuras e artes decivilizações antigas. 
Contudo, cumpre ressaltar, apenas no século XIX foi introduzido o termo “modelo”na 
Matemática, quando as geometrias não euclidianas de Nikolay Lobachevsky (1792-1856) 
e Georg Riemann (1826-1866) foramaceitas pela comunidade

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