Probabilidade - Lista de exercícios 2B de 2016

Probabilidade 0303200 Segunda lista de exerc ´ \u0131cios 1. Considere um exp erimen to aleat´ orio no qual o espa¸ co amostral ´ e S = { s i : s i = \u2212 3 , \u2212 2 , \u2212 1 , 0 , 1 , 2 , 3 } e os ev en tos s\u02dc ao equipro v´ av eis. Se uma v ari´ av el aleat´ oria for de\ufb01nida como X ( s i ) = s 2 i , encon tre S X , a imagem de X , e sua fun¸ c\u02dc ao massa de probabilidade. Calcule o v alor esp erado e a v ari\u02c6 ancia de X . 2. A v ari´ av el aleat´ oria Y tem fun¸ c\u02dc ao de densidade de probabilidade ( p df ) f Y ( y ) = ( cy , 0 \u2264 y \u2264 2 0 , caso con tr´ ario . Use a p df de Y para calcular: (a) a constan te c , (b) o v alor esp erado de Y , (c) a v ari\u02c6 ancia de Y . 3. Em um pacote de M&Ms, o n ´ umero de M&Ms amarelos ( Y ) ´ e uniformemen te distribu ´ \u0131do en tre 5 e 15. (a) Qual ´ e o v alor esp erado de Y ? (b) Qual ´ e a v ari\u02c6 ancia de Y ? 4. O n ´ umero de solicita¸ c\u02dc oes em um certo in terv alo de temp o no servidor do J ´ upiter ´ e mo delado p or uma distribui¸ c\u02dc ao de P oisson. O engenheiro resp ons´ av el p elo sistema coletou dados sobre o uso do servi¸ co e determinou que o servidor receb e, em m ´ edia, 3 acessos p or minuto. O J´ upiter foi pro jetado de forma a atender no m´ aximo 6 acessos em um in terv alo de um min uto. (a) Qual ´ e a probabilidade do servidor n\u02dc ao conseguir atender a to dos os aces- sos em um in terv alo de um min uto qualquer? (Basta a express\u02dc ao, n\u02dc ao ´ e necess´ ario calcular o v alor). (b) Considere que os n ´ umeros de acessos em in terv alos distin tos de temp o sejam indep enden tes en tre si. Qual ´ e a probabilidade do J ´ upiter atender a to dos os acessos em dois in terv alos consecutiv os de um min uto? (Deixe a resp osta em fun¸ c\u02dc ao do item an terior). 1 5. A temp eratura m´ axima T em New Jersey em um dia de julho, medida p ela escala F arenheit, ´ e uma v ari´ av el aleat´ oria N (85 , 100) (Gaussiana). Calcule as probabilidades Pr[ T > 100], Pr[ T > 60] e Pr[70 \u2264 T \u2264 100]. Dica : Resolv a o exerc ´ \u0131cio usando a tab ela da fun¸ c\u02dc ao distribui¸ c\u02dc ao da V A Gaussiana no \ufb01nal da lista. 6. Um professor paga 25 cen ta v os p or erro que os alunos encon trarem nas deriv a¸ c\u02dc oes na lousa. Em uma carreira de n anos, o total pago pelos erros cometidos p o de ser apro ximado p or uma v ari´ av el aleat´ oria Gaussiana Y n , com v alor esp erado 40 n e v ari\u02c6 ancia 100 n . Qual a probabilidade de que Y 20 exceda 1000 reais? Quan tos n anos o professor dev e lecionar para que Pr[ Y n > 1000] > 0 . 99? 7. Considere a v ari´ av el aleat´ oria X com fun¸ c\u02dc ao densidade de probabilidade dada abaixo. Calcule o v alor de c e desenhe f X ( x ) e F X ( x ). f X ( x ) = \uf8f1 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f4 \uf8f3 c ( x \u2212 1) , 1 \u2264 x \u2264 2 , c (3 \u2212 x ) , 2 \u2264 3 , 0 , caso con tr´ ario 8. Mostre que se X \u223c N ( µ,\u03c3 2 ) (Gaussiana), en t\u02dc ao a v ari´ avel Y = aX + b (com a e b constan tes) ´ e Y \u223c N ( aµ + b, a 2 \u03c3 2 ). 9. Seja a v ari´ av el aleat´ oria X n , denotando o n ´ umero de sucessos em n ensaios que ob edecem cada um a uma distribui¸ c\u02dc ao de Bernoulli. Em cada ensaio, a probabi- lidade de sucesso ´ e p . Prov e que E [ X n ] = np . Dica: Use o fato de que P n \u2212 1 x =0 P X n \u2212 1 ( x ) = 1. 10. Em um certo jogo de loteria, a chance de ter um bilhete premiado ´ e 1 em 1000. Sup onha que uma p essoa compra um bilhete p or dia ao longo de 50 anos. Qual ´ e o v alor esp erado E [ T ] de bilhetes premiados em 50 anos? Se cada bilhete premiado pagar R$1000,00, qual o v alor esp erado E [ R ] pago p elos bilhetes premiados ao longo de 50 anos? Se cada bilhete custar R$2,00, qual o seu lucro esperado dep ois de 50 anos? 11. Quando um celular transmite um SMS, a probabilidade de que a mensagem seja recebida p elo outro celular ´ e igual p . Para garan tir que o SMS seja recebido p elo menos uma v ez, o sistema transmite a mensagem n v ezes. (a) Assumindo que to das as transmiss\u02dc oes s\u02dc ao indep enden tes, qual ´ e a fun¸ c\u02dc ao de massa de probabilidade de K , o n ´ umero de vezes que o celular r e c eb e o SMS? (b) Assuma que p = 0 . 8. Qual ´ e o v alor m ´ \u0131nimo de n que pro duz uma probabi- lidade de 0.95 de receb er o SMS p elo menos uma v ez? 12. Seja a v ari´ avel aleat´ oria X , que corresp onde aos resultados p oss ´ \u0131veis no lan¸ camento de um dado honesto. Dada a fun¸ c\u02dc ao f ( \u03b1 ) = \u03b1 3 , uma outra v ari´ av el Z ´ e obtida p or meio de Z = f ( X ). 2 (a) Quais os v alores assumidos p or Z e qual a sua fun¸ c\u02dc ao de massa de probabi- lidade? (b) Obtenha o v alor de E [ f ( X )]. (c) Calcule o v alor de f ( E [ X ]). Esse resultado ´ e igual ao obtido para E [ f ( X )]? 13. Determine o v alor esp erado de uma V A Poisson. Dica : Deriv e P + \u221e x =0 \u03b1 k /k ! (que ´ e a s ´ erie de T a ylor de . . . ) com rela¸ c\u02dc ao a \u03b1 . 14. ( V alor esp er ado de V As n\u02dc ao-ne gativas ) Dado X , qualquer V A n\u02dc ao-negativ a, v amos demonstrar que seu v alor esp erado p o de ser calculado p or E[ X ] = Z + \u221e 0 [1 \u2212 F X ( x )] dx Dica : In tegre p or partes \ue000 R U dV = U V \u2212 R V dU \ue001 fazendo U = 1 \u2212 F X ( x ) e dV = dx . Cuidado com os limites de in tegra¸ c\u02dc ao! 15. U ma empresa de man uten¸ c\u02dc ao de computadores p o de demorar at ´ e 4 dias para consertar um PC. O reparo ´ e cobrado de acordo com o temp o que o servi¸ co lev a para ser executado. O n ´ umero de dias D para que um computador seja consertado e o pre¸ co do servi¸ co C s\u02dc ao descritos por f D ( d ) = \uf8f1 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f3 0 . 2 , d = 1 0 . 4 , d = 2 0 . 3 , d = 3 0 . 1 , d = 4 0 , caso con tr´ ario e C = \uf8f1 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f3 90 , se o computador ´ e consertado em 1 dia 70 , se o computador ´ e consertado em 2 dias 40 , se o computador ´ e consertado em 3 dias 40 , se o computador ´ e consertado em 4 dias (a) Qual ´ e o v alor esp erado para o temp o de conserto µ D = E[ D ]? (b) Qual ´ e o desvio esp erado E[ D \u2212 µ D ]? (c) Expresse C em fun¸ c\u02dc ao de D . (d) Qual o v alor esp erado de C ? 16. Mostre que a v ari\u02c6 ancia de Y = aX + b corresp onde a v ar[ Y ] = a 2 v ar[ X ]. 17. Calcule a v ari\u02c6 ancia da v ari´ av el aleat´ oria X \u223c Geom ´ etrica( p ): f X ( n ) = ( p (1 \u2212 p ) n \u2212 1 , n = 1 , 2 , . . . 0 , caso con tr´ ario 3 18. Seja a v ari´ avel aleat´ oria cont ´ \u0131n ua T , com fun¸ c\u02dc ao de densidade de probabilidade f T ( t ) = ( 1 / 8 , 1 \u2264 t \u2264 9 0 , caso con tr´ ario . Seja U = h ( T )=1 / \u221a T . (a) Calcule E[ T ] e v ar[ T ]. (b) Calcule h (E[ T ]) e E[ h ( T ) ]. (c) Calcule E[ U ] e v ar[ U ]. 19. A fun¸ c\u02dc ao de probabilidade acum ulada de v ari´ av el aleat´ oria V ´ e dada p or F V ( v ) = \uf8f1 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f4 \uf8f3 0 , v \u2212 5 ( v + 5) 2 / 144 , \u2212 5 \u2264 v 7 1 , v \u2265 7 . (a) Qual ´ e o v alor de E[ V ]? (b) Qual ´ e o v alor de v ar[ V ]? (c) Qual ´ e o v alor de E[ V 3 ]? 20. X ´ e uma v ari´ av el aleat´ oria uniforme com E[ X ] = 7 e v ar[ X ] = 3. Qual a fun¸ c\u02dc ao de densidade de probabilidade de X ? 21. N este exerc ´ \u0131cio, v amos mostrar um caso esp ecial da L ei dos Pe quenos N ´ umer os . De fato, v amos mostrar que quando acumulamos um n´ umero grande de ev entos raros, a distribui¸ c\u02dc ao resultan te ´ e P oisson. (a) Primeiro, v amos ver se isto de fato acon tece. Lembre que uma Binomial( N , p ) ´ e a distribui¸ c\u02dc ao da soma de N V As Bernoulli( p ). Determine a Pr[ B = 5] para B \u223c Binomial(100 , 0 . 01) e Pr[ P = 5] para P \u223c P oisson(1). (b) Mostre que lim N \u2192\u221e \ue010 1 \u2212 \u03b1 N \ue011 N = e \u2212 \u03b1 , N \u2208 N . P ara tal, considere g ( N ) = \ue000 1 \u2212 \u03b1 N \ue001 N e note que o limite p o de ser obtido tro cando N p or uma v ari´ avel con t ´ \u0131nua, u \u2208 R por exemplo, e considerando o limite de ln g ( u ). Dica : use a regra de L\u2019Hospital. (c) Mostre que lim N \u2192\u221e \ue012 N k \ue013 1 N k = 1 k ! P ara tal, expanda os fatoriais e determine o termo com o maior grau de N no n umerador e denominador. 4 (d) Usando os resultados em (b) e (c), determine a fun¸ c\u02dc ao probabilidade de f P ( p ) = lim N \u2192\u221e Binomial( N ,\u03b1/ N ) = lim N \u2192\u221e \ue012 N k \ue013 \ue010 \u03b1 N \ue011 k \ue010 1 \u2212 \u03b1 N \ue011 N \u2212 k Dica : F a¸ ca aparecer as express\u02dc oes dos itens an teriores. (e) A qual V A corresp onde a fun¸ c\u02dc ao de probabilidade obtida no item an terior? 22. A tens\u02dc ao V sobre um resistor de 1 \u2126 ´ e uma v ari´ avel aleat´ oria uniforme entre 0 e 1 V. A p ot \u02c6 encia instan t\u02c6 anea ´ e dada p or W = V 2 . Encontre a fun¸ c\u02dc ao distri- bui¸ c\u02dc ao de probabilidade F W ( w ) e a fun¸ c\u02dc ao de densidade de probabilidade f W ( w ). Repita o exerc ´ \u0131cio para V \u223c Uniforme( \u2212 1 , 1). 23. U ´ e uma v ari´ av el aleat´ oria Uniforme(0 , 1) e X = \u2212 ln(1 \u2212 U ). Calcule: (a) F X ( x ). (b) f x ( x ). (c) E[ x ]. 24. A tens\u02dc ao de entrada de um reti\ufb01cador ´ e uma v ari´ av el aleat´ oria U com distribui¸ c\u02dc ao uniforme em [ \u2212 1 , 1] V. A sa ´ \u0131da do reti\ufb01cador ´ e uma v ari´ avel aleat´ oria W dada p or W = g ( U ) = ( 0 , U 0 U, U \u2265 0 Encon tre F W ( w ) e calcule E[ W ]. 25. A v ari´ avel aleat´ oria X tem fun¸ c\u02dc ao densidade de probabilidade f X ( x ) = ( \u03bbe \u2212 \u03bb ( x +2) , x \u2265 \u2212 2 , 0 , caso con tr´ ario (a) Calcule a probabilidade de 0 \u2264 X 2 \u2264 1. (b) Determine a fun¸ c\u02dc ao densidade de probabilidade de Y = X 2 . (c) Encon tre o v alor esp erado de Y . Dica : R xe \u2212 \u03bbx = \u2212 \u03bb \u2212 1 ( x + \u03bb \u2212 1 ) e \u2212 \u03bbx . 26. Para uma v ari´ av el aleat´ oria U \u223c Uniforme(0 , 1), encontre a fun¸ c\u02dc ao distribui¸ c\u02dc ao de probabilidade e a fun¸ c\u02dc ao densidade de probabilidade de Y = a + ( b \u2212 a ) U , com a . Mostre que Y \u223c Uniforme( a,b ). 27. O temp o en tre c hamadas telef\u02c6 onicas em um switch ´ e uma v ari´ av el aleat´ oria ex- p onencial T com v alor esp erado 0 , 01. (a) Qual o v alor de Prob[ T > 0 , 02]? (b) Qual o v alor de Prob[ T > 0 , 04 | T > 0 , 02]? 5 28. A v ari´ avel aleat´ oria X ´ e discreta e uniformemente distribu ´ \u0131da em [ \u2212 1 , 3]. Encon tre para Y = | X | \u2212 1 (a) µ Y = E[ Y ] diretamen te da de\ufb01ni¸ c\u02dc ao de Y e da fun¸ c\u02dc ao de probabilidade de X ; (b) a fun¸ c\u02dc ao massa de probabilidade de Y , p Y ( y ); (c) \u03c3 2 Y = v ar[ Y ]; 29. Sab e-se que o n ´ umero de solicita¸ c\u02dc oes em um servidor de dados em um certo in terv alo de temp o ´ e mo delado p or uma distribui¸ c\u02dc ao de Poisson. O engenheiro resp ons´ av el p elo sistema fez v´ arios exp erimen tos, medindo o n ´ umero de acessos em in terv alos de um min uto, e c hegou ` a conclus\u02dc ao que o servidor receb e em m ´ edia 2 acessos p or min uto. O sistema ´ e dimensionado de tal forma que o n ´ umero m´ aximo de acessos que o servidor consegue atender ´ e de 4 acessos em um interv alo de um min uto. Resp onda: (a) Qual ´ e a probabilidade do servidor n\u02dc ao conseguir atender a to dos os acessos em um in terv alo de um min uto qualquer? (b) Considere que os n ´ umeros de acessos em in terv alos distin tos de temp o sejam indep enden tes en tre si. Qual ´ e a probabilidade do servidor conseguir atender a to dos os acessos em dois in terv alos consecutiv os de 1 min cada? 6 T able A.3. The Cum ulativ e Distribution F unction for the Standard Normal Distribution: V alues of \u03a6( z ) for nonnegativ e z z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 1 7

Probabilidade - Lista de exercícios 2B de 2016

USP-SP

Probabilidade I

Continue navegando

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

7ª Lista de Exercícios 15 - O número de acidentes pequenos durante uma partida de futebol é uma variável aleatória de Poisson com média λ = 4, 5. ...

7ª Lista de Exercícios 17 - O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petro...

7ª Lista de Exercícios 1 - Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez dos artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma amos...

7ª Lista de Exercícios 3 - Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa população de funcionários em 80% dos casos. Se dez funcion...

Outros materiais