Probabilidade - 2017 lista de exercícios 3B

Probabilidade 0303200 T erceira lista de exerc ´ \u0131cios 1. As v ari´ av eis aleat´ orias X e Y p ossuem fun¸ c\u02dc ao massa de probabilidade conjun ta dada p or p X Y ( x,y ) = ( cxy , x = 1 , 2 , 4 e y = 1 , 3 0 , caso con tr´ ario (a) Qual o v alor da constan te c ? (b) Calcule Pr[ Y X ]. (c) Calcule Pr[ Y > X ]. (d) Calcule Pr[ Y = X ]. (e) Calcule Pr[ Y = 3]. 2. As v ari´ av eis aleat´ orias X e Y t \u02c6 em fun¸ c\u02dc ao de densidade de probabilidade conjun ta f X Y ( x,y ) = ( cxy 2 , 0 \u2264 x \u2264 1 e 0 \u2264 y \u2264 1 0 , caso con tr´ ario (a) Encon tre a constan te c . (b) Calcule Pr[ X \u2265 Y ] e Pr[ Y \u2264 X 2 ]. (c) Calcule Pr[min( X ,Y ) \u2265 1 / 2]. (d) Calcule Pr[max( X ,Y ) \u2264 3 / 4]. 3. Considere as V As X e Y com distribui¸ c\u02dc ao conjun ta f X Y ( x,y ) = ( 1 , 0 \u2264 x,y \u2264 1 0 , caso con tr´ ario . (a) Calcule a probabilidade de X Y 2 . (b) Calcule as distribui¸ c\u02dc oes marginais de X e Y . (c) X e Y s\u02dc ao indep enden tes? Justi\ufb01que. (d) Sup onha que v o c \u02c6 e saiba que o correu o ev en to A = { Y > X } . Qual ´ e a fun¸ c\u02dc ao densidade de probabilidade condicional de ( X ,Y ) dado A ? 1 RESOLUÇÃO NA PÁGINA 6 (e) Calcule as distribui¸ c\u02dc oes marginais f X | A ( x | A ) e f Y | A ( y | A ). (f ) Dado que o c orr eu A , voc\u02c6 e p o de dizer que X e Y s\u02dc ao indep endentes? Justi- \ufb01que. 4. Uma m´ aquina fresadora para confec¸ c\u02dc ao de placas de circuito impresso p o de p osi- cionar a bro ca para criar os furos com p equenos erros aleat´ orios nas dire¸ c\u02dc oes ho- rizon tal e v ertical (v er \ufb01gura). V amos denotar os erros como v ari´ av eis aleat´ orias: X (erro na dire¸ c\u02dc ao horizon tal) e Y (erro na dire¸ c\u02dc ao v ertical). X Y Posição desejada Posição real D A fresa ´ e constru ´ \u0131da de maneira que a fun¸ c\u02dc ao densidade de probabilidade conjun ta dos erros X e Y ´ e constan te para erros a uma dist\u02c6 ancia menor que 10 µ m, ou seja, f X Y ( x,y ) = ( c, p x 2 + y 2 \u2264 10 µ m 0 , caso con tr´ ario . Nestas condi¸ c\u02dc oes, (a) Ac he o v alor de c . Dica: F a¸ ca \ufb01guras para entender melhor o que est´ a sendo calculado em cada caso. (b) Calcule a probabilidade da dist\u02c6 ancia D en tre o furo realizado e sua p osi¸ c\u02dc ao ideal ser menor do que 5 µ m. (c) Determine a fun¸ c\u02dc ao densidade de probabilidade f D ( d ) de D = \u221a X 2 + Y 2 . (d) Determine a fun¸ c\u02dc ao densidade de probabilidade marginal f X ( x ). X e Y s\u02dc ao indep enden tes? (e) Calcule E[ X ]. 5. As V As X e Y p o dem ser descritas p ela p df conjun ta f X,Y ( x,y ) = ( 4 xy , 0 \u2264 x \u2264 1; 0 \u2264 y \u2264 1 0 , caso con tr´ ario (a) Qual o v alor de E[ X ] e v ar[ X ]? (b) Qual o v alor de E[ Y ] e v ar[ Y ]? 2 (c) Qual o v alor de C X Y ? 6. Considere duas V As indep enden tes X e Y e suas resp ectiv as p dfs f X ( x ) = \uf8f1 \uf8f2 \uf8f3 1 3 e \u2212 x/ 3 , x \u2265 0 0 , caso con tr´ ario f Y ( y ) = \uf8f1 \uf8f2 \uf8f3 1 2 e \u2212 y / 2 , y \u2265 0 0 , caso con tr´ ario (a) Qual o v alor de Pr[ X > Y ]? (b) Qual o v alor de R X Y = E[ X Y ]? (c) Qual o v alor da co v ari\u02c6 ancia C X Y ? 7. A V A X \u223c Uniforme(0 , 12) represen ta o temp o total (temp o de esp era + temp o de leitura), em milissegundos, necess´ ario para adquirir um bloco de informa¸ c\u02dc ao do disco r ´ \u0131gido de um computador. A \ufb01m de realizar uma determinada tarefa, um computador dev e acessar 12 blo cos de informa¸ c\u02dc ao diferen tes no disco, sendo que o temp o de acesso para cada blo co ´ e indep endente dos tempos de acesso dos outros blo cos. O temp o total necess´ ario para o pro cessador obter to da a informa¸ c\u02dc ao ´ e uma V A A , em milissegundos. (a) Qual o v alor esp erado do temp o de acesso de cada blo co E[ X ]? (b) Qual a v ari\u02c6 ancia do temp o de acesso de cada blo co v ar[ X ]? (c) Qual o v alor esp erado do temp o total de acesso E[ A ]? (d) Qual a v ari\u02c6 ancia do temp o total de acesso v ar[ A ]? (e) Usando o T eorema do Limite Cen tral, estime a probabilidade de que o temp o total de acesso exceda 75 ms, ou seja, Pr[ A > 75 ms]. (f ) Usando o T eorema do Limite Central, estime a probabilidade de que o temp o total de acesso seja menor do que 48 ms, ou seja, Pr[ A 48 ms]. 8. Um mo dem transmite um milh\u02dc ao de bits. Cada bit ´ e indep endente dos demais e ´ e igual a 0 ou 1 com a mesma probabilidade. Estime a probabilidade de o correrem en tre 499000 e 501000 bits iguais a 1 nessa transmiss\u02dc ao. 9. Uma mo eda honesta ´ e lan¸ cada 1000 vezes. (a) Calcule a probabilidade exata de obter um n ´ umero de caras en tre 400 e 600 v ezes. (b) Calcule a mesma probabilidade do item an terior usando o T eorema do Limite Cen tral. 3 Probabilidad e 0303200 Resp ostas da terceira lista de ex erc ´ \u0131cios 1. (a) c = 1 / 28 (b) Pr[ Y X ] = 18 / 28 (c) Pr[ Y > X ] = 9 / 28 (d) Pr[ X = Y ] = 1 / 28 (e) Pr[ Y = 3] = 21 / 28 2. (a) c = 6 (b) Pr[ X \u2265 Y ] = 2 / 5 e P [ Y \u2264 X 2 ] = 1 4 (c) Pr[min( X , Y ) \u2265 1 / 2] = 21 32 (d) Pr[max( X , Y ) \u2264 3 / 4] = 3 5 4 5 3. (a) Pr[ X Y 2 ] = 1 3 (b) f X ( x ) = ( 1 , x \u2208 [0 , 1] 0 , caso con tr ´ ario f Y ( y ) = ( 1 , y \u2208 [0 , 1] 0 , caso con tr ´ ario (c) Sim. (d) f X Y | A ( x,y | A ) = ( 2 , ( x,y ) \u2208 [0 , 1] × [0 , 1] e y > x 0 , caso con tr ´ ario (e) f X | A ( x | A ) = ( 2(1 \u2212 x ) , x \u2208 [0 , 1] 0 , caso con tr ´ ario f Y | A ( y | A ) = ( 2 y , y \u2208 [0 , 1] 0 , caso con tr ´ ario 1 (f ) N\u02dc a o. 4. (a) c = 1 100 \u03c0 (b) Pr[ D 5 µ m] = 1 4 (c) f D ( d ) = \uf8f1 \uf8f2 \uf8f3 d 50 , d \u2264 10 µ m 0 , caso con tr ´ ario (d) f X ( x ) = \uf8f1 \uf8f2 \uf8f3 \u221a 100 \u2212 x 2 50 \u03c0 , x \u2208 [ \u2212 10 , 10] 0 , caso con tr ´ ario . X e Y n\u02dc ao s\u02dc ao indep enden tes. (e) E[ X ] = 0 5. (a) E[ X ] = 2 / 3 e v ar [ X ] = 1 / 18 (b) E[ Y ] = 2 / 3 e v a r[ Y ] = 1 / 18 (c) C X Y = 0 6. (a) Pr[ X > Y ] = 3 / 5 (b) E[ X Y ] = 6 (c) C X Y = 0 7. (a) E[ X ] = 6 m s (b) v ar[ X ] = 12 µs 2 (c) E[ A ] = 72 m s (d) v ar[ A ] = 144 µs 2 (e) Pr[ A > 75] = 0 . 4 013 (f ) Pr[ A 48] = 0 . 02 27 8. Pr[499000 \u2264 W \u2264 501000] = 0 . 9 544 9. (a) Pr[400 \u2264 C \u2264 600] = 200 X i =0 1000! (600 \u2212 i )!(400 + i )! \ue012 1 2 \ue013 1000 \u2248 1, onde C ´ e a V A que represen ta o n ´ umero tot al de caras. (b) Pr[400 \u2264 C \u2264 600] = \u03a6 \ue012 600 \u2212 500 \u221a 250 \ue013 \u2212 \u03a6 \ue012 400 \u2212 500 \u221a 250 \ue013 \u2248 1 2 Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner

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