lista Fundamentos Geometria

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Fundamentos de Geometria 2016/1
Lista de exerc´ıcios 04.06.2016
Parte A – Axiomas de Hilbert
Exerc´ıcio 1.
Descreva todas as poss´ıveis geometrias de incideˆncia num conjunto com quatro pontos,
a menos de isomorfismos. Quais satisfazem o axioma (P)?
Exerc´ıcio 2.
Considere a relac¸a˜o de paralelismo entre retas em uma geometria de incideˆncia.
a) Deˆ um exemplo que mostre que esta na˜o e´ necessariamente uma relac¸a˜o de equi-
valeˆncia.
b) Se assumirmos o axioma (P), mostre que enta˜o paralelismo define uma relac¸a˜o de
quivaleˆncia.
c) Reciprocamente, se paralelismo define uma relac¸a˜o de quivaleˆncia, mostre que o
axioma (P) vale necessariamente na geometria em questa˜o.
Exerc´ıcio 3.
Usando os axiomas (I1)− (I3) e (B1)− (B4) e suas consequeˆncias, mostre que toda reta
tem um nu´mero infinito de pontos distintos.
Exerc´ıcio 4.
Se dois c´ırculos Γ e ∆ sa˜o tangentes em um ponto A, mostre que (exceto pelo ponto A),
o c´ırculo ∆ esta´ inteiramente dentro de Γ ou inteiramente fora de Γ.
Parte B – Poliedros
Exerc´ıcio 5.
Calcule o nu´mero de diagonais de um prisma hexagonal reto.
Exerc´ıcio 6.
Considere um pol´ıgono convexo com cem arestas. Todos os ve´rtices foram aparados
pro´ximos a eles com uma faca (de modo que os planos resultantes na˜o se intersectam no
interior ou na fronteira do poliedro). Considerando o poliedro resultante, calcule:
a) O nu´mero de ve´rtices
b) O nu´mero de arestas.
Exerc´ıcio 7.
Um poliedro convexo P tem 26 ve´rtices, 60 arestas e 36 faces das quais 24 sa˜o triangulares
e 12 da˜o quadrila´teros. Uma diagonal espacial e´ um segmento de reta unindo dois ve´rtices
na˜o pertencentes a` mesma face. O poliedro P possui quantas diagonais espaciais?
Parte C – A´reas, Ceva e Menelaus
Exerc´ıcio 8.
Seja ABCD um quadrado de centro O. Sobre os lados DC e AD foram construidos
triaˆngulos equila´teros DAF e DCE. Decida se a a´ea do triaˆngulo EDF e´ maior do que,
menor do que ou igual a` area do triaˆngulo DOC.
Exerc´ıcio 9.
As diagonais AC e CE de um hexaˆgono regular ABCDEF sa˜o divididas por pontos M
e N respectivamente de modo que AM/AC = CN/CE = r. Determine r se B,M e N
sa˜o colineares.
Exerc´ıcio 10.
Sejam A,B,C,D,E e F pontos arbitra´rios distintos em um c´ırculo. Prove, usando a
rec´ıproca do Teorema de Menelaus, que os pontos de intersec¸a˜o de AB com DE, CD
com FA, e EF com BC sa˜o colineares se eles existem. Este resultados e´ conhecido como
Teorema de Pascal.
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