Buscar

MAP3121 Zeros ex Resolvidos

Prévia do material em texto

MAP3121. Exercícios resolvidos sobre zeros de funções.
A função f x( ) ex 1
2x
+ cos x( )+ 6−:=
 possui duas raízes reais e distintas em [-4,2], Utilize os
subintervalos I1 = [0, 2] para α1 e I2 = [-4, 0] para α2. Determinar as duas raízes com erro inferior a
0.0001 pelos métodos:
1) Dicotomia; 2) do Ponto Fixo; 3) Newton-Raphson; 4) Secantes.
4 3 2 1 0 1 2 3
4
2
2
4
6
8
10
12
14
f x( )
x
1 . Dicotomia
número mínimo de iteradas para α1 : log
2
0.0001
2,��
�
�
�
�
14.28771238=
número mínimo de iteradas para α2 : log
4
0.0001
2,��
�
�
�
�
15.28771238=
Portanto, são necessárias no minimo 15 iteracoes para α1 e 16 para α2 !
f x( ) ex 1
2x
+ cos x( )+ 6−:= D a b, f, ε, n,( ) a0 a←
b0 b←
mk
ak bk+( )
2
←
teste f ak( ) f mk( )⋅←
ak 1+ ak←
bk 1+ mk←
teste 0<if
ak 1+ mk←
bk 1+ bk←
otherwise
k k 1+←
k 0 n..∈for
a b m( )
:=
A1 D 0 2, f, 0.0001, 16,( )0 0,:= B1 D 0 2, f, 0.0001, 16,( )0 1,:= M1 D 0 2, f, 0.0001, 16,( )0 2,:=
A2 D 4− 0, f, 0.0001, 16,( )0 0,:= B2 D 4− 0, f, 0.0001, 16,( )0 1,:= M2 D 4− 0, f, 0.0001, 16,( )0 2,:=
A1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
�
�
���
����
����
����
����
��������
���������
���������
������
���
���������
�����	����
������
��
������
��
����������
= B1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
�
�
�
�
��	��
��	���
���	���
���	���
���	���
����������
����������
����������
����������
����������
���������	
���������	
= M1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
�
���
����
��	��
��	���
���	���
��������
���������
����������
������
���
���������
�����	����
������
��
���������	
����������
������
���
=
A2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
���	��
���	���
����	���
����	���
����	���
����	���
����	���
����	���
����	���
����	���
����	����
�
= B2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
�
��
��
����
�����
�����
�����
�����
���������
����������
�����������
�����
�
�		
����	������
����	������
����	����	�
����	����	�
= M2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
��
��
����
�����
���	��
���	���
����	���
���������
����������
�����������
�����
�
�		
����	������
����	������
����	����	�
����	����
�
����	����	
=
k 0 16..:=
4 3 2 1 0 1 2 3
1
1
Dicotomia raiz positiva
0
M1k M2k,
4 3 2 1 0 1 2 3
1
1
Dicotomia raiz negativa
0
M2k
2. Ponto Fixo 
considerar como valores exatos α1 1.77718227:= α2 2.78109779−:=
s0 0:= (a mudança de variável para s é por
causa do software mathcad) testar com diferentes valores de chute inicial => 
total de iteradas superestimadas => n 100:=
k 0 n..:=
erro de overflow com várias
possibilidades de chute
inicial x0!
g1 x( ) x f x( )+:= sk 1+ sk e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−��
�
�
�
�
+:= 6
erro de overflow com várias
possibilidades de chute
inicial x0!
g2 x( ) x f x( )−:= sk 1+ sk e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−��
�
�
�
�
−:= 6
g3 x( ) log 6 ex− cos x( )−( ) 1− 2,�� 	
:=
k 0 100..:= s0 0−:=
sk 1+ log 6 e
sk
− cos sk( )−�� ��
1−
2,
�
�
�
	
�
:=
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
�
��
������
��
	
������
����
�����
��	�
����	�
���
����	��		
�
����	��
���
����	��
���
����	��
��	
����	��
��
����	��
��
����	��
��
=
s0 4−:=
s0 2:=
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
�
��
������
��
	
������
����
�����
��	�
����	�
���
����	��		
�
����	��
���
����	��
���
����	��
��	
����	��
��
����	��
��
=
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
�
��
������
��
	
������
����
�����
��	�
����	�
���
����	��		
�
����	��
���
����	��
���
����	��
��	
����	��
��
����	��
��
=
Para so = {0, 1, 1.778, 2,-4}, a sequencia converge para a raiz negativa = 
2.78109702− 
g4 x( ) ln 6 1
2x
�
�
�
�
�
�
− cos x( )−��
�
	
�
:=
k 0 n..:= s0 2:= sk 1+ ln 6
1
2
sk
�
�
�
�
�
�
− cos sk( )−��
�
	
�
:= s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
�
��	�
�����
���	������
����		���
����������
�������	��
������
���
������	�
������	�	
������	��	
������	��
=
k 0 n..:= s0 0:= sk 1+ ln 6
1
2
sk
�
�
�
�
�
�
− cos sk( )−��
�
	
�
:= s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
�
���	��
���
���
����
�
����
����
�������	��
������
�
�
����������
����������
����������
������	��	
������	���
������	���
=
k 0 n..:= s0 2−:= sk 1+ ln 6
1
2
sk
�
�
�
�
�
�
− cos sk( )−��
�
	
�
:= s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��		������
������	�
�
���������	
����	�����
����������
�����	�	��
����������
�������	��
�������
��
������	���
������	���
=
3. Newton-Raphson ou das tangentes 
f x( ) ex 1
2x
+ cos x( )+ 6−:=
z
f z( )d
d
e
z 1
2z
ln 2( )⋅− sin z( )−→
s0 0:= k 0 n..:= sk 1+ sk
e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−
e
sk 1
2
sk
ln 2( )⋅− sin sk( )−
−:= s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
�
���������
	�����	���
����	�����
���	������
���	������
��	�������
��	�	�����
������
���
����������
��
����
��
���
�	����
����������
������	��
������	���
������	���
=
converge para α1
s0 2:= k 0 n..:= sk 1+ sk
e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−
e
sk 1
2
sk
ln 2( )⋅− sin sk( )−
−:= s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
�
��	���	���
���������
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
=
converge para α1
s0 4−:= k 0 n..:= sk 1+ sk
e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−
e
sk 1
2
sk
ln 2( )⋅− sin sk( )−
−:= s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
�����	��	��
���	�������
����	������
����	������
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
=
converge para α2
4. Secantes 
s0 4−:= s1 0:= k 1 100..:=
sk 1+ sk
e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−��
�
�
�
�
sk sk 1−−( )⋅
e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−��
�
�
�
�
e
sk 1− 1
2
sk 1−
+ cos sk 1−( )+ 6−��
�
�
�
�
−
−:=
 represente graficamente a sequencia obtida pelo
metodo das secantes com os pontos iniciais definidos
pelos pontos (-4,f(-4)) e (0,f(0)).
Expliquepor que a convergencia nao foi observada, ou
se convergira para n suficientemente grande.
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
��
�
���
�����
�
�����
�	���
���
�����
�
���
�����
�
������	����
���
�������
���
�����
�
�����������
���
���
���
���
�������
������������
���
����
	�
���
����	�	
�����������
=
s0 0:= s1 2:= k 1 100..:=
sk 1+ sk
e
sk 1
2
sk+ cos sk( )+ 6−��
�
�
�
�
sk sk 1−−( )⋅
e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−��
�
�
�
�
e
sk 1− 1
2
sk 1−
+ cos sk 1−( )+ 6−��
�
�
�
�
−
−:=
 converge para α1
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
�
�
�����	����
���������
���
������
����������
����������
������	��	
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
=
s0 4−:= s1 1:= k 1 100..:=
sk 1+ sk
e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−��
�
�
�
�
sk sk 1−−( )⋅
e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−��
�
�
�
�
e
sk 1− 1
2
sk 1−
+ cos sk 1−( )+ 6−��
�
�
�
�
−
−:=
converge para α1
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
��
��
�	
�
��
��
��
��
��
��
�
�������
��
��	
���	�	
���		�����
�����	����
�����	�
��
���	�
���
����������
��	��	��
�
��	����
��
��������
�
������
���
����
	�	�	
����
�����
��	�����
�
��������	
����������
������	�
�
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
������	���
=
s0 4−:= s1 3−:= k 1 100..:=
sk 1+ sk
e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−��
�
�
�
�
sk sk 1−−( )⋅
e
sk 1
2
sk
+ cos sk( )+ 6−��
�
�
�
�
e
sk 1− 1
2
sk 1−
+ cos sk 1−( )+ 6−��
�
�
�
�
−
−:=
converge para α2
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
��
��
��
��
��
��
��
��
���	���		
����
������
����	��
��	
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
����	��
��
=

Continue navegando