Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
MAP3121. Exercícios resolvidos sobre zeros de funções. A função f x( ) ex 1 2x + cos x( )+ 6−:= possui duas raízes reais e distintas em [-4,2], Utilize os subintervalos I1 = [0, 2] para α1 e I2 = [-4, 0] para α2. Determinar as duas raízes com erro inferior a 0.0001 pelos métodos: 1) Dicotomia; 2) do Ponto Fixo; 3) Newton-Raphson; 4) Secantes. 4 3 2 1 0 1 2 3 4 2 2 4 6 8 10 12 14 f x( ) x 1 . Dicotomia número mínimo de iteradas para α1 : log 2 0.0001 2,�� � � � � 14.28771238= número mínimo de iteradas para α2 : log 4 0.0001 2,�� � � � � 15.28771238= Portanto, são necessárias no minimo 15 iteracoes para α1 e 16 para α2 ! f x( ) ex 1 2x + cos x( )+ 6−:= D a b, f, ε, n,( ) a0 a← b0 b← mk ak bk+( ) 2 ← teste f ak( ) f mk( )⋅← ak 1+ ak← bk 1+ mk← teste 0<if ak 1+ mk← bk 1+ bk← otherwise k k 1+← k 0 n..∈for a b m( ) := A1 D 0 2, f, 0.0001, 16,( )0 0,:= B1 D 0 2, f, 0.0001, 16,( )0 1,:= M1 D 0 2, f, 0.0001, 16,( )0 2,:= A2 D 4− 0, f, 0.0001, 16,( )0 0,:= B2 D 4− 0, f, 0.0001, 16,( )0 1,:= M2 D 4− 0, f, 0.0001, 16,( )0 2,:= A1 � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� � � ��� ���� ���� ���� ���� �������� ��������� ��������� ������ ��� ��������� ����� ���� ������ �� ������ �� ���������� = B1 � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� � � � � �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ��������� ��������� = M1 � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� � ��� ���� �� �� �� ��� ��� ��� �������� ��������� ���������� ������ ��� ��������� ����� ���� ������ �� ��������� ���������� ������ ��� = A2 � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��� �� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ���� � = B2 � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� � �� �� ���� ����� ����� ����� ����� ��������� ���������� ����������� ����� � � ���� ������ ���� ������ ���� ���� � ���� ���� � = M2 � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� ���� ����� ��� �� ��� ��� ���� ��� ��������� ���������� ����������� ����� � � ���� ������ ���� ������ ���� ���� � ���� ���� � ���� ���� = k 0 16..:= 4 3 2 1 0 1 2 3 1 1 Dicotomia raiz positiva 0 M1k M2k, 4 3 2 1 0 1 2 3 1 1 Dicotomia raiz negativa 0 M2k 2. Ponto Fixo considerar como valores exatos α1 1.77718227:= α2 2.78109779−:= s0 0:= (a mudança de variável para s é por causa do software mathcad) testar com diferentes valores de chute inicial => total de iteradas superestimadas => n 100:= k 0 n..:= erro de overflow com várias possibilidades de chute inicial x0! g1 x( ) x f x( )+:= sk 1+ sk e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6−�� � � � � +:= 6 erro de overflow com várias possibilidades de chute inicial x0! g2 x( ) x f x( )−:= sk 1+ sk e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6−�� � � � � −:= 6 g3 x( ) log 6 ex− cos x( )−( ) 1− 2,�� := k 0 100..:= s0 0−:= sk 1+ log 6 e sk − cos sk( )−�� �� 1− 2, � � � � := s � � � � � � � � � �� �� �� � �� ������ �� ������ ���� ����� �� � ���� � ��� ���� �� � ���� �� ��� ���� �� ��� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� = s0 4−:= s0 2:= s � � � � � � � � � �� �� � �� ������ �� ������ ���� ����� �� � ���� � ��� ���� �� � ���� �� ��� ���� �� ��� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� = s � � � � � � � � � �� �� � �� ������ �� ������ ���� ����� �� � ���� � ��� ���� �� � ���� �� ��� ���� �� ��� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� = Para so = {0, 1, 1.778, 2,-4}, a sequencia converge para a raiz negativa = 2.78109702− g4 x( ) ln 6 1 2x � � � � � � − cos x( )−�� � � := k 0 n..:= s0 2:= sk 1+ ln 6 1 2 sk � � � � � � − cos sk( )−�� � � := s � � � � � � � � � �� � �� � ����� ��� ������ ���� ��� ���������� ������� �� ������ ��� ������ � ������ � ������ �� ������ �� = k 0 n..:= s0 0:= sk 1+ ln 6 1 2 sk � � � � � � − cos sk( )−�� � � := s � � � � � � � � � �� �� � ��� �� ��� ��� ���� � ���� ���� ������� �� ������ � � ���������� ���������� ���������� ������ �� ������ ��� ������ ��� = k 0 n..:= s0 2−:= sk 1+ ln 6 1 2 sk � � � � � � − cos sk( )−�� � � := s � � � � � � � � � �� �� �� �� ������ ������ � � ��������� ���� ����� ���������� ����� � �� ���������� ������� �� ������� �� ������ ��� ������ ��� = 3. Newton-Raphson ou das tangentes f x( ) ex 1 2x + cos x( )+ 6−:= z f z( )d d e z 1 2z ln 2( )⋅− sin z( )−→ s0 0:= k 0 n..:= sk 1+ sk e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6− e sk 1 2 sk ln 2( )⋅− sin sk( )− −:= s � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� � ��������� ����� ��� ���� ����� ��� ������ ��� ������ �� ������� �� � ����� ������ ��� ���������� �� ���� �� ��� � ���� ���������� ������ �� ������ ��� ������ ��� = converge para α1 s0 2:= k 0 n..:= sk 1+ sk e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6− e sk 1 2 sk ln 2( )⋅− sin sk( )− −:= s � � � � � � � � � �� �� � �� ��� ��� ��������� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� = converge para α1 s0 4−:= k 0 n..:= sk 1+ sk e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6− e sk 1 2 sk ln 2( )⋅− sin sk( )− −:= s � � � � � � � � � �� �� �� ����� �� �� ��� ������� ���� ������ ���� ������ ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� = converge para α2 4. Secantes s0 4−:= s1 0:= k 1 100..:= sk 1+ sk e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6−�� � � � � sk sk 1−−( )⋅ e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6−�� � � � � e sk 1− 1 2 sk 1− + cos sk 1−( )+ 6−�� � � � � − −:= represente graficamente a sequencia obtida pelo metodo das secantes com os pontos iniciais definidos pelos pontos (-4,f(-4)) e (0,f(0)). Expliquepor que a convergencia nao foi observada, ou se convergira para n suficientemente grande. s � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� � ��� ����� � ����� � ��� ��� ����� � ��� ����� � ������ ���� ��� ������� ��� ����� � ����������� ��� ��� ��� ��� ������� ������������ ��� ���� � ��� ���� � ����������� = s0 0:= s1 2:= k 1 100..:= sk 1+ sk e sk 1 2 sk+ cos sk( )+ 6−�� � � � � sk sk 1−−( )⋅ e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6−�� � � � � e sk 1− 1 2 sk 1− + cos sk 1−( )+ 6−�� � � � � − −:= converge para α1 s � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� � � ����� ���� ��������� ��� ������ ���������� ���������� ������ �� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� = s0 4−:= s1 1:= k 1 100..:= sk 1+ sk e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6−�� � � � � sk sk 1−−( )⋅ e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6−�� � � � � e sk 1− 1 2 sk 1− + cos sk 1−( )+ 6−�� � � � � − −:= converge para α1 s � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� � � �� �� �� �� �� �� � ������� �� �� ��� � ��� ����� ����� ���� ����� � �� ��� � ��� ���������� �� �� �� � �� ���� �� �������� � ������ ��� ���� � � ���� ����� �� ����� � �������� ���������� ������ � � ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� ������ ��� = s0 4−:= s1 3−:= k 1 100..:= sk 1+ sk e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6−�� � � � � sk sk 1−−( )⋅ e sk 1 2 sk + cos sk( )+ 6−�� � � � � e sk 1− 1 2 sk 1− + cos sk 1−( )+ 6−�� � � � � − −:= converge para α2 s � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� ��� ��� ���� ������ ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� =
Compartilhar