p1 poli 2006

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Ia Questão: Considereo espaçovetorialP3(lR)munidodoprodutointerno
(p,q) = I: p(t)q(t) dt.
SejaW o subespaçodeP3(lR)geradopeloconjunto{I,t,t3}econsidereo polinômio
p(t)=2t2- tE P3(lR).
a) (1.5ponto)Encontreo elementodeW quemelhoraproximap(t).
b) (1 ponto)Escrevao polinômiop(t) comoumasoma
p(t)=f(t) +g(t), comf E W e9 E W.L.
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2aQuestão: a) (1 ponto)Considerea funçãoS: M2(JR) -+ JR3 dadapor
A funçãoS éumatransformaçãolinear?Justifique.
b) (2 pontos)SejaR: M2(JR)-+JR3dadapor
R(~ ~)=(a+d,O,b-c).
(i) Mostrequea funçãoR éumatransformaçãolinear.
(ii) Encontreumabaseparao núcleodeR eumabaseparaa imagemdeR.
· ~ r ~ R:: r/1-(~:)I 1<( :~) ,fl [ ~~) I t (~~)] = I [ 1. o, ,,)J
~b,D,1), (0/0)-1), (1c%)J ::=.[(to/~).I (o/o/d) ~ ~
i(\, O,'''),(010,,)S / "t, ~ ') 9'W-VO""t-~ / ~ ~ &<I,.,., r<.
3a Questão: Considerea transformaçãolinearT: P2(JR) -t JR3cuja matrizcom
relaçãoàsbases{1,t - 1,t2- 1}e {(O,0,1),(1,1,O),(O,1,1)}sejaa matrizA abaixo:
[
1 O -1
]
A= O 2 O .
-1 7 O
a) (1 ponto)CalculeT(2t2- 2).
b) (1.5ponto)Paraa,b,c E JR, determineT(a +bt+ct2).
0.) T(2.t~-'2J~ '(2-Lt'2-~)) ~ 2-\(t'2_,\) = 2.(-'\)O}OJe..
=-2.[-\(o,o,');-O.(\,I,O);-O.(O",')j= (0,0,-2-)1- ~
b)Jabt~ ~ [Tltt')jc= [T]",c,[U]B o
~vtryyW)~ 11=D.tbt+ct2mO-b Bo
ll+bt.+c.t2= CXlt~(t-'\)+'ã'(t~,,) Fi
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Q~ <x-~--t
6=(3
c.~1'
~, [<!t\,hd']B= [at~+C.J
~ [TLQtbt-tc-tL)] ::
[
~ () -1
Jl
Cl+bHo,
] [
Q-tb
J
C O 2. O\-:,= 2b
-1 + O C -atló6.z
-f~J
T(Q+bttct2)= (Q-tbj(O,O,~)+26( 1,1,0) -+(-QtGb-G) (011,~'))
o (
~ ~) - -
I T(atbttct2) = (2b,-a.+86-1'-,:t6--G)1
4aQuestão: a) (1ponto)SejamV eW espaçosvetoriaisdedimensãofinitaeT: V ~
W umatransformaçãolinear.SuponhaquedimV =dimW. MostrequeT é injetora
se,esomentese,T forsobrejetora.
b) (1ponto)SejamV umespaçovetorialdedimensãofinitamunidodeumproduto
internoe L: V ~ V umatransformaçãolineartal que
IIL(v)1I= IIvll, paratodov E V.
ProvequeL éumisomorfismo,istoé,umatransformaçãolinearbijetora.
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