08 - Interpolação

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08
INTERPOLAÇÃO
INTERPOLAÇÃO
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x).
A necessidade de se efetuar esta substituição se verifica:
a) quando são conhecidas somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado.
b) quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis de serem realizadas.
Interpolação Polinomial
Dados os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), portanto (n + 1) pontos, queremos aproximar f(x) por um polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que:
 f(xk) = pn(xk) k = 0, 1, 2, ..., n
Representaremos pn(x) por:
Portanto, obter pn(x) significa obter os coeficientes a0, a1, ..., an .
Da condição pn(xk) = f(xk), (k = 0, 1, 2, ..., n, montamos o seguinte sistema linear:
Com (n + 1) equações e (n + 1) variáveis: a0, a1, ..., an .
A matriz A dos coeficientes é
Desde que x0, x1, ..., xn sejam pontos distintos, o sistema linear admite solução única.
Teorema: Existe um único polinômio pn(x), de grau ( n, tal que: pn(xk) = f(xk), k = 0, 1, 2, ..., n desde que xk ( xj , j ( k.
FORMAS DE SE OBTER pn(x)
Conforme acabamos de ver, o polinômio pn(x) que interpola f(x)em x0, x1, ..., xn é único. No entanto, existem várias formas para se obter tal polinômio. Uma das formas é a resolução do sistema linear obtido anteriormente. Veremos também as formas de Lagrange e de Newton.
Resolução do Sistema Linear
EXEMPLO: Encontrar o polinômio de grau ( 2 que interpola os pontos da tabela:
	x
	–1
	0
	2
	f(x)
	4
	1
	–1
Temos que 
Resolvendo o sistema linear obtemos
 a0 = 1, a1 = –7/3, a2 = 2/3
Assim, 
 é o polinômio que interpola f(x) em x0 = –1,  x1 = 0 e x2 = 2. 
Forma de Lagrange
Sejam x0, x1, ..., xn, (n+1) pontos distintos e yi = f(xi), i = 0, ..., n.
Seja pn(x) o polinômio de grau ( n que interpola f em x0, x1, ..., xn. Podemos representar pn(x) na forma 
, onde os polinômios Lk(x) são de grau n. Para cada i, queremos que a condição pn(xi) = yi seja satisfeita, ou seja:
A forma mais simples de se satisfazer esta condição é impor:
e, para isso, definimos Lk(x) por
É fácil verificar que realmente:
		Lk(xk) = 1 e
		Lk(xi) = 0 se i ( k
Como o numerador de Lk(x) é um produto de n fatores da forma:
(x – xi); i = 0, ..., n, i ( k
então Lk(x) é um polinômio de grau n e, assim, pn(x) é um polinômio de grau menor ou igual a n.
Para x = xi, i = 0, ..., n temos:
Então, o forma de Lagrange para o polinômio interpolador é:
 onde 
EXEMPLO: Fazer a interpolação em dois pontos distintos: (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)).
Usando a forma de Lagrange (n = 1), teremos:
, onde
		
, 
Assim, 	
, ou seja, 
		
EXEMPLO: Seja a tabela:
	x
	–1
	0
	2
	f(x)
	4
	1
	–1
Pela forma de Lagrange, temos que:
, onde
Assim, na forma de Lagrange, 
ou 
Forma de Newton
Seja f(x) uma função tabelada em (n + 1) pontos distintos x0, x1, ..., xn.
Definimos o operador diferenças divididas por:
							(Ordem Zero)
				(Ordem 1)
					(Ordem 2)
			(Ordem 3)
		(Ordem n)
Dizemos que f[x0, x1, ..., xk] é a diferença dividida de ordem k da função f(x) sobre os (k + 1) pontos: x0, x1, ..., xk.
Dada uma função f(x) e conhecidos os valores que f(x) assume nos pontos distintos: x0, x1, ..., xn, podemos construir a tabela:
	x
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	Ordem 3
	
	
	x0
	f[x0]
	
	
	
	
	
	
	
	f[x0, x1]
	
	
	
	
	x1
	f[x1]
	
	f[x0, x1, x2]
	
	
	
	
	
	f[x1, x2]
	
	f[x0, x1, x2, x3]
	
	
	x2
	f[x2]
	
	f[x1, x2, x3]
	
	
	
	
	
	f[x2, x3]
	
	f[x1, x2, x3, x4]
	
	
	x3
	f[x3]
	
	f[x2, x3, x4]
	
	
	f[x0, x1, x2, ..., xn]
	
	
	f[x3, x4]
	
	
	
	
	x4
	f[x4]
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	f[xn-3, xn-2, xn-1, xn]
	
	
	
	
	
	f[xn-2, xn-1, xn]
	
	
	
	
	
	f[xn-1, xn]
	
	
	
	
	xn
	f[xn]
	
	
	
	
	
EXEMPLO: Seja f(x) tabelada abaixo:
	x
	–1
	0
	1
	2
	3
	f(x)
	1
	1
	0
	–1
	–2
Sua tabela de diferenças divididas é:
	x
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	Ordem 3
	Ordem 4
	–1
	1
	
	
	
	
	
	
	0
	
	
	
	0
	1
	
	–1/2
	
	
	
	
	–1
	
	1/6
	
	1
	0
	
	0
	
	–1/24
	
	
	–1
	
	0
	
	2
	–1
	
	0
	
	
	
	
	–1
	
	
	
	3
	–2
	
	
	
	
Onde:
As diferenças divididas satisfazem a propriedade a seguir: f[x0, x1, ..., xk] é simétrica nos argumentos, ou seja, f[x0, x1, ..., xk] = f[xj0, xj1, ..., xjk] onde j0, j1, ..., jk é qualquer permutação de 0, 1, ..., k.
Por exemplo,
Para k = 2 teremos
Forma de Newton para o Polinômio Interpolador
Seja f(x) contínua no intervalo [a, b].
Sejam a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, (n + 1) pontos. Construiremos o polinômio pn(x) que interpola f(x) em x0, x1, ..., xn.
Seja p0(x) o polinômio de grau 0 que interpola f(x) em x = x0. Então, p0(x) = f(x0) = f[x0].
Temos que, para todo x ( [a, b], x ( x0 
 
Note que 
 é o erro cometido ao se aproximar f(x) por p0(x).
Seja agora construir p1(x), o polinômio de grau ( 1 que interpola f(x) em x0 e x1.
Temos que
Assim, 		
 e
			
VERIFICAÇÃO: p1(x) interpola f(x) em x0 e x1?
Seja agora construir p2(x), o polinômio de grau ( 2 que interpola f(x) em x0, x1 e x2.
Temos que
Então,	
 e
		
Aplicando sucessivamente o mesmo raciocínio para
x0, x1, x2, x3;
x0, x1, x2, x3, x4;
x0, x1, x2, ..., xn;
teremos a fórmula de Newton para o polinômio de grau ( n que interpola f(x) em x0, ..., xn:
e o erro é dado por:
De fato, pn(x) interpola f(x) em x0, x1, ..., xn, pois sendo 
, então, para todo nó xk, k = 0, ..., n, temos
EXEMPLO: 
	x
	–1
	0
	2
	f(x)
	4
	1
	–1
	x
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	–1
	4
	
	
	
	
	–3
	
	0
	1
	
	2/3
	
	
	–1
	
	2
	–1
	
	
Escolha do grau do Polinõmio Interpolador
Deve-se construir a tabela de diferenças divididas. Em seguida examinar as diferenças divididas da função nas vizinhanças do ponto de interesse. Se nesta vizinhança as diferenças divididas de ordem k são praticamente constantes (ou se as diferenças de ordem (k + 1) variam em torno de zero), podemos concluir que um polinômio interpolador de grau k será o que melhor aproximará a função na região considerada na tabela.
EXEMPLO: Consideremos 
 tabelada com quatro casas decimais.
	x
	1
	1,01
	1,02
	1,03
	1,04
	1,05
	f(x)
	1
	1,005
	1,01
	1,0149
	1,0198
	1,0247
	x
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	1
	1
	
	
	
	
	0,5
	
	1,01
	1,005
	
	0
	
	
	0,5
	
	1,02
	1,01
	
	–0,5
	
	
	0,49
	
	1,03
	1,0149
	
	0
	
	
	0,49
	
	1,04
	1,0198
	
	0
	
	
	0,49
	
	1,05
	1,0247
	
	
	
	
	(
	
	
	
	constantes
	
Assim, no intervalo [1, 1.05] dizemos que um polinômio de grau 1 é uma boa aproximação para 
.
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