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�PAGE � �PAGE �105� 12 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - 2 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA A idéia básicas destes métodos é aproveitar as qualidades dos métodos de Série de Taylor e ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito que é o cálculo de derivadas de f(x, y). Podemos dizer que os métodos de Runge-Kutta de ordem p se caracterizam pelas três propriedades: a) são de passo um b) não exigem o cálculo de qualquer derivada de f(x, y); pagam, por isso, o preço de calcular f(x, y) em vários pontos. c) após expandir f(x, y) por Taylor para função de duas variáveis em torno de (xn, yn) e agrupar os termos semelhantes, sua expressão coincide com a do método de Série de Taylor da mesma ordem. Métodos de Runge-Kutta de 1º Ordem – Método de Euler Já vimos que o método de Euler é um método de Série de Taylor de 1ª ordem: , n = 0, 1, 2, ... Então , n = 0, 1, 2, ... e o método de Euler satisfaz as três propriedades que o caracterizam como um método de Runge-Kutta de ordem 1. Métodos de Runge-Kutta de 2ª Ordem Veremos inicialmente o método de Heun, ou método de Euler aperfeiçoado. Este método consiste em fazer mudanças no método de Euler para assim conseguir um método de ordem mais elevada. Dada a aproximação , supomos a situação em que a curva desenhada com linha cheia seja a solução y(x) da nossa equação. Por traçamos a reta L1 cujo coeficiente angular é , ou seja, Assim, dado o passo h, do método de Euler, que chamamos aqui de . Seja . Por P agora, traçamos a reta L2, cujo coeficiente angular é : A reta pontilhada L0 passa por P e tem por inclinação a média das inclinações das retas L1 e L2, ou seja, sua inclinação é A reta L passa por e é paralela à L0, donde: O valor fornecido para pelo método de Euler Aperfeiçoado é , ou seja n = 0, 1, 2, ... (B) Observamos que este método é de passo um e só trabalha com cálculos de f(x, y), não envolvendo suas derivadas. Assim, para verificarmos que ele realmente é um método de Runge-Kutta de 2ª ordem, falta verificar se sua fórmula concorda com a do método de Série de Taylor de 2ª ordem em h: (A) (Ap. 11) com No método de Euler Aperfeiçoado temos de trabalhar com . Desenvolvendo por Série de Taylor em torno de , temos : OBS: Desenvolvo B e comparo com A: com ( entre x e xn e ( entre y e yn. Assim, Então o método de Euler Aperfeiçoado fica Esta fórmula concorda com a do método de Série de Taylor até os termos de ordem h2, provando assim ser um método de Runge-Kutta de 2ª ordem. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA DE ORDENS SUPERIORES De forma análoga pode-se construir métodos de 3ª e 4ª ordem. Método de Runge-Kutta de 3ª Ordem onde Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem onde Os métodos de Runge-Kutta, apesar de serem auto-iniciáveis (pois são de passo um) e não trabalharem com derivadas de f(x, y), apresentam a desvantagem de não haver uma estimativa para o erro, o que inclusive poderia ajudar na escolha do passo h. EXEMPLO 1: Dado: Encontrar y(2,1) pelo método de Euler com: a) h =0,1 Resp. y(2,1) = 2 b) h = 0,05 Resp. y(2,1) = y2 = 2,0012195 c) h = 0,025 Resp. y(2,1) = y4 = 2,0018072 EXEMPLO 2: Dado: Estimar y(1) com h = 1, h = 0,5, h = 0,25 e h = 0,1 usando: a) Método de Euler b) Método de Euler Aperfeiçoado (Runge-Kutta de 2ª Ordem) c) Método de Runge-Kutta de 3ª Ordem, com h = 1 Respostas: a) h = 1 y(1) = y1 = 1040 h = 0,5 y(1) = y2 = 1040,4 h = 0,25 y(1) = y4 = 1040,604 h = 0,1 y(1) = y10 = 1040,7277 b) h = 1 y(1) = y1 = 1040,8 h = 0,5 y(1) = y2 = 1040,808 h = 0,25 y(1) = y4 = 1040,8101 h = 0,1 y(1) = y10 = 1040,8107 c) h = 1 y(1) = y1 = 1040,8107 EXEMPLO 3: Dado: Obtenha y(1) e e y(2) usando o método de Runge-Kutta de 4ª Ordem, com a) h = 0,125 Resp. y(1) = y8 = 17,99973 y(2) = y16 = 62,99930 b) h = 0,2 Resp. y(1) = y5 = 17,99837 y(2) = y10 = 62,99577 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� _1137394424.unknown _1137395171.unknown _1137396288.unknown _1137396560.unknown _1137397724.unknown _1137397843.unknown _1320431451.unknown _1137397804.unknown _1137397321.unknown _1137396507.unknown _1137396518.unknown _1137396347.unknown _1137395874.unknown _1137395994.unknown _1137396010.unknown _1137395880.unknown _1137395308.unknown _1137395455.unknown _1137395188.unknown _1137394936.unknown _1137394965.unknown _1137395087.unknown _1137394912.unknown _1137394925.unknown _1137394456.unknown _1137394495.unknown _1137394502.unknown _1137394431.unknown _1137394230.unknown _1137394313.unknown _1137394355.unknown _1137394379.unknown _1137394349.unknown _1137394282.unknown _1137394289.unknown _1137394252.unknown _1136620740.unknown _1137393390.unknown _1137394166.unknown _1137393285.unknown _1136620962.unknown _1136620992.unknown _1136620928.unknown _1063094924.unknown _1063105545.unknown _1063698294.unknown _1063106140.unknown _1063105195.unknown _1063094038.unknown _1063094172.unknown _1063094010.unknown