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CEDERJ ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP1 - 2012.1 Questa˜o 1 (1,5 pontos). Uma empresa teve seus lucros anuais reduzidos em 20% no ano de 2011 (lucrou neste ano 20% a menos do que em 2010). Para compensar esta reduc¸a˜o nos lucros, a empresa esta´ realizando cortes de gastos e tentando atingir novos consumidores. Para que os ganhos de 2012 voltem ao mesmo n´ıvel que os de 2010, os lucros de 2012 devem ser quantos porcento superiores aos de 2011? Soluc¸a˜o: Vamos chamar de L o lucro obtido em 2010. Em 2011 a empresa lucrou apenas 0, 8L (pois lucrou 20% a menos que no ano anterior). Para que os ganhos voltem a L em 2012, a empresa deve lucrar 0,2L a mais que no ano anterior (quando lucrou 0, 8L). Como sabemos, 0,2L e´ um quarto ou 25% de 0, 8L. Logo os lucros de 2012 devem ser 25% superiores aos de 2011 para retornar ao mesmo n´ıvel de 2010. Questa˜o 2 (3 pontos). Sejam A = {10, 11} e B = {11, 12} Em cada item abaixo, escreva por extenso a proposic¸a˜o dada, decida se e´ verdadeira ou falsa e justifique suas resposta analisando os elementos dos conjuntos em questa˜o. a) ∃x ∈ A, ∃y ∈ B; x = y Existe x pertencente a A e existe y pertencente a B tais que x e´ igual a y. Proposic¸a˜o verdadeira. Basta tomar x = 11 e y = 11. b) ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, x < y; Para todo x pertencente a A e para todo y pertencente a B, x e´ menor que y. Proposic¸a˜o falsa. Tomando x = 11 e y = 11, vemos que na˜o vale x < y. 1 c) ∀x ∈ A, ∃y ∈ B; y = x+ 1; Para todo x pertencente a A, existe y pertencente a B tal que y e´ igual a x mais um. Proposic¸a˜o verdadeira. Para x = 10 tomamos y = 11 e temos que x = y + 1. Para x = 11 tomamos y = 12 e temos que x = y + 1. d) ∃y ∈ B; ∀x ∈ A, y = x+ 1; Existe y pertencente a B tal que para todo x pertencente a A, y e´ igual a x mais um. Proposic¸a˜o falsa. Vemos que y = 11 na˜o e´ igual a x+1 para todo x em A (basta tomar x = 11). Tambe´m o y = 12 na˜o satisfaz a proposic¸a˜o, ja´ que para x = 10 na˜o vale x+ 1 = 12. Questa˜o 3 (3 pontos). Tome como premissas as seguintes proposic¸o˜es sobre um conjunto C: 1) C ⊂ N; 2) Se 5 e´ elemento de C, enta˜o todos os naturais mu´ltiplos de 5 tambe´m sa˜o elementos de C; 3) Se 10 e´ elemento de C, enta˜o 20 na˜o e´ elemento de C; 4) Se 3 e´ elemento de C enta˜o 5 tambe´m pertence a C; A partir das premissas dadas, indique se a proposic¸a˜o em cada item abaixo expressa uma conclusa˜o va´lida ou na˜o sobre o conjunto C e justifique sua resposta. a) 5 pertence a C. Na˜o expressa conclusa˜o va´lida. Pela premissa 2 vemos que 10 e 20 na˜o podem pertencer a C simultaneamente, logo 5 na˜o pode pertencer a C (pois pela primeira premissa, se 5 ∈ C enta˜o todos os mu´ltiplos de 5 tambe´m deveriam pertencer a C). 2 b) 10 pertence a C e 20 na˜o pertence a C. Na˜o expressa conclusa˜o va´lida. Observe que, por exemplo, o conjunto A = {20} satisfaz todas as premissas dadas. Logo na˜o podemos concluir que 10 pertence a C nem que 20 na˜o pertence (e muito menos que estas duas coisas acontecem simultaneamente). c) 3 na˜o pertence a C. Conclusa˜o va´lida. Conforme ja´ vimos no item a), 5 na˜o pode pertencer a C. Mas pela premissa 4, se 3 pertencer a C, 5 tambe´m tem que pertencer. Logo conclu´ımos que 3 na˜o pertence a C. d) Existe algum elemento em C que e´ mu´ltiplo de 5. Na˜o expressa conclusa˜o va´lida. Basta observar que, por exemplo, o conjunto B = {2, 4} satisfaz todas as premissas dadas. Logo na˜o podemos concluir que existe em C algum mu´ltiplo de 5. e) Nenhum elemento de C e´ mu´ltiplo de 5. Na˜o expressa conclusa˜o va´lida. Como ja´ vimos no item b), por exemplo, o conjunto A = {20} satisfaz todas as premissas dadas. Logo na˜o podemos concluir que na˜o existe em C nenhum mu´ltiplo de 5. f) Todos os mu´ltiplos de 5 sa˜o elementos de C. Na˜o expressa conclusa˜o va´lida. Como ja´ vimos no item d) na˜o e´ poss´ıvel nem mesmo afirmar, a partir das premissas dadas, que existe em C um mu´ltiplo de 5. Logo na˜o po- demos de forma alguma concluir que todos os mu´ltiplos de 5 pertencem a C (considere, por exemplo, os conjuntos A e B ja´ citados). Questa˜o 4 (2,5 pontos). Resolva as expresso˜es: a) − 7 10 − 2 10 ÷ ( 3 12 + 1 8 ) + ( 7 5 + 1 15 ) × 6 9 − 4 9 3 b) 15a2 − 5a 5ab · 20b2 3a− 1 + (b12)1/3 · b−2 a) − 7 10 − 2 10 ÷ ( 3 12 + 1 8 ) + ( 7 5 + 1 15 ) × 6 9 − 4 9 = − 7 10 − 1 5 ÷ ( 2 8 + 1 8 ) + ( 21 15 + 1 15 ) × 6 9 − 4 9 = − 7 10 − 1 5 ÷ 3 8 + 22 15 × 6 9 − 4 9 = − 7 10 − 1 5 × 8 3 + 22 5 × 2 9 − 4 9 = − 7 10 − 8 15 + 44 45 − 4 9 = − 21 30 − 8 15 + 44 45 − 20 45 = − 21 30 − 8 15 + 24 45 = − 21 30 − 8 15 + 8 15 = − 21 30 b) 15a2 − 5a 5ab · 20b2 3a− 1 + (b12)1/3 · b−2 = 5a(3a− 1) 5ab · 20b2 3a− 1 + b4 · b−2 = 3a− 1 b · 20b2 3a− 1 + b2 = 20b+ b2 4
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