aula13e14 2013 2

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Matemática para Economia III
2013.2
Aula 13 e 14:
Transformações lineares (continuação)/ Autovalores e Autovetores/ Diagonalização de Operadores
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Matriz de uma transformação linear
Sejam T: V→W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Sem perda de generalidade consideremos dim V=2 e dim W=3.
Sejam A={v1,v2} e B={w1,w2,w3}, um vetor v ϵ V pode ser expresso como
A imagem T(v) ϵ W pode ser expressa como 
Por outro lado aplicando T em (1) obtemos
(1)
(2)
(3)
Note que [v]A=(x1,x2)
Note que [T(v)]B=(y1,y2,y3)
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Matriz de uma transformação linear
Sendo T(v1) e T(v2) ϵ W eles são combinações lineares dos vetores de B:
Substituindo em (3) temos que
(4)
(5)
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Matriz de uma transformação linear
Portanto:
Ou na forma matricial:
Ou simbolicamente:
Matriz de T em relação as bases A e B
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Matriz de uma transformação linear
Na prática o que fizemos:
Escrevemos os vetores T(v1) e T(v2) como combinação linear do vetores de B
Tomamos os escalares de T(vi) na base B e os colocamos como a coluna i da matriz
[v]A
[T(v)]B
[T(v1)]B
[T(v2)]B
Matriz de T em relação as bases A e B
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Matriz de uma transformação linear
Exemplo: Dada a transformação linear T: IR2→IR3 dada por
T(x,y)=(x+y,x-y,y),
E considere as bases A={(1,1),(-1,0)} e B={(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} para o IR2 e IR3 respectivamente. Determine:
a)
b) Sendo v=(5,1) (coordenadas em relação à base canônica do IR2), calcular [T(v)]B utilizando a matriz encontrada em a)
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Matriz de Mudança de Base
Se considerarmos I: V→V a transformação linear identidade, 
I(v)=v. 
Ao escrevermos a matriz desta transformação em relação às bases A e B (A uma base de V e B outra base de V). Obteremos
[I(v)]B= [v]A
Ou ainda: [v]B = [v]A 
Matriz de mudança de base de A para base B
O papel desta matriz é transformar as coordenadas de um vetor v na base A em coordenadas do mesmo vetor v na base B.
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Autovetores e Autovalores
Seja T:V→V um operador linear. Um vetor v ϵ V, v≠0, é autovetor 
do operador T se existe λ ϵ IR tal que 
T(v)= λv. 
Seja M a matriz desta transformação em relação à base canônica então (6) pode ser rescrito como
Mv=λv
λv-Mv=0
ou ainda
λIv-Mv=0
(λI-M)v=0.
Determinar se operador T possui um autovetor v≠0 equivale a determinar para quais valores de λ o sistema homogêneo (7) tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de M. 
Se λ é um autovalor de M então cada solução não trivial de (7) será o autovetor de M associado ao autovalor λ, ou seja será autovetor do operador T.
(6)
(7)
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Autovetores e Autovalores 
De acordo com o que já estudamos 
M é invertível ↔ Mv=0 tem somente solução trivial 
logo 
(λI-M)v=0 tem solução não trivial ↔ (λI-M) não é invertível, 
ou seja, 
det(λI-M)=0
Exemplo:
 
 (b) Seja M=[T], encontre os autovalores de M e dê exemplo de autovetores associados a cada autovalor
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Autovetores e Autovalores
Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes:
A é invertível.
Ax=0 só tem a solução trivial.
A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.
A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.
Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1.
Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1.
det(A)≠0.
A tem posto n.
As linhas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn.
As colunas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn.
Zero não é um autovalor de A.
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Diagonalização de operadores
Seja T: V→ V um operador linear. Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base β de V cujos elementos são autovetores de T.
A matriz que representa T na base  β  é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores de T, ou seja:
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Diagonalização de operadores
Seja M=[T] a matriz canônica do operador T e D a matriz de T na base β de autovetores, dizemos que T é diagonalizável se existe uma matriz P tal que
D = P–1MP.
Onde P é a matriz cujas colunas são os autovetores de T e D=[T]β .
Assim, a matriz D é obtida pela matriz P, quando ela existe, sobre a matriz M. Dizemos então que a matriz P diagonaliza M ou que P é a matriz diagonalizadora (P a matriz de mudança da base canônica para base de β).
Quando sabemos que é possível encontrar a matriz P e obter D?
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Diagonalização de operadores
Teorema: Se M=[T] possui todas as raízes de seu polinômio característico reais e distintas então M é diagonalizável.
Obs: raízes do polinômio característico reais e distintas
 
 autovetores associados a autovalores distintos são L.I 
 
existe uma base de autovetores para V
Temos o seguinte resultado para matrizes simétricas:
Teorema: Se M é uma matriz simétrica de ordem n então existe uma matriz ortogonal P tal que P–1MP=D, D uma matriz diagonal. Os autovalores de M são elementos da diagonal D.
(Lembrete: Matriz ortogonal P-1=PT).
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Diagonalização de operadores
Exemplo: