3a Lista de Exercicios - Cálculo IV - Eng Controle e Automoção

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Escola Superior de Tecnologia - EST
3a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo IV - Engenharia de Controle e Automac¸a˜o
Prof. Msc. Jefferson Silva
Questo˜es
Transformada de Laplace
Questa˜o 1. Seja L{f(t)} = F (s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das
seguintes func¸o˜es:
(a) f(t) = eat cos bt Resposta: F (s) =
s− a
(s− a)2 + b2 .
(b) f(t) = tn
(c) f(t) = cos2 at Resposta: F (s) =
1
2
[
1
s
+
s
s2 + 4a2
]
.
(d) f(t) = t2 sin t
(e) f(t) = tneat
(f) f(t) = teat cos bt
Questa˜o 2. Sendo dado que
∫ ∞
0
e−x
2
dx =
√
pi
2
, determine L{t− 12}.
Questa˜o 3. Sejam F (s) = L{f(t)} e Y (s) = L{y(t)}. Determine a transformada inversa
de Laplace da func¸a˜o:
(a) F (s) =
2s− 5
s(s2 + s− 12) Resposta: f(t) =
5
12
+
1
21
e3t − 13
28
e−4t.
(b) Y (s) =
2
s2(s+ 2)(s− 1) +
1
(s+ 2)(s− 1) Resposta: y(t) = −
1
2
− t− 1
2
e−2t + et.
(c) Y (s) =
3
(s− 1)(s2 + 4) . Resposta: y(t) =
3
5
et − 3
5
cos 2t− 3
10
sin 2t.
Questa˜o 4. Resolva, usando o me´todo das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes
problemas de valor inicial:
(a) y′′ − 5y′ + 4y = e2t;y(0) = 1, y′(0) = −1. Resposta: y(t) = 2et − 1
2
e4t +
1
2
e2t.
(b) 5y′ + 4y = e2t;y(0) = 1.
(c) y′ = et sin t; y(0) = 0.
(d) 2y′′ + 5y′ + 3y = 0; y(0) = 3, y′(0) = −4.
(e) y′′ + y′ − 2y = 2t; y(0) = 0, y′(0) = 2. Resposta: y(t) = −1
2
− t− 1
2
e−2t + et.
(f) y′′+ 4y = t2 + 3et; y(0) = 0, y′(0) = 2. Resposta: y(t) = −1
8
+
1
4
t2− 19
40
cos 2t+
3
5
et +
7
10
sin 2t.
(g) y′′ − 2y′ + y = tet; y(0) = 0, y′(0) = 0. Resposta: y(t) = 1
6
t3et.
1
Questa˜o 5. Seja F (s) = L{f(t)}. Prove que:
L{f ′′′(t)} = s3F (s)− s2f(0)− sf ′(0)− f ′′(0).
Questa˜o 6. Resolva o problema de valor inicial:
y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = e4t; y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0.
Resposta: y(t) = 1 + e−t + e−
t
2
[
cos
√
3t
2
− 7√
3
sin
√
3t
2
]
.
Questa˜o 7. Resolva o problema de valor inicial:
y′′ − 8y′ + 16y = t2; y(1) = 3
124
, y′(1) =
3
16
.
Questa˜o 8. Mostre que se f(t) e´ cont´ınua por partes e existem k > 0 e M > 0 tais que
|f(t)| ≤Mekt, para todo t > 0,
enta˜o existe a transformada de Laplace de f(t), L(f(t)) = F (s), definida para s > k, e ale´m
disso,
lim
s→∞
F (s) = 0.
Questa˜o 9. (Func¸a˜o Gama) A func¸a˜o Gama e´ definida pea integral impro´pria
Γ(p) =
∫ ∞
0
tp−1e−tdt, para p > 0.
(a) Mostre que Γ(p+ 1) = pΓ(p), para p > 0;
(b) Mostre que Γ(n) = n! para n ∈ N;
(c) Seja p > −1. Mostre que
L(tp)(s) = Γ(p+ 1)
sp+1
, s > −1.
Questa˜o 10. Explique o porqueˆ que a func¸a˜o g(t) = tan t na˜o possui transformada de
Laplace. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o h tal que f(t) = h(t)g(t) tenha transformada de Laplace.
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