Exercicios Espaco Vetorial Parga

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

162 ESPAÇO VETORIAL REAL 
III.6 – Exercícios 
 
 
1) Dê exemplos de: 
a) Um subespaço vetorial de F = { funções de R em R } e de um vetor desse 
espaço. 
b) Um subespaço vetorial de R5 e de um vetor desse espaço. 
c) Um subespaço vetorial do { matrizes diagonais nxn } e de um vetor desse 
espaço. 
 
2) Dê exemplos de um subespaço vetorial do R 3 : 
a) Que tenha dimensão 1, dando uma base e equações para esse subespaço. 
b) Que tenha dimensão 2, dando uma base e uma equação para esse 
subespaço. 
c) Que tenha dimensão 3, dando uma base para esse subespaço. 
 
3) Dê exemplo de um subconjunto do R 3 que não é um subespaço vetorial. 
 
4) Dê exemplos de dois subespaços do R 2 : 
a) Cuja união não é um subespaço do R 2. 
b) Cuja união é um subespaço do R 2. 
 
5) Escreva, se possível, o vetor u como combinação linear do conjunto C: 
a) u = ( 3 , 0 , 2 , 2 , 2 ) e 
C = { ( 1,1,1,1,1 ) , ( 1,0,1,0,1 ) , ( 1,-1,0,0,0 ) , ( 0,0,0,1,0 ) }  R5 
b) u = ( 3 , 1, -1 , -3 ) e C = { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 4 , 3 , 2 , 1 ) }  R4 
c) u = ( 1 , 1 , 0 , -1 ) sendo C o mesmo conjunto do item anterior. 
d) u = 





00
01
 e C =


















 






11
11
,
00
11
,
11
11
 M2x2. 
e) u = 1 – t2 e C = { 1 + t + t2 , 1 – t , 1 + 2 t2 }  P 2. 
 
6) Determine a equação dos subespaços: 
a) [ ( 1,1,1,1,1 ) , ( 1,0,1,0,1 ) , ( 1,-1,0,0,0 ) , ( 0,0,0,1,0 ) ]  R5 
b) [ ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 4 , 3 , 2 , 1 ) ]  R4 
c) 

















 






11
11
,
00
11
,
11
11
  M2x2. 
d) [ 1 + t + t 2 , 1 – t , 1 + 2 t 2 ]  P 2. 
 
7) Determine uma base para o espaço vetorial abaixo e diga qual é a sua 
dimensão: 
a) S = [ ( 0,1,2,-1 ) , ( 1,1,4.0 ) , ( 1,2,2,-5 ) , ( 0,0,1,1 ) , ( 1,0,1,0 ) ]  R4. 
b) U = {( x , y , z , t , q )  R5 | x + y + z = 0 , x – t – 2q = 0 e z + t – 2q = 0 }. 
c) W = [ 1 + t , 2 – t 2 , t + t 2 ]  P2. 
ESPAÇO VETORIAL REAL 163 
 
 
 
d) V = { ( x , y , x , t )  R 4 | x + y + z + t = 0 }. 
e) X = { 





dc
ba  M2x2 | a – 2b +3c – d = 0 , a – 2b +3c +d = 0 e 
2a – 5b +6c = 0 }. 
 
8) Mostre que os conjuntos U , W , V e X , do exercício anterior, são espaços 
vetoriais. 
 
9) Dê exemplo de uma base do R 3, de modo que, seus vetores sejam dois a dois 
perpendiculares e que um desses vetores seja perpendicular ao plano de 
equação x + y + z = 0. 
 
10) Qual é a dimensão do seguinte subespaço: 
 { ( x1 , x2 , x3 , x4 )  R 4 | x1 – x2 + x3 – x4 = 0 } ? 
 
11) Dado { ( 1 , 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 2 , 3 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 , 1 ) }  R 4: 
 a) Verifique se o conjunto é LI. 
b) Encontre, dentre esses vetores, uma base para o subespaço gerado pelos 
vetores do conjunto dado. 
 c) Qual é a dimensão desse subespaço gerado? 
 
12) Se S é um subespaço vetorial de P2 = {polinômios de grau menor ou 
igual a 2}, gerado pelos vetores t 2 – t + 1 , t 2 – 2t + 2 e 2t 2 – t + 1 : 
a) Escolha, dentre os geradores dados de S, uma base para S. 
b) Pode-se dizer que S = P2 ? Justifique sua resposta. 
 
13) Mostre que: 
a) Se k1 e k2  R e { v1 , v2 , v3 } é LI então { k2 v2 , v1 , v3 + k1 v1 } é LI. 
b) [ v1 , v2 , v3 ] = [ v1 , v2 , v3 + k v1 ]  k  R. 
c) Se v é um vetor não nulo, então { v } é LI. 
d) Se A é um conjunto LD e A  B , então B é LD. 
e) Se A é um conjunto LI e B  A , então B é LI. 
f) Se A = { v1 , v2 , ... , vn } é LI e B = { v1 , v2 , ... , vn , w } é LD, então w 
é uma combinação linear de v1 , v2 , ... , vn . 
g) Qualquer conjunto que contém o vetor nulo é LD. 
 
14) a) Mostre  = { ( 1 , 2 , 3 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } é uma base do R3. 
b) Determine as coordenadas do vetor v = ( 5 , 4 , 2 ) em relação a base . 
c) Determine o vetor w do R3 cujo vetor coordenada em relação a base  
é w| = ( 2 -3 4 )t. 
d) Determine as coordenadas dos vetores v1 = ( 3 , 2 , 1 ) , v2 = ( 1 , 1 , 1 ) 
e v3 = ( 1 , 3 , 4 ) em relação a base . 
 
164 ESPAÇO VETORIAL REAL 
15) Considere os subespaços do R 4 , 
W = [ ( 1 , 0 , -1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( -1 , 1 , 3 , 1 ) ] e 
U = { ( x , y , z , t )  R4 | x + y + z + t = 0 e x - y + z - t = 0 }. 
a) Determine uma base  para U e diga qual é a dimensão de U. 
b) Determine uma base  para W e diga qual é a dimensão de W. 
c) Encontre equações para W. 
d) Determine uma base  para U  W e diga qual é a dimensão de U  W. 
e) Determine uma base  para U + W e diga qual é a dimensão de U + W. 
 
16) Considere os subespaços do R 6 , 
 W= [( 0,1,1,1,1,1) , ( 1,1,2,0,0,0) , ( 0,0,1,2,4,3) , ( 3,5,7,2,2,2) , ( 0,0,0,1,1,1)] 
e U = { ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )  R6 | x1 + x3 + x5= 0 , x2 + x4 + x6= 0 , 
 x1 - x4 + 2x5 = 0 e 2x1 + x2 + x3 + 3x5 + x6 = 0 }. 
a) Determine uma base  para U e diga qual é a dimensão de U. 
b) Determine uma base  para W e diga qual é a dimensão de W. 
c) Encontre equações para W. 
d) Determine uma base  para U  W e diga qual é a dimensão de U  W. 
e) Determine uma base  para U + W e diga qual é a dimensão de U + W. 
 
17) Considerando as matrizes A = 















1111
2020
1011
1210
 e b = 












0
4
0
0
 e o 
subconjunto do R4 ,  = { A1 , A2 , A3 , A4 } , em que A i é a coluna i da 
matriz A , com i = 1 , 2 , 3 , 4. 
 
a) Determine A-1 e calcule simultaneamente o determinante de A. 
b) Resolva o sistema A X = b usando a inversa de A. 
c) Use as contas dos itens anteriores para saber se  é base do R 4. 
Justifique. 
d) Escreva o vetor b  R 4 como combinação linear de . 
 
18) Dados v = 1 - 2t , w| = ( 1 1 1 1 ) t e 
  = { t3 + t2 + t + 1 , t3 +2t2 + 3t + 4 , t2 + 2t + 4 , t3 + 2t2 +4t + 4 }  P3 
a) Mostre que  é uma base de P3. 
b) Determine v| . 
c) Ache w. 
 
19) Dados  ={ 





11
11
 , 





43
21
 , 





42
10
}  M2x2 , v = 





 12
00
 e w| = 














0
1
1
1
: 
ESPAÇO VETORIAL REAL 165 
 
 
 
a) Mostre que  não é uma base de M2x2. 
b) Complete  para obter uma base  de M2x2. (A base  deve conter  ). 
c) Determine v| . 
d) Ache w. 
 
20) Se  = { v1 , v2 , v3 } é uma base do espaço vetorial V e sabendo-se que 











3
2
1

u e 











0
1
1

w : 
a) Mostre que 











3
1
2
)(

wu . 
b) Mostre que 











6
7
1
)32(

wu . 
21) a) Mostre que se { u , v } é linearmente independente, então { u + v , u – v } 
 também é linearmente independente. 
 b) Encontre uma base para o R3 de forma que, os vetores v1 = ( 1 , 2 , 3 ) e 
 v2 = ( 3 , 2 , 1 ) façam parte desta base. 
 
22) Sejam V um espaço vetorial real e A = { v1 , v2 , ... ,vn }  V: 
a) Defina: S é um subespaço
de V. 
b) Defina: A é linearmente independente. 
c) Defina: dimensão de V. 
d) Mostre que: se o conjunto { u , v } é linearmente independente então 
{ 3u + v , 2u – v } também é linearmente independente. 
e) Mostre que: se o conjunto { u , v } é linearmente independente e os 
números reais a , b , c e d são tais que ad – bc  0 , então o 
conjunto { au + cv , bu – dv } também é linearmente independente. 
 
23) Seja S o subespaço do R 4 que é gerado pelas colunas da matriz 
 A = 












5410
3311
3210
1111
: 
a) Escalonando A obtenha uma base para S. 
b) Qual é a relação entre a dimensão de S e o número de linhas não nulas 
da reduzida por linhas à forma escada de A ? 
c) Escalonando A t obtenha uma base para S. 
d) Qual é a relação entre a dimensão de S e o número de linhas não nulas 
da reduzida por linhas à forma escada de A t ? 
166 ESPAÇO VETORIAL REAL 
 
24) Dado S = { A  M2x2 | A é simétrica } : 
a) Mostre que S é um subespaço de M2x2. 
b) Encontre uma base para S. 
c) Qual é a dimensão de S ? 
d) Mostre que dim { A  Mnxn | A é simétrica } = 2
2 nn  . 
25) Considere os subconjuntos dos respectivos espaços dados abaixo. Descubra qual 
deles é base. Se não for base diga o motivo. Qual é a dimensão dos subespaços 
gerados pelos vetores desses subconjuntos? 
a) { ( 1 , 0 , 1) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( 3 , 2 , 1 ) , ( 4 , 1 , 1 ) }  R 3. 
b) { 





11
00
 , 





00
11
, 





 21
21
, 





11
11
 }  M2x2. 
c) { t 2 + t + 1 , 2t – 1 }  P2. 
d) { ( 1 , 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 0 , 1 , 1 ) }  R 4. 
 
26) Sejam S1 e S2 dois subespaços do espaço vetorial V, tais que, S1  S2 é a 
origem e S1 + S2 = V. Se 1 = { v1 , ... , vp } é base de S1 e 2 = { w1 , ... , wq } 
é base de S2 , mostre que: 
a) Se w  S2 , então w só é combinação linear de 1 se w = 0. 
b) Se w  S2 e w  0, então { v1 , ... , vp , w } é LI. 
c) 1  2 é LI. 
d) 1  2 é uma base de V. 
e) dim V = dim S1 + dim S2 . 
 
27) Mostre que substituindo o gerador vi de S por vi + c vk , para c  R, o 
subespaço não é alterado, isto é, 
 S = [ v1 , ... , vi , ... , vk ,... , vm ] = [ v1 , ... , vi + c vk , ... , vk ,... , vm ]. 
 
28) Mostre que: 
a) Se dim V = n e  = {v1 , ... , vn } é LI então  é base de V. 
b) Se dim V = n e  = {v1 , ... , vn } gera V então  é base de V. 
c) Se dim V = n e u  V não pode ser escrito como combinação linear dos 
vetores LI v1 , ... e vn-1 então {v1 , ... , vn-1 , u } é uma base de V.