Exercícios Seq. e Séries de Funções (3)

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IME - UFG
Ca´lculo III Prof: Leandro Prudente
Lista de Exerc´ıcios
1) Determine a func¸a˜o f dada por
lim
n→∞
fn(x).
a) fn(x) = e
nx b) fn(x) =
√
1 + nx2
n
c) fn(x) =
nx
n+ x2
d) fn(x) = e
−nx
2
2) Para cada n ≥ 1, seja fn(x) = 1
n
sen(nx+ n).
a) Determine o domı´nio da func¸a˜o f dada por
f(x) = lim
n→∞
fn(x).
b) A sequeˆncia fn, n ≥ 1, converge uniformemente a f em R?
3) Seja A = [0,+∞) e fn : A→ R dadas por fn(x) =
{ −nx+ 1 se 0 ≤ x ≤ 1/n
0 se x > 1/n.
a) Calcule f tal que
f(x) = lim
n→∞
fn(x).
b) Desenhe os gra´ficos de fn e f .
c) fn converge uniformemente para f em A?
4) Para cada n ≥ 1, seja fn(x) = n
nx2 + 1
.
a) Determine o domı´nio da func¸a˜o f dada por
f(x) = lim
n→∞
fn(x).
b) A sequeˆncia fn, n ≥ 1, converge uniformemente a f em (0,+∞)?
5) Para cada n ≥ 1, seja fn(x) = nx
nx2 + 1
.
a) Determine o domı´nio da func¸a˜o f dada por
f(x) = lim
n→∞
fn(x).
b) A sequeˆncia fn, n ≥ 1, converge uniformemente a f em R?
6) Para cada n ≥ 1, seja fn(x) = nxe−nx2 . Considere a func¸a˜o f dada por
lim
n→∞
fn(x).
a) Verifique que ∫
1
0
( lim
n→∞
fn(x))dx 6= lim
n→∞
∫
1
0
fn(x)dx.
b)fn converge para f uniformemente em [0 1]?
7) Para cada n ≥ 1, seja fn(x) = 1nsen(nx). Verifique que fn converge uniformemente a f ,
em R, a` func¸a˜o f dada por lim
n→∞
fn(x). E´ verdade que para todo x, f
′(x) = lim
n→∞
f ′n(x)?
Este resultado esta´ em contradic¸a˜o com o Teorema 3? Explique.
8) Verifique que a se´rie dada converge uniformemente no intervalo dado.
a)
+∞∑
k=1
x
x2 + k2
em [−r r], r > 0. b)
+∞∑
k=1
xk
k!
em [−r r], r > 0.
c)
+∞∑
k=1
2kxk em [−r r], 0 < r < 1/2. d)
+∞∑
k=1
xk
2k + 1
em [−r r], 0 < r < 1.
e)
+∞∑
k=1
cos(kx)
k
√
k
em R.
9) Mostre que a func¸a˜o dada e´ cont´ınua no conjunto dado.
a) f(x) =
+∞∑
k=1
cos(kx)
x2 + k2
em R. b)
+∞∑
k=1
cos(kx3)
k4
em R.
c)
+∞∑
k=0
1
2kx
em [1 +∞). d)
+∞∑
k=0
2kxk
k!
em R.
10) Seja f(x) =
+∞∑
k=0
xk
k!
. Verifique que
∫
x
0
f(t)dt = f(x)− 1.
Dica: Mostre a se´rie converge uniformemente em [−r r], r > 0.
2
11) Seja f(x) =
+∞∑
k=1
x
x2 + k2
. Justifique a igualdade
∫
1
0
f(x)dx =
1
2
+∞∑
k=1
ln
(
1 +
1
k2
)
.
12) Considere a func¸a˜o f(x) =
+∞∑
k=1
xk−1
k3
.
a) Mostre que f e´ cont´ınua em [−1 1].
b) Justifique a igualdade: ∫
1
−1
f(x)dx =
+∞∑
k=0
2
(2k + 1)4
.
c) Prove que para todo x em [−1 1],
f ′(x) =
+∞∑
k=1
(k − 1)xk−2
k3
.
Respostas:
1) a) f(x) =
{
0 se x < 0
1 se x = 0
b) f(x) = |x| c) f(x) = x d) f(x) =
{
0 se x 6= 0
1 se x = 0
2) a) f(x) = 0 b) Sim
3) a) f(x) =
{
1 se x = 0
0 se x > 0
c) Na˜o
4) a) f(x) = 1/x2 b) Na˜o
5) a) f(x) =
{
0 se x = 0
1/x se x 6= 0 b) Na˜o
6) a) f(x) = 0 b) Na˜o
7) f(x) = 0
3