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Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 1 CEFET-MG Série Trigonométrica de Fourier Uma função periódica f(t) pode ser decomposta em um somatório de senos e cossenos eqüivalentes à função dada. ( ) ( )( )å ¥ = ++= 1 sencos 2 )( n nn o tnBtnA A tf ww onde: 2 oA ® valor médio da função f(t) An e Bn ® Coeficientes a determinar da série de Fourier w ® velocidade angular da função f(t) Cálculo dos Coeficientes da Série Trigonométrica de Fourier ò= T o o dttf T A )(1 2 = periódoumdevalor períodoumemtfdeárea )( ( )ò= T o n dttntf T A wcos)(2 ( )ò= T o n dttntf T B wsen)(2 Wander Rodrigues 2 CEFET-MG Simplificações Possíveis Função Par f(t) = f(-t) Bn = 0 A decomposição será um somatório de funções cossenoidais Função Ímpar f(t) = -f(-t) An = 0 A decomposição será um somatório de funções senoidais Exercícios de Aplicação Questão 03 página 68 Faça a decomposição do sinal – pulso - representado na figura abaixo: Período: T = 0,2 s fpw 2= T pw 2= 2,0 2 pw = srad /10pw = Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 3 CEFET-MG Definição da função: 5 para 0 £ t £ 0,1 f(t) = 0 para 0,1 £ t £ 0,2 Cálculo de Ao/2 ò= T o o dttf T A )(1 2 òòò =úû ù êë é += 1,0 0 2,0 1,0 1,0 0 5 2,0 105 2,0 1 2 dtdtdt Ao òòò === 1,0 0 1,0 0 1,0 0 255555 2 dtdtxdt Ao ( )01,02525 2 1,0 0 -== t Ao V Ao 5,2 2 = Cálculo de An ( ) dttntf T A T o n ò= wcos)( 2 ( ) ( ) úû ù êë é += ò ò 1,0 0 2,0 1,0 cos0cos52 dttndttn T An ww ( ) ( )òò == 1,0 0 1,0 cos 2,0 52cos52 dttnxdttn T A o n ww ( )ò= 1,0 0 cos50 dttnAn w ( ) ( ) 1,0 0 1,0 0 sen50sen50 tn nn tn An www w == Wander Rodrigues 4 CEFET-MG ( ) ( )[ ]0.10.sen1,0.10.sen50 pp w nn n An -= ( )0sensen50 -= p w n n An ( ) w p n n An sen50= Cálculo de Bb ( )ò= T n dttntf T B 0 sen)(2 w ( ) ( ) úû ù êë é += ò ò 1,0 0 2,0 1,0 sen0sen5 2,0 2 dttndttnBn ww ( ) ( )òò == 1,0 0 1,0 0 sen 2,0 52sen5 2,0 2 dttn x dttwnBn ww ( )ò= 1,0 0 sen50 dttnBn w ( ) ( )( ) 1,0 0 1,0 0 cos50cos50 tn nn tn Bn www w -=-= ( ) ( )( )[ ]0.10.cos1,0.10.cos50 pp w nn n Bn ---= ( )0coscos50 +-= p w n n Bn ( )p w n n Bn cos1 50 -= Tabelando os calores de An e Bn Considerando apenas os valores de An e Bn maiores que 10% do valor máximo da função, teremos Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 5 CEFET-MG Valores de n An Bn 1 ( ) 0.1sen .1 5 =p p ( )[ ] p p p 10.1cos1 .1 5 =- 2 ( ) 0.2sen .2 5 =p p ( )[ ] 0.2cos1 .2 5 =- p p 3 ( ) 0.3sen .3 5 =p p ( )[ ] p p p .3 10.3cos1 .3 5 =- 4 ( ) 0.4sen .4 5 =p p ( )[ ] 0.4cos1 .4 5 =- p p 5 ( ) 0.5sen .5 5 =p p ( )[ ] p p p .5 10.5cos1 .5 5 =- Escrevendo a equação de f(t) ( ) ( ) ( ) L++++= ttttf ..50sen .5 10..30sen .3 10..10sen105,2)( p p p p p p Conclusão Verificamos que o sinal apresentado é decomposto em um valor contínuo e uma soma de senoides de freqüências harmônicas ímpares da freqüência fundamental. As amplitudes decrescem quando aumentamos a ordem da harmônica, isto é, quando o valor de n aumenta, representando que essas componentes colaboram pouco na reconstituição da forma de onda do sinal original. Espectro de Amplitude O espectro de amplitude apresenta o valor médio e as amplitudes máximas das componentes harmônicas do sinal representado. Wander Rodrigues 6 CEFET-MG Espectro de fase O espectro de fase apresenta o ângulo de fase das componentes harmônicas, sempre tomando o sinal como uma função cossenoidal como referência. (padronização) Lembrete: ( ) ÷ ø öç è æ ±= 2 cossen pw twAtA Espectro de Potência A potência média de uma função periódica é dada por ( )ò= T o dttf T P 2 1 Lembrando que R E P .2 2 max= , R E P DC 2 = e considerando um R unitário, podemos escrever: å ¥ = += 1 2 2 2n n o E EP Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 7 CEFET-MG Questão 08 página 68 Represente a função decomposta por meio de seus espectros de amplitude, fase e de potência. Espectro de amplitude Espectro de fase Espectro de potência Wander Rodrigues 8 CEFET-MG 5,2=oE ( )25,2=oP WPo 25,6= 183,31 =B 2 1 2 183,3 ÷ ø öç è æ=P WP 066,51 = 061,13 =B 2 3 2 061,1 ÷ ø öç è æ=P WP 563,03 = 637,05 =B 2 5 2 637,0 ÷ ø öç è æ=P WP 203,05 = 455,07 =B 2 7 2 455,0 ÷ ø öç è æ=P WP 103,07 = Simulando a função do Exemplo Utilizando para simulação o aplicativo Electronic WorkBench podemos trabalhar com o seguinte circuito para verificarmos se a decomposição realizada, retoma a forma de onda do sinal, com um mínimo de distorção. Para tal usaremos o seguinte circuito: Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 9 CEFET-MG Nesse circuito de simulação utilizamos a função three-way voltage summer – somador de tensão de tensão de três entrada para fazer a adição de cada uma das parcelas que compõem o sinal. Assim, aos fecharmos cada uma das chaves, de 1 a 5, estaremos adicionando a componente contínua, chave 1, as demais componentes harmônicas do sinal, chaves 2 a 5. Fechando, sucessivamente, cada uma das chaves encontraremos a seguintes formas de ondas: Wander Rodrigues 10 CEFET-MG Fechando a chave 1, aparece a tensão contínua na saída. Fechando a chave 2, a freqüência fundamental será sobreposta ao valor contínuo. Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 11 CEFET-MG Fechando a chave 3, o terceiro harmônico é adicionado ao valor anterior. Observe que nesse ponto a forma de onda resultante começa a tomar uma forma próxima ao valor do pulso. Wander Rodrigues 12 CEFET-MG Fechando a chave 4, o quinto harmônico é adicionado ao valor anterior. Nesse caso torna-se mais caracterizado a forma do pulso, tendo apenas algumas ondulações na parte reta do mesmo. Finalmente, fechando a chave 5, temos uma forma de onda semelhante ao pulso decomposto, porém apresentando alguma ondulação nas partes retas do pulso. Esses ondulações, certamente serão reduzidas se um número maior de harmônicas forem consideradas na reconstituição do mesmo. É importante relembrar que a decomposição utilizando a série trigonométrica de Fourier é uma função com infinitas componentes. A determinação do número máximo de componentes resultará numa maior ou menor aproximação da forma de onda recomposta. Em outras palavras, o número de componentes vai determinar a distorção máxima aceitável na forma de onda reconstituída. Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 13 CEFET-MG Utilizando o mesmo aplicativo é possível obter cada um dos espectros de amplitude à medida que as chaves forem fechadas ou novas componentes forem adicionadas. Assim, para a chave 1 fechada, teremos: Fechando as chaves 1 e 2: Wander Rodrigues 14 CEFET-MG Fechando as chaves 1, 2 e 3: Fechando as chaves 1, 2, 3 e 4: Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 15 CEFET-MG Fechando as chaves 1, 2, 3, 4 e 5: Nesse caso temos o espectro de amplitude completo, sendo que a componente fundamental representa a maior contribuição na reconstituição do pulso original. Wander Rodrigues 16 CEFET-MG Questão 09 Faça a decomposição do sinal retificado de meia onda representado na figura abaixo: Definiçãoda função f(t): 0 para -T/2 < t < 0 ou -p < t < 0 f(t) = Emax sen (wt) para 0 < t < T/2 ou 0 < t < p Simplificação Verificando se a função é par ou ímpar chegamos a conclusão que ela não se encaixa em nenhuma das duas condições. Assim sendo, teremos a decomposição da mesma apresentando parcelas senoidais e cossenoidais. Período da função T = 2.p rad Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 17 CEFET-MG Cálculo de Ao/2 ( )ò= 2/ 0 max sen1 2 T o dttE T A w para –T/2 < t < 0 f(t) = 0 ( )ò= 2/ 0 max sen 2 T o dtt T EA w ( ) 2/ 0 max cos 2 T o t T EA ÷ ø öç è æ -= w w ( )( ) 2/ 0 max cos 2 To t T EA w w - = ú û ù ê ë é ÷ ø öç è æ-÷ ø öç è æ-= 0.2cos 2 .2cos .22 max x T T x TxT T EAo pp p ( ) ( )11 .2 0coscos .22 maxmax -- - =- - = p p p EEAo p max 2 EAo = Cálculo de A1 ( )ò-= 2/ 2/1 cos)(2 T T dtttf T A w ( ) ( ) ( ) ( )òò == 2/ 0 max2/ 0 max1 cossen .2 cossen2 TT dttt T E dtttE T A wwww ( ) ( )òò == 2/ 0 2/ 0 maxmax 1 2sen2 1.22sen 2 1.2 TT dttx T E dtt T E A ww ( )ò= 2/ 0 max 1 2sen T dtt T E A w ( ) ( )[ ] 2/ 0 max 2/ 0 max 1 2cos..2.2 2cos T T t T Et T E A w ww w -=úû ù êë é-= ú û ù ê ë é ÷ ø öç è æ-÷ ø öç è æ-= 0.22cos 2 .22cos .22 max 1 x T x T x T x Tx T x E A pp p Wander Rodrigues 18 CEFET-MG ( )0cos.2cos .4 max 1 - - = p p E A 0 .4 max 1 x E A p - = 01 =A Cálculo de An para n ¹¹ 1 ( ) ( )ò= 2/ 0 max .cossen2 T n dttntE T A ww ( ) ( )ò= 2/ 0 max .cossen .2 T n dttntT E A ww ( ) ( ) 2/ max .2 ...cos.2 T o n n tnt T E A ú û ù ê ë é + --= ww ww ( ) ( ) ( ) ( ) 2/ 0 max .2 ...cos .2 ...cos.2 T n n tnt n tnt T E A ú û ù ê ë é - -- + +-= ww ww ww ww ( ) ( ) ( ) ( ) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - ÷ ø öç è æ - + + ÷ ø öç è æ + + - ÷ ø öç è æ - - + ÷ ø öç è æ +- = ww pp ww pp ww pp ww pp .2 0.2.0.2cos .2 0.2.0.2cos .2 2 .2. 2 .2cos .2 2 .2. 2 .2cos .2 max n x T nx T n x T nx T n T x T n T x T n T x T n T x T T E An ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )úû ù ê ë é - + + + - - - + +- = wwwwww pp ww pp .2 1 .2 1 .2 .cos .2 .cos.2 max nnn n n n T E An Para n =2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )úû ù ê ë é - + + + - - - + +- = wwwwww pp ww pp .22 1 .22 1 .22 .2cos .22 .2cos.2 max 2 T E A ( ) ( ) ú û ù ê ë é - ++ - - - - = www p w p .2 1 6 1 .2 cos 6 3cos.2 max 2 T E A úû ù êë é -+-= wwww .2 1 .6 1 .2 1 .6 1.2 max 2 T E A Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 19 CEFET-MG www .3 2.21 .3 1.2 maxmax 2 -=úû ù êë é -= x T E T E A pp 6 .2.2 .23 2.2 maxmax 2 T x T E T x x T E A -=-= p.3 .2 max 2 E A - = Para n = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )úû ù ê ë é - + + + - - - + +- = wwwwww pp ww pp .32 1 .32 1 .32 .3cos .32 .3cos.2 max 3 T E A ( ) ( ) ú û ù ê ë é - ++ - - - - = www p w p .4 1 8 1 .4 .2cos 8 4cos.2 max 3 T E A úû ù êë é -++-= wwww .4 1 .8 1 .4 1 .8 1.2 max 3 T E A 03 =A Para n = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )úû ù ê ë é - + + + - - - + +- = wwwwww pp ww pp .22 1 .22 1 .22 .2cos .22 .2cos.2 max 4 T E A ( ) ( ) ú û ù ê ë é - ++ - - - - = www p w p .2 1 6 1 .2 cos 6 3cos.2 max 4 T E A úû ù êë é -+-= wwww .2 1 .6 1 .2 1 .6 1.2 max 4 T E A www .3 2.21 .3 1.2 maxmax 4 -=úû ù êë é -= x T E T E A Wander Rodrigues 20 CEFET-MG pp 6 .2.2 .23 2.2 maxmax 4 T x T E T x x T E A -=-= p.3 .2 max 4 E A - = Para n = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )úû ù ê ë é - + + + - - - + +- = wwwwww pp ww pp .52 1 .52 1 .52 .5cos .52 .5cos.2 max 5 T E A ( ) ( ) ú û ù ê ë é - ++ - - - - = www p w p .8 1 .12 1 .8 .4cos .12 6cos.2 max 5 T E A úû ù êë é -++-= wwww .8 1 .12 1 .8 1 .12 1.2 max 5 T E A 05 =A Observando os valores calculados de An, verificamos que An = 0 para todo n ímpar. Cálculo de Bn ( )ò-= 2/ 2/ ..sen)(2 T T n dttntf T B w ( ) ( )ò= 2/ 0 max ..sen.sen2 T n dttntE T B ww para –T/2 < t < 0 ou -p/2 < t < 0 f(t) = 0 ( ) ( )ò= 2/ 0 max ..sen.sen .2 T n dttntT E B ww Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 21 CEFET-MG Para n = 1 ( ) ( )ò= 2/ 0 max 1 .sen.sen .2 T dttt T E B ww ( )ò= 2/ 0 2max 1 .sen .2 T dtt T E B w ( )ò úû ù êë é -= 2/ 0 max 1 ..2cos2 1 2 1.2 T dtt T E B w ( ) úû ù êë é -= ò ò 2/ 0 2/ 0 max 1 ..2cos2 1 2 1.2 T T dttdt T E B w ( ) úû ù êë é -= ò ò 2/ 0 2/ 0 max 1 ..2cos T T dttdt T E B w ( ) ú ú û ù ê ê ë é -= 2/ 0 2/ 0 max 1 .sen.2 1 TT tt T E B w w ú û ù ê ë é ÷ ø öç è æ+-÷ ø öç è æ-= 0.2sen .2 10 2 .2sen .2 1 2 max 1 x T T x T T T E B p w p w úû ù êë é +-= 0sen .2 1sen .2 1 2 max 1 w p w T T E B 2 max 1 T x T E B = 2 max 1 E B = Para n ¹¹ 1 ( ) ( )ò= 2/ 0 max ..sen.sen .2 T n dttntT E B ww ( ) ( ) ( ) ( ) 2/ 0 max ..2 ...sen ..2 ...sen.2 T n n tnt n tnt T E B ú û ù ê ë é - -+ + +-= ww ww ww ww Wander Rodrigues 22 CEFET-MG ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - + - + - ÷ ø öç è æ - + + ÷ ø öç è æ +- = ww ww ww ww ww pp ww pp ..2 0..0.sen ..2 0..0.sen ..2 2 .2. 2 .2sen ..2 2 .2. 2 .2sen .2 max n n n n n T x T n T x T n T x T n T x T T E Bn ( ) ( ) ( ) ( ) úû ù ê ë é - -+ + +-= ww pp ww pp ..2 .sen ..2 .sen.2 max n n n n T E Bn Para n = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) úû ù ê ë é - -+ + +-= ww pp ww pp .2.2 .2sen .2.2 .2sen.2 max 2 T E B ( ) ( ) úû ù êë é - -+-= w p w p .2 sen .6 .3sen.2 max 2 T E B 02 =B Para n = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) úû ù ê ë é - -+ + +-= ww pp ww pp .3.2 .3sen .3.2 .3sen.2 max 3 T E B ( ) ( ) úû ù êë é - -+-= w p w p .4 .2sen .8 .4sen.2 max 3 T E B 03 =B Assim, Bn para todo n ¹ 1 será igual a zero. Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 23 CEFET-MG Equação do sinal ( ) ( ) ( ) L+--+= tEtEtEEtf ..4cos .15 .2 ..2cos .3 .2 .sen 2 )( maxmaxmaxmax w p w p w p Para um valormáximo de 12 volts, temos: Emax = 12 V ( ) ( ) ( ) ( ) L+---+= tttttf ..6cos218,0..4cos509,0..2cos548,2.sen6822,3)( wwww Simulando a função do Exemplo Utilizando para simulação o aplicativo Electronic WorkBench podemos trabalhar com o seguinte circuito para verificarmos se a decomposição realizada, retoma a forma de onda do sinal, com um mínimo de distorção. Para tal usaremos o seguinte circuito: Wander Rodrigues 24 CEFET-MG Nessa simulação estaremos utilizando um ângulo de defasagem de 90o nas fontes de sinais senoidais para representar um sinal cossenoidal, como solicitado na decomposição. Alem disso, também empregamos o bloco Voltage Gain Block com o propósito de termos um ganho unitário, porém fazendo a inversão de fase de 180o caracterizado pelo sinal negativo à frente das parcelas cossenoidais do sinal decomposto. Assim, aos fecharmos cada uma das chaves, de 1 a 5, estaremos adicionando as componentes harmônicas do sinal. Fechando, sucessivamente, cada uma das chaves encontraremos a seguintes formas de ondas: Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 25 CEFET-MG Fechando a chave 1, aparece a tensão contínua na saída. Fechando a chave 2, a freqüência fundamental será sobreposta ao valor contínuo. Wander Rodrigues 26 CEFET-MG Fechando a chave 3, o segundo harmônico é adicionado ao valor anterior. Observe que nesse ponto a forma de onda resultante começa a tomar uma forma próxima ao valor do sinal retificado. Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 27 CEFET-MG Fechando a chave 4, o quarto harmônico é adicionado ao valor anterior. Nesse caso torna-se mais caracterizado a forma do sinal retificado, tendo apenas algumas ondulações na parte reta do mesmo. Finalmente, fechando a chave 5, temos uma forma de onda semelhante ao sinal decomposto, porém apresentando alguma ondulação nas partes retas do sinal. Esses ondulações, certamente serão reduzidas se um número maior de harmônicas forem consideradas na reconstituição do mesmo. É importante relembrar que a decomposição utilizando a série trigonométrica de Fourier é uma função com infinitas componentes. A determinação do número máximo de componentes resultará numa maior ou menor aproximação da forma de onda recomposta. Em outras palavras, o número de componentes vai determinar a distorção máxima aceitável na forma de onda reconstituída. Wander Rodrigues 28 CEFET-MG Utilizando o mesmo aplicativo é possível obter cada um dos espectros de amplitude à medida que as chaves forem fechadas ou novas componentes forem adicionadas. Assim, para a chave 1 fechada, teremos: Fechando as chaves 1 e 2: Estudo sobre a Série Trigonométrica de Fourier 29 CEFET-MG Fechando as chaves 1, 2 e 3: Fechando as chaves 1, 2, 3 e 4: Wander Rodrigues 30 CEFET-MG Fechando as chaves 1, 2, 3, 4 e 5: Nesse caso temos o espectro de amplitude completo, sendo que a componente fundamental representa a maior contribuição na reconstituição do pulso original.
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