Resumo e Exercícios Álgebra Linear

Prévia do material em texto

Álgebra Linear 1 
Resumo e Exercícios P1 
 
	
	
1 
Fórmulas e Resuminho Teórico Parte 1 
 
Vetores 𝑣 possui módulo 𝑣	 , sentido e direção 𝑣 = 𝐴𝐵, então 𝐵 = 𝐴 + 𝑣 
 
Combinação Linear 𝑣 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + ⋯+ 𝑧𝑧,			𝑐𝑜𝑚	𝑎, 𝑏, … , 𝑧 ∈ ℝ 
 
Dependência Linear 
Conjunto 𝑆 = {𝑣4, 𝑣5, … , 𝑣6} é Linearmente Dependente se houver qualquer 
combinação linear dentro, Linearmente Independente se não houver 
 
• (𝑢, 𝑣) é LD ó 𝑢 e 𝑣 são paralelos (múltiplos) 
• (𝑢, 𝑣, 𝑤) é LD ó 𝑢, 𝑣 e 𝑤 são coplanares 
Dica: Se um dos vetores for o nulo, é LD 
 
Regra prática para saber se vetores são LD 
1. Colocar as coordenadas nas linhas de uma matriz 
2. Escalonar 
3. Se uma linha zerar é LD (caso escalonar perfeito, é LI) 𝑣4𝑣5𝑣< → 𝑎 𝑏 𝑐0 𝑑 𝑒0 0 0 ó 𝑣4, 𝑣5, 𝑣< é LD 
 
Base B = 𝑣4, 𝑣5, 𝑣< 
Conjunto ordenado de 3 vetores LI 
	
	
2 
Base ortogonal -> Vetores da base ortogonais entre si 
Base ortonormal -> Vetores ortogonais e com norma 1 
 
Coordenadas 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)D ó 𝑣 = 𝑥𝑣4 + 𝑦𝑣5 + 𝑧𝑣< 𝑣4 + 𝑣5 = (𝑥4 + 𝑥5, 𝑦4 + 𝑦5, 𝑧4 + 𝑧5)D 𝛼𝑣 = (𝛼𝑥, 𝛼𝑦, 𝛼𝑧)D 
 
Produto Escalar 𝑢 ∗ 𝑣 = 0, 𝑠𝑒	𝑢 = 0	𝑜𝑢	𝑣 = 0𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢 = 𝑢 ∗ 𝑢 
 
Se estiver em uma base ortonormal 
 𝑢 ∗ 𝑣 = 𝑥4𝑥5 + 𝑦4𝑦5 + 𝑧4𝑧5 𝑢 = 𝑥45 + 𝑦45 + 𝑧45 
 
Se 𝑢 e 𝑣 são ortogonais, 𝑢 ∗ 𝑣 = 0 
 
 
	
	
3 
Exercícios Parte 1 
 
1. Vetores 
Prova 0 P1 2016 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 10 
 
Considere no espaço 𝐸< um triângulo ABC e sejam D e E pontos do segmento AC 
tais que 
||𝐴𝐷|| = 4K ||𝐴𝐶|| e ||𝐴𝐸|| = <M ||𝐴𝐶||. 
como ilustrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Se 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 ∈ ℝ são tais que 𝐵𝐷 = 𝛼𝐵𝐴 + 𝛽𝐵𝐶 e 𝐵𝐸 = 𝛾𝐵𝐴 + 𝛿𝐵𝐶, então: 
A. 	𝛼 = 4K , 𝛽 = MK , 𝛾 = 4M 	𝑒	𝛿 = <M 
B. 	𝛼 = 5K , 𝛽 = 4K , 𝛾 = <M 	𝑒	𝛿 = 4M 
C. 𝛼 = 4K , 𝛽 = 5K , 𝛾 = 4M 	𝑒	𝛿 = <M 
D. 	𝛼 = MK , 𝛽 = 4K , 𝛾 = 4M 	𝑒	𝛿 = <M 
E. 	𝛼 = 5K , 𝛽 = <M , 𝛾 = 4K 	𝑒	𝛿 = 4M 
 
 
 
C 
A B 
D 
E 
	
	
4 
2. Dependência Linear 
Prova 0 Psub 2016 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 10 
 
Considere no espaço 𝐸< um cubo cujos vértices são A, B, C, D, E, F, G, H em que 
ABCD, ADHE e ABFE são faces desse cubo, como ilustrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja M o ponto médio do segmento CG e considere a base de 𝑉<dada por: 𝛽 = 	 {𝐵𝐻, 𝐶𝐹, 𝐷𝑀}. 
A soma das coordenadas do vetor 𝐷𝐹na base 𝛽é igual a: 
A. 1 
B. 	VK 
C. <5 
D. − 4< 
E. 	V5 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C D 
E F 
G H 
	
	
5 
3. Dependência Linear 
Prova 0 P1 2016 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 15 
 
Considere as seguintes afirmações 
I. Para quaisquer pontos dois a dois distintos A, B, C, D ∈ 𝐸<, vale que o 
conjunto {𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷} 
é linearmente dependente se, e somente se, os pontos A, B, C e D são 
coplanares; 
II. Para quaisquer pontos dois a dois distintos A, B, C, D, E, F ∈ 𝐸<, vale que 
o conjunto {𝐴𝐵, 𝐶𝐷, 𝐸𝐹} 
é linearmente dependente se, e somente se, os pontos A, B, C, D, E e F são 
coplanares; 
III. Para quaisquer vetores 𝑣, 𝑤, 𝑧 ∈ 𝑉<, se o conjunto {𝑣, 𝑤, 𝑧} é linearmente 
dependente, então algum subconjunto de {𝑣, 𝑤, 𝑧} com apenas dois 
vetores é linearmente dependente. 
Assinale a alternativa correta: 
A. Todas as afirmações são falsas; 
B. Apenas as afirmações I. e II. são verdadeiras; 
C. Apenas a afirmação I. é verdadeira; 
D. Apenas as afirmações II. e III. são verdadeiras; 
E. Apenas as afirmações I. e III. são verdadeiras; 
 
	
	
6 
4. Produto escalar 
Prova 0 P1 2013 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 7 
 
Sejam 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉< e seja 𝛼 ∈ ℝ. Assinale a alternativa que contém uma afirmação 
FALSA. 
A. Se 𝛼𝑣 = 0, então 𝛼 = 0 ou 𝑣 = 0 
B. Se 𝑢 ≠ 0, 𝑣 ≠ 0 e 𝑢 ∗ 𝑣 = 0 então 𝑢 e 𝑣 são linearmente independentes 
C. Se 𝑢 + 𝑣 é ortogonal a 𝑢 − 𝑣, então 𝑢 = 𝑣 
D. 𝑢 ∗ 𝑣 = 0 se, e somente se, 𝑢 = 0 ou 𝑣 = 0 
E. Se 𝑢 e 𝑣 são ortogonais e têm a mesma norma, então 𝑢 + 𝑣 = 2 𝑢 
 
5. Produto escalar 
Prova 0 P1 2016 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 7 
 
Sejam 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉< tais que 𝑣 = 13, 𝑤 = 19 e 𝑣 + 𝑤 = 26. Temos que 𝑣 − 𝜋𝑤 5 é igual a: 
A. 361 + 146𝜋 + 169𝜋² 
B. 169 − 146𝜋 + 361𝜋² 
C. 361 − 146𝜋 + 169𝜋² 
D. 169 − 73𝜋 + 361𝜋² 
E. 169 + 146𝜋 + 361𝜋² 
 
	
	
7 
6. Produto escalar 
Prova 0 P1 2015 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 3 
 
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ e 𝐸 uma base ortonormal de 𝑉<. Considere os vetores 𝑧 = (1,0,1)a , 𝑣 = (−2,1,0)a , 𝑤 = (0, −1,1)a e 𝑥 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)a . Se 𝑥 = 3, 𝑥 é 
ortogonal a 𝑧	e {𝑣, 𝑤, 𝑥} é linearmente dependente, então 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é igual a: 
A. 2 
B. 	3 
C. 1 
D. 	7 
E. 	5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito Parte 1 
 
1. D 
2. B 
3. E 
4. D 
5. B 
6. C 
	
	
8 
Fórmulas e Resuminho Teórico Parte 2 
 
Projeção Ortogonal Projgh = h∗gg i 𝑣, tem direção de 𝑣 𝑢 = Projgh + 𝑥, sendo 𝑥 um vetor ortogonal a 𝑣, formando um triangulo retângulo 
 
Notação Matricial de Sistemas Lineares 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑦4 + 𝑐𝑧4 = 𝑚𝑑𝑥5 + 𝑒𝑦5 + 𝑓𝑧5 = 𝑛𝑔𝑥5 + ℎ𝑦5 + 𝑖𝑧5 = 𝑜 ó 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚𝑑 𝑒 𝑓 𝑛𝑔 ℎ 𝑖 𝑜 
 
Escalonamento 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖 → 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜	𝑒	𝑠𝑜𝑚𝑎	𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒	𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 → 𝑚 𝑛 𝑜0 𝑝 𝑞0 0 𝑟 
 
Resolução de Sistema 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚𝑑 𝑒 𝑓 𝑛𝑔 ℎ 𝑖 𝑜 → Escalonar matriz do sistema 
 
Casos 
1. 
𝑥 𝑦 𝑧 𝑤0 𝛼 𝛽 𝛾0 0 𝜖 𝜃 → Sistema consistente determinado (1 solução) 
2. 
𝑥 𝑦 𝑧 𝑤0 𝛼 𝛽 𝛾0 0 0 0 → Sistema consistente indeterminado (Conjuntos de 
solução) 
3. 
𝑥 𝑦 𝑧 𝑤0 𝛼 𝛽 𝛾0 0 0 𝜃 , 𝜃 ≠ 0 → Sistema inconsistente (Não tem solução) 
	
	
9 
 
Multiplicação de Matrizes 𝐶 = 𝐴𝐵,	(Linha x Coluna) 𝐴w4 inversa de A, tal que 𝐴𝐴w4 = 𝐼(𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒) 
 
Método para encontrar a inversa 
• Construir A I = 𝑎 𝑏 𝑐 1 0 0𝑑 𝑒 𝑓 0 1 0𝑔 ℎ 𝑖 0 0 1 
• Escalonar o lado esquerdo para formar I 𝐵 
• Então terá 𝐼 𝐴w4 = 1 0 0 𝑚 𝑛 𝑜0 1 0 𝑝 𝑞 𝑟0 0 1 𝑠 𝑡 𝑢 
Determinante det A = det	(A~) det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det 𝐵 𝐴 ∈ 𝑀6 ,			det 𝛼𝐴 = 𝛼6 det 𝐴 
A invertível ódet 𝐴 ≠ 0 
 
 
Exercícios Parte 2 
 
1. Projeção ortogonal 
Prova 0 P1 2016 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 8 
 
Sejam 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉< tais que 𝑣 = 13, 𝑤 = 12 e 𝑣 − 𝑤 = 5. Pode-se afirmar 
que: 
A. 𝑤 = 𝑃𝑟𝑜𝑗g 
B. O conjunto {𝑣, 𝑤} é linearmente dependente 
C. 𝑤 = 3𝑃𝑟𝑜𝑗g 
D. 	𝑣 = 𝑃𝑟𝑜𝑗g 
E. 	𝑣 = 2𝑃𝑟𝑜𝑗g 
	
	
10 
 
2. Projeção ortogonal 
Prova 0 P1 2015 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 12 
 
Seja 𝐵 uma base ortonormal de 𝑉< e considere os vetores: 𝑣 = (1, −2,3)D e 𝑤 = (3,1, −2)D 
Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉< tais que 𝑤 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 é paralelo a 𝑣 e 𝑦 é ortogonal a 𝑣. Se 𝑦 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)D, então 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é igual a: 
F. −2 
G. KV 
H. 2 
I. 4KV 
J. 4‚V 
 
3. Sistemas e Matrizes 
Prova 0 P1 2016 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 3 
 
Considere a matriz: 
𝐴 = 	 2 1 0 −11 1 0 1−1 1 1 01 2 0 1 
 
e denote por 𝐴ƒ a sua transposta. Temos que det 𝐴< − det	[3 𝐴ƒ w4]é igual a: 
A. −26 
B. 55 
C. 0 
D. 26 
E. 81 
 
 
	
	
11 
4. Sistemas e Matrizes 
Prova 0 P1 2016 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 13 
 
Se 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖 ∈ ℝ, são tais que: 
 1 2 00 2 11 1 0 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖 = 1 0 00 1 00 0 1 
 
então 𝑎𝑏𝑐 + 𝑑𝑒𝑓 + 𝑔ℎ𝑖 é igual a: 
A. 2 
B. −4 
C. 0 
D. −2 
E. 4 
 
5. Sistemas e Matrizes 
Prova 0 P1 2015 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 5 
 
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ e considere o sistema linear: 
 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2𝑏,𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑧 = 𝑐,−𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 1, 
 
Nas incógnitas 𝑥, 𝑦 e 𝑧.Assinalea alternativa correta: 
F. O sistema possui infinitas soluções se, e somente se, 𝑎 = −1 e 𝑏 = − 45 
G. O sistema possui uma única solução se, e somente se, 𝑎 = −1 e 𝑏 ≠ − 45 
H. O sistema possui uma única solução se, e somente se, 𝑎 = −1 e 𝑏 = − 45 
I. O sistema não possui solução se, e somente se, 𝑎 ≠ −1 e 𝑐 = 2 
J. O sistema não possui solução se, e somente se, 𝑎 ≠ −1 e 𝑏 = − 45 
	
	
12 
6. Sistemas e Matrizes 
Prova 0 P1 2014 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 5 
 
Seja A uma matriz 𝑝×𝑛 e seja B uma matriz 𝑝×1. Considere as seguintes 
afirmações sobre o sistema linear 𝐴𝑋	 = 	𝐵: 
I. Se 𝑝 > 𝑛 e 𝐵 ≠ 0, então o sistema é impossível. 
II. Se 𝑝 < 𝑛 e 𝐵 = 0, então o sistema é possível indeterminado. 
III. Se 𝑝 = 𝑛 e 𝐵 ≠ 0, então o sistema é possível determinado. 
Está correto o que se afirma em 
F. I. e II., apenas 
G. I. e III., apenas 
H. I. , II. e III. 
I. II., apenas 
J. II. e III., apenas 
 
7. Sistemas e Matrizes 
Prova 0 P1 2015 Álgebra Linear para Engenharia I, exercício 11 
 
Temos três ligas metálicas: a primeira liga contém 50% de ouro, 30% de prata e 
20% de platina. A segunda liga contém 30% de ouro e 70% de prata. A terceira liga 
contém 40% de ouro, 50% de prata e 10% de platina. Combinando essas três ligas, 
criamos uma nova liga que contém 45% de ouro. Que proporção de prata contém 
a nova liga? 
A. 45% 
B. 40% 
C. 55% 
D. 50% 
E. 35% 
	
	
13 
Gabarito 
 
1. A 
2. E 
3. C 
4. B 
5. A 
6. D 
7. B