Aula 10

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Fundamentos de Álgebra
Ana Lucia de Sousa
Aula 10
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CONTEÚDO DA AULA 10
Ideais de um anel
Anel quociente
Homomorfismos de anéis
Isomorfismos de anéis
Teorema do isomorfismo
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Seja um anel A e um subconjunto não vazio B do anel A. B será um subanel de A se forem satisfeitas as seguintes condições:
Ideais são subconjuntos de um anel que satisfazem as condições acima. Portanto, podemos dizer que eles são subanéis.
IDEAIS DE UM ANEL 
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DEFINIÇÕES
Seja o anel (A, +, .) e I um subconjunto não vazio de A.
Portanto, dado um anel (A, +, .) e I um subconjunto não vazio de A. Dizemos que I é um ideal de A quando I é ideal à esquerda e à direita de A.
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EXEMPLO 1
Considere um anel (Z, +, .) e I = 2Z (conjunto dos números pares).
Podemos definir dois elementos de I da seguinte forma: x = 2m e y = 2n, onde m e n são elementos de Z. Agora temos que:
Logo, 2Z é um ideal no anel Z.
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EXEMPLO 2
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EXEMPLO 3
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DEFINIÇÃO (IDEAL PRINCIPAL)
Seja A um anel comutativo com unidade e x um elemento de A. Podemos definir:
O ideal à esquerda Ax é chamado ideal principal à esquerda de A gerado por x. 
O ideal à direita xA é chamado de ideal principal à direita de A gerado por x. 
 
Podemos usar a notação I(a) = {ax/x em A}, nesse caso I(a) é um ideal de A chamado ideal principal gerado por a.
EXEMPLOS
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ANEL QUOCIENTE
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EXEMPLO
Considere o anel A = Z e o ideal I = 4Z. Construa a tábua da adição do anel quociente A/I.
 Inicialmente devemos definir o anel quociente de A por I. Vejamos:
 
0 + I = {..., -4, 0, 4, 8, 12, 16, ...} = I
1 + I = {..., -3, 1, 5, 9, 13, 17, ...} 
2 + I = {..., -2, 2, 6, 10, 14, 18, ...}
3 + I = {..., -1, 3, 7, 11, 15, 19, ...}
4 + I = {..., -4, 0, 4, 8, 12, 16, ...} = I
 
A/I = { I, 1 + I, 2 + I, 3 + I}
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+
I
1 + I
2 + I
3 + I
I
I
1 + I
2 + I
3 + I
1 + I
1 + I
2 + I
3 + I
I
2 + I
2 + I
3 + I
I
1 + I
3 + I
3 + I
I
1 + I
2 + I
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HOMOMORFISMOS DE ANÉIS 
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EXEMPLO 1
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EXEMPLO 2
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EXEMPLO 3
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ISOMORFISMOS DE ANÉIS
Definição 
Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 
Notação: A e B são isomorfos e usaremos a notação
 
Note que se existe um isomorfismo de anéis f: A → B, então f-1: B → A é um isomorfismo. Isso significa que uma propriedade é transportada através do isomorfismo de A para B, e o mesmo ocorre e B para A.
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EXEMPLO
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EXEMPLO 1
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Seja:
 a) Mostre que é um homomorfismo de anéis;
Vamos considerar a12 e b12 dois elementos de Z12.
((a)12 + (b)12) = ([a + b]12) = (a + b)4 = (a)4 + (b)4 = ((a)12) + ((b)12).
((a)12.(b)12) = ([ab]12) = (ab)4 = (a)4.(b)4 = ((a)12). ((b)12).
Logo, é um homomorfismo de anéis.
EXEMPLO
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Fundamentos de Álgebra
Prof(a): Ana Lucia de Sousa
Atividade
EXERCÍCIO
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Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e 
(RR, +, .). Verifique se I é um ideal do anel (RR, +, .).