calculo 1 aula 10

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A Reta Tangente
A Derivada
A Reta Tangente e a Derivada
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
Conteu´do
A Reta Tangente
A Derivada
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
Voltando ao problema da reta tangente
Queremos empregar nossos conhecimentos sobre limites para
determinar a inclinac¸a˜o da reta tangente a uma curva em um
ponto dado.
I mPQ =
f (a + ∆a)− f (a)
∆a
;
I Se fazemos a secante com Q ′
mais pro´ximo de P,
melhoramos nossa
aproximac¸a˜o;
I Em outras palavras, de usamos
um ∆a cada vez menor, nos
aproximamos cada vez mais da
inclinac¸a˜o da reta tangente;
P
Q’
Q
y
xa a+∆aa+∆a’
∆a’<∆a
f(x)
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
Definic¸a˜o
Suponhamos que f seja uma func¸a˜o cont´ınua no ponto de abscissa
x = a. A inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto
(a,f(a)) sera´ dada por
m(a) = lim
∆a→0
f (a + ∆a)− f (a)
∆a
,
se o limite existir. Se na˜o existir o limite e
lim
∆a→0±
f (a + ∆a)− f (a)
∆a
= ±∞,
enta˜o a reta tangente a curva f , no ponto (a, f (a)), sera´ a reta
x = a.
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
Exemplo - 1
Determinar a equac¸a˜o da reta tangente a` func¸a˜o f (x) = x2, no
ponto de abscissa x = 3
I Conhecemos um ponto da reta
tangente. Qual?
I Que limite temos que
determinar para obter m(3)?
I Qual o valor do coeficiente
angular da reta (quanto vale o
limite)?
I Finalmente, qual e´ a equac¸a˜o
da reta tangente?
-3 3
-9
9
y
x
f(x)=x2
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
Exemplo - 2
Determinar a equac¸a˜o da reta tangente a` func¸a˜o f (x) = x3, no
ponto de abscissa x = −1
I Esboce o gra´fico da curva e da
reta, em um mesmo sistema de
coordenadas;
I Observe que a reta tangente
pode tocar a curva em mais de
um ponto.
-1 3
-10
-7
-4
-1
2
5
8
11y
x
f(x)=x3
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
Exemplo - 2
Determinar a equac¸a˜o da reta tangente a` func¸a˜o f (x) = x3, no
ponto de abscissa x = −1
I Esboce o gra´fico da curva e da
reta, em um mesmo sistema de
coordenadas;
I Observe que a reta tangente
pode tocar a curva em mais de
um ponto.
-1 3
-10
-7
-4
-1
2
5
8
11y
x
f(x)=x3
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
A Reta Normal
Definic¸a˜o: A reta normal a` uma curva em um dado ponto e´ a
reta perpendicular a` reta tangente naquele ponto.
Exemplo: Determine a equac¸a˜o da reta normal a` curva
f (x) = x3 − 3x + 4, no ponto de abscissa x = 2.
I Comece determinando a
inclinac¸a˜o da reta tangente no
ponto dado;
I Com essa informac¸a˜o, como
podemos determinar a
inclinac¸a˜o da reta normal?
-5 -1 3 7
0
2
4
6
8
10
12y
x
f(x)=x3-3x+4
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
A Reta Normal
Definic¸a˜o: A reta normal a` uma curva em um dado ponto e´ a
reta perpendicular a` reta tangente naquele ponto.
Exemplo: Determine a equac¸a˜o da reta normal a` curva
f (x) = x3 − 3x + 4, no ponto de abscissa x = 2.
I Comece determinando a
inclinac¸a˜o da reta tangente no
ponto dado;
I Com essa informac¸a˜o, como
podemos determinar a
inclinac¸a˜o da reta normal?
-5 -1 3 7
0
2
4
6
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10
12y
x
f(x)=x3-3x+4
A Reta Tangente e a Derivada
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A Derivada
A Reta Normal
Definic¸a˜o: A reta normal a` uma curva em um dado ponto e´ a
reta perpendicular a` reta tangente naquele ponto.
Exemplo: Determine a equac¸a˜o da reta normal a` curva
f (x) = x3 − 3x + 4, no ponto de abscissa x = 2.
I Comece determinando a
inclinac¸a˜o da reta tangente no
ponto dado;
I Com essa informac¸a˜o, como
podemos determinar a
inclinac¸a˜o da reta normal?
-5 -1 3 7
0
2
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10
12y
x
f(x)=x3-3x+4
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A Derivada
A Reta Normal
Definic¸a˜o: A reta normal a` uma curva em um dado ponto e´ a
reta perpendicular a` reta tangente naquele ponto.
Exemplo: Determine a equac¸a˜o da reta normal a` curva
f (x) = x3 − 3x + 4, no ponto de abscissa x = 2.
I Comece determinando a
inclinac¸a˜o da reta tangente no
ponto dado;
I Com essa informac¸a˜o, como
podemos determinar a
inclinac¸a˜o da reta normal?
-5 -1 3 7
0
2
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8
10
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x
f(x)=x3-3x+4
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A Derivada
Conteu´do
A Reta Tangente
A Derivada
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A Derivada
Definic¸a˜o de derivada
Definic¸a˜o: A derivada de uma func¸a˜o f e´ a func¸a˜o denotada por
f ′, tal que o seu valor em qualquer nu´mero x do dom´ınio de f e´
dado por
f ′(x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
,
Se o limite existir.
Nota:
I “A derivada e´ a func¸a˜o que determina a inclinac¸a˜o da reta tangente a
uma curva em seus pontos.”
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
Exemplos
Determine a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. Indique o
dom´ınio da derivada em cada caso.
1. f (x) = 3x2
2. f (x) = −7x + 3
3. f (x) = 1− 5x3
4. f (x) =
√
x , x ≥ 0
5. f (x) = |x |
6. f (x) = x1/3
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
Exemplos
Determine a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. Indique o
dom´ınio da derivada em cada caso.
1. f (x) = 3x2
2. f (x) = −7x + 3
3. f (x) = 1− 5x3
4. f (x) =
√
x , x ≥ 0
5. f (x) = |x |
6. f (x) = x1/3
A Reta Tangente e a Derivada
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A Derivada
Exemplos
Determine a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. Indique o
dom´ınio da derivada em cada caso.
1. f (x) = 3x2
2. f (x) = −7x + 3
3. f (x) = 1− 5x3
4. f (x) =
√
x , x ≥ 0
5. f (x) = |x |
6. f (x) = x1/3
A Reta Tangente e a Derivada
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A Derivada
Exemplos
Determine a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. Indique o
dom´ınio da derivada em cada caso.
1. f (x) = 3x2
2. f (x) = −7x + 3
3. f (x) = 1− 5x3
4. f (x) =
√
x , x ≥ 0
5. f (x) = |x |
6. f (x) = x1/3
A Reta Tangente e a Derivada
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A Derivada
Exemplos
Determine a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. Indique o
dom´ınio da derivada em cada caso.
1. f (x) = 3x2
2. f (x) = −7x + 3
3. f (x) = 1− 5x3
4. f (x) =
√
x , x ≥ 0
5. f (x) = |x |
6. f (x) = x1/3
A Reta Tangente e a Derivada
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A Derivada
Exemplos
Determine a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. Indique o
dom´ınio da derivada em cada caso.
1. f (x) = 3x2
2. f (x) = −7x + 3
3. f (x) = 1− 5x3
4. f (x) =
√
x , x ≥ 0
5. f (x) = |x |
6. f (x) = x1/3
A Reta Tangente e a Derivada
A Reta Tangente
A Derivada
Outra definic¸a˜o e mais notac¸o˜es
I Podemos verificar que se fazemos y = x + ∆x na definic¸a˜o de derivada
podemos reescreveˆ-la na forma
f ′(x) = lim
y→x
f (y)− f (x)
y − x .
Use essa forma da definic¸a˜o para determinar a derivada de f (x) = x2.
I Fazendo ∆f = f (x + ∆x)− f (x), podemos escrever ainda
f ′ =
df
dx
= lim
∆x→0
∆f
∆x
.
• ′ : Joseph Louis Legendre (1736-1813);
• d
dx
: Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716).
A Reta Tangente e a Derivada
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A Derivada
Outra definic¸a˜o e mais notac¸o˜es
I Podemos verificar que se fazemos y = x + ∆x na definic¸a˜o de derivada
podemos reescreveˆ-la na forma
f ′(x) = lim
y→x
f (y)− f (x)
y − x .
Use essa forma da definic¸a˜o para determinar a derivada de f (x) = x2.
I Fazendo ∆f = f (x + ∆x)− f (x), podemos escrever ainda
f ′ =
df
dx
= lim
∆x→0
∆f∆x
.
• ′ : Joseph Louis Legendre (1736-1813);
• d
dx
: Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716).
A Reta Tangente e a Derivada
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Refereˆncias
I Livro texto, sec¸a˜o 2.7;
I Pro´xima aula: livro texto, sec¸o˜es 3.1 e 3.2.
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